giúp mình với

Câu 5: Để tính thể tích của khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y = \sin x \), trục hoành và hai đường thẳng \( x = 0 \) và \( x = \pi \) khi quay quanh trục Ox, ta sử dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Trong đó: - \( f(x) = \sin x \) - Giới hạn tích phân từ \( a = 0 \) đến \( b = \pi \) Do đó, ta có: \[ V = \pi \int_{0}^{\pi} (\sin x)^2 \, dx \] Ta biết rằng: \[ \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} \] Vậy: \[ V = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{1 - \cos 2x}{2} \, dx \] Tách tích phân thành hai phần: \[ V = \pi \left( \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} 1 \, dx - \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \cos 2x \, dx \right) \] Tính từng phần riêng lẻ: 1. Tích phân của hằng số 1: \[ \int_{0}^{\pi} 1 \, dx = x \Big|_{0}^{\pi} = \pi - 0 = \pi \] 2. Tích phân của \( \cos 2x \): \[ \int_{0}^{\pi} \cos 2x \, dx = \frac{1}{2} \sin 2x \Big|_{0}^{\pi} = \frac{1}{2} (\sin 2\pi - \sin 0) = \frac{1}{2} (0 - 0) = 0 \] Vậy: \[ V = \pi \left( \frac{1}{2} \cdot \pi - \frac{1}{2} \cdot 0 \right) = \pi \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{2} \] Đáp án đúng là: B. $\frac{\pi^2}{2}$. Câu 6: Để tính thể tích khối tròn xoay do miền giới hạn bởi các đường \( y = 2x - x^2 \) và \( y = 0 \) khi quay quanh trục \( Ox \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm giao điểm của hai đường: \( y = 2x - x^2 \) và \( y = 0 \): \[ 2x - x^2 = 0 \implies x(2 - x) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = 2 \] Vậy, hai đường giao nhau tại điểm \( x = 0 \) và \( x = 2 \). 2. Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay: Thể tích \( V \) của khối tròn xoay khi quay quanh trục \( Ox \) từ \( x = a \) đến \( x = b \) là: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Trong đó, \( f(x) = 2x - x^2 \). Ta có: \[ V = \pi \int_{0}^{2} (2x - x^2)^2 \, dx \] 3. Tính tích phân: \[ (2x - x^2)^2 = 4x^2 - 4x^3 + x^4 \] Do đó: \[ V = \pi \int_{0}^{2} (4x^2 - 4x^3 + x^4) \, dx \] Tính từng phần: \[ \int_{0}^{2} 4x^2 \, dx = 4 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = 4 \left( \frac{8}{3} - 0 \right) = \frac{32}{3} \] \[ \int_{0}^{2} -4x^3 \, dx = -4 \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2} = -4 \left( \frac{16}{4} - 0 \right) = -16 \] \[ \int_{0}^{2} x^4 \, dx = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{2} = \frac{32}{5} \] Cộng lại: \[ V = \pi \left( \frac{32}{3} - 16 + \frac{32}{5} \right) \] Chuyển về cùng mẫu số: \[ \frac{32}{3} = \frac{160}{15}, \quad -16 = -\frac{240}{15}, \quad \frac{32}{5} = \frac{96}{15} \] \[ V = \pi \left( \frac{160}{15} - \frac{240}{15} + \frac{96}{15} \right) = \pi \left( \frac{160 - 240 + 96}{15} \right) = \pi \left( \frac{16}{15} \right) = \frac{16\pi}{15} \] Vậy, thể tích khối tròn xoay là: \[ \boxed{\frac{16\pi}{15}} \] Câu 7: Để tính diện tích của hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x^2 - x + 3$ và đường thẳng $y = 2x + 1$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm giao điểm của hai đồ thị: - Đặt $x^2 - x + 3 = 2x + 1$ - Sắp xếp lại phương trình: $x^2 - 3x + 2 = 0$ - Giải phương trình bậc hai: $(x - 1)(x - 2) = 0$ - Vậy giao điểm là $x = 1$ và $x = 2$ Bước 2: Tính diện tích hình phẳng (H): Diện tích hình phẳng (H) là tích phân của hiệu giữa hàm số $y = 2x + 1$ và hàm số $y = x^2 - x + 3$ từ $x = 1$ đến $x = 2$. \[ A = \int_{1}^{2} [(2x + 1) - (x^2 - x + 3)] \, dx \] \[ A = \int_{1}^{2} (2x + 1 - x^2 + x - 3) \, dx \] \[ A = \int_{1}^{2} (-x^2 + 3x - 2) \, dx \] Bước 3: Tính tích phân: \[ A = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} - 2x \right]_{1}^{2} \] Tính tại $x = 2$: \[ -\frac{2^3}{3} + \frac{3 \cdot 2^2}{2} - 2 \cdot 2 = -\frac{8}{3} + 6 - 4 = -\frac{8}{3} + 2 = -\frac{8}{3} + \frac{6}{3} = -\frac{2}{3} \] Tính tại $x = 1$: \[ -\frac{1^3}{3} + \frac{3 \cdot 1^2}{2} - 2 \cdot 1 = -\frac{1}{3} + \frac{3}{2} - 2 = -\frac{1}{3} + \frac{3}{2} - \frac{4}{2} = -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} = -\frac{2}{6} - \frac{3}{6} = -\frac{5}{6} \] Diện tích: \[ A = \left( -\frac{2}{3} \right) - \left( -\frac{5}{6} \right) = -\frac{2}{3} + \frac{5}{6} = -\frac{4}{6} + \frac{5}{6} = \frac{1}{6} \] Vậy diện tích của hình phẳng (H) là $\frac{1}{6}$. Đáp án đúng là: D. $\frac{1}{6}$. Câu 8: Để tính thể tích khối tròn xoay sinh ra từ việc quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y = x^2 \) và đường thẳng \( y = 4 \) quanh trục \( Oy \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định khoảng tích phân: - Giao điểm của \( y = x^2 \) và \( y = 4 \): \[ x^2 = 4 \implies x = \pm 2 \] - Vậy khoảng tích phân là từ \( x = -2 \) đến \( x = 2 \). 2. Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay: - Công thức thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục \( Oy \) là: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [R(y)]^2 \, dy \] - Trong đó, \( R(y) \) là bán kính của vòng tròn tạo thành khi quay đoạn thẳng từ \( x = -\sqrt{y} \) đến \( x = \sqrt{y} \) quanh trục \( Oy \). Bán kính này là \( \sqrt{y} \). 3. Tính thể tích: - Thay vào công thức: \[ V = \pi \int_{0}^{4} (\sqrt{y})^2 \, dy = \pi \int_{0}^{4} y \, dy \] - Tính tích phân: \[ \int_{0}^{4} y \, dy = \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{4} = \frac{4^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{16}{2} = 8 \] - Vậy thể tích khối tròn xoay là: \[ V = \pi \times 8 = 8\pi \] Đáp số: \[ V = 8\pi \]