Giúpppp minh

Câu 4. Trước hết, ta xác định tọa độ của hai chiếc khinh khí cầu: - Chiếc thứ nhất có tọa độ là (2, -3, 0,5). - Chiếc thứ hai có tọa độ là (-1, 1, 0,3). Gọi M là điểm trên mặt đất sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai khinh khí cầu là nhỏ nhất. Ta có: - Khoảng cách từ M đến chiếc khinh khí cầu thứ nhất là $\sqrt{(x - 2)^2 + (y + 3)^2 + 0,5^2}$. - Khoảng cách từ M đến chiếc khinh khí cầu thứ hai là $\sqrt{(x + 1)^2 + (y - 1)^2 + 0,3^2}$. Tổng khoảng cách từ M đến hai chiếc khinh khí cầu là: \[ f(x, y) = \sqrt{(x - 2)^2 + (y + 3)^2 + 0,5^2} + \sqrt{(x + 1)^2 + (y - 1)^2 + 0,3^2} \] Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số này, ta sẽ tính đạo hàm riêng theo x và y và đặt chúng bằng 0. \[ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x - 2}{\sqrt{(x - 2)^2 + (y + 3)^2 + 0,5^2}} + \frac{x + 1}{\sqrt{(x + 1)^2 + (y - 1)^2 + 0,3^2}} = 0 \] \[ \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y + 3}{\sqrt{(x - 2)^2 + (y + 3)^2 + 0,5^2}} + \frac{y - 1}{\sqrt{(x + 1)^2 + (y - 1)^2 + 0,3^2}} = 0 \] Giải hệ phương trình này để tìm x và y. Sau khi giải hệ phương trình, ta tìm được tọa độ của điểm M là (0,5, -1). Thay tọa độ của M vào hàm số f(x, y) để tính tổng khoảng cách nhỏ nhất: \[ f(0,5, -1) = \sqrt{(0,5 - 2)^2 + (-1 + 3)^2 + 0,5^2} + \sqrt{(0,5 + 1)^2 + (-1 - 1)^2 + 0,3^2} \] \[ = \sqrt{(-1,5)^2 + 2^2 + 0,5^2} + \sqrt{1,5^2 + (-2)^2 + 0,3^2} \] \[ = \sqrt{2,25 + 4 + 0,25} + \sqrt{2,25 + 4 + 0,09} \] \[ = \sqrt{6,5} + \sqrt{6,34} \] \[ \approx 2,55 + 2,52 \] \[ \approx 5,07 \] Vậy tổng khoảng cách nhỏ nhất là 5,1 km (làm tròn đến hàng phần mười). Câu 5. Để tìm giá trị lớn nhất của đạo hàm \( f'(t) \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm \( f'(t) \) \[ f(t) = \frac{5000}{1 + 5e^{-t}} \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương: \[ f'(t) = \frac{(5000)'(1 + 5e^{-t}) - 5000(1 + 5e^{-t})'}{(1 + 5e^{-t})^2} \] \[ f'(t) = \frac{0 \cdot (1 + 5e^{-t}) - 5000 \cdot (-5e^{-t})}{(1 + 5e^{-t})^2} \] \[ f'(t) = \frac{25000e^{-t}}{(1 + 5e^{-t})^2} \] Bước 2: Tìm đạo hàm của \( f'(t) \) \[ f''(t) = \frac{(25000e^{-t})' \cdot (1 + 5e^{-t})^2 - 25000e^{-t} \cdot ((1 + 5e^{-t})^2)'}{(1 + 5e^{-t})^4} \] \[ f''(t) = \frac{-25000e^{-t} \cdot (1 + 5e^{-t})^2 - 25000e^{-t} \cdot 2(1 + 5e^{-t})(-5e^{-t})}{(1 + 5e^{-t})^4} \] \[ f''(t) = \frac{-25000e^{-t}(1 + 5e^{-t})^2 + 250000e^{-2t}(1 + 5e^{-t})}{(1 + 5e^{-t})^4} \] \[ f''(t) = \frac{-25000e^{-t}(1 + 5e^{-t}) + 250000e^{-2t}}{(1 + 5e^{-t})^3} \] \[ f''(t) = \frac{-25000e^{-t} - 125000e^{-2t} + 250000e^{-2t}}{(1 + 5e^{-t})^3} \] \[ f''(t) = \frac{-25000e^{-t} + 125000e^{-2t}}{(1 + 5e^{-t})^3} \] \[ f''(t) = \frac{-25000e^{-t}(1 - 5e^{-t})}{(1 + 5e^{-t})^3} \] Bước 3: Tìm điểm cực đại của \( f'(t) \) Đặt \( f''(t) = 0 \): \[ \frac{-25000e^{-t}(1 - 5e^{-t})}{(1 + 5e^{-t})^3} = 0 \] \[ -25000e^{-t}(1 - 5e^{-t}) = 0 \] \[ e^{-t}(1 - 5e^{-t}) = 0 \] \[ 1 - 5e^{-t} = 0 \] \[ e^{-t} = \frac{1}{5} \] \[ t = \ln 5 \] Bước 4: Kiểm tra dấu của \( f''(t) \) ở hai bên điểm \( t = \ln 5 \) - Khi \( t < \ln 5 \), \( e^{-t} > \frac{1}{5} \), suy ra \( 1 - 5e^{-t} < 0 \), do đó \( f''(t) < 0 \). - Khi \( t > \ln 5 \), \( e^{-t} < \frac{1}{5} \), suy ra \( 1 - 5e^{-t} > 0 \), do đó \( f''(t) > 0 \). Vậy \( t = \ln 5 \) là điểm cực tiểu của \( f'(t) \). Bước 5: Tính giá trị của \( f'(t) \) tại \( t = \ln 5 \) \[ f'(\ln 5) = \frac{25000e^{-\ln 5}}{(1 + 5e^{-\ln 5})^2} \] \[ f'(\ln 5) = \frac{25000 \cdot \frac{1}{5}}{(1 + 5 \cdot \frac{1}{5})^2} \] \[ f'(\ln 5) = \frac{5000}{(1 + 1)^2} \] \[ f'(\ln 5) = \frac{5000}{4} \] \[ f'(\ln 5) = 1250 \] Vậy tốc độ bán hàng đạt lớn nhất là 1250 sản phẩm/năm, đạt được khi \( t = \ln 5 \). Câu 6. Gọi A là biến cố "Chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ âm nhạc" Gọi B là biến cố "Chọn được học sinh biết chơi đàn guitar" Xác suất để chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ âm nhạc là: $P(A) = \frac{20}{100} = \frac{1}{5}$ Xác suất để chọn được học sinh biết chơi đàn guitar là: $P(B) = \frac{20}{100} \times \frac{75}{100} + \frac{80}{100} \times \frac{10}{100} = \frac{3}{8}$ Xác suất để chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ âm nhạc khi biết rằng học sinh đó biết chơi đàn guitar là: $P_{B}(A) = \frac{P(A) \times P_{A}(B)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{5} \times \frac{75}{100}}{\frac{3}{8}} = 0,4$ Đáp số: 0,4