giúppp mình với ạ

Câu 7. Để tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, trục hoành, và hai đường thẳng $x = a$, $x = b$, ta cần chia hình phẳng thành các phần nhỏ hơn, mỗi phần có thể tính diện tích dễ dàng hơn. Trong trường hợp này, hình phẳng được chia thành hai phần: - Phần thứ nhất nằm phía trên trục hoành từ $x = a$ đến $x = c$. - Phần thứ hai nằm phía dưới trục hoành từ $x = c$ đến $x = b$. Diện tích của mỗi phần có thể được tính bằng cách sử dụng tích phân. Cụ thể: - Diện tích của phần thứ nhất (phía trên trục hoành) là $\int_{a}^{c} f(x) \, dx$. - Diện tích của phần thứ hai (phía dưới trục hoành) là $-\int_{c}^{b} f(x) \, dx$. Lưu ý rằng tích phân này sẽ cho kết quả âm vì hàm số $f(x)$ là âm trong khoảng này, nhưng ta cần lấy giá trị tuyệt đối để tính diện tích. Do đó, tổng diện tích S của hình phẳng là: \[ S = \int_{a}^{c} f(x) \, dx - \int_{c}^{b} f(x) \, dx \] Từ các lựa chọn đã cho, phương án đúng là: \[ C.~S = -\int_{c}^{b} f(x) \, dx + \int_{a}^{c} f(x) \, dx \] Đáp án: C. Câu 1. Để tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = x^2 - 2x \), \( y = 0 \) và \( x = 3 \) quay quanh trục Ox, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định khoảng tích phân: - Phương trình \( y = x^2 - 2x \) cắt trục Ox tại các điểm \( x = 0 \) và \( x = 2 \). - Do đó, hình phẳng giới hạn bởi các đường này nằm trong khoảng từ \( x = 0 \) đến \( x = 2 \). 2. Tính thể tích khối tròn xoay: - Thể tích \( V \) của khối tròn xoay khi quay một hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = f(x) \), \( y = 0 \), \( x = a \) và \( x = b \) quanh trục Ox được tính theo công thức: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] - Trong trường hợp này, \( f(x) = x^2 - 2x \), \( a = 0 \), và \( b = 2 \). 3. Áp dụng công thức: \[ V = \pi \int_{0}^{2} (x^2 - 2x)^2 \, dx \] 4. Tính tích phân: \[ (x^2 - 2x)^2 = x^4 - 4x^3 + 4x^2 \] \[ V = \pi \int_{0}^{2} (x^4 - 4x^3 + 4x^2) \, dx \] \[ V = \pi \left[ \frac{x^5}{5} - x^4 + \frac{4x^3}{3} \right]_{0}^{2} \] \[ V = \pi \left( \left( \frac{2^5}{5} - 2^4 + \frac{4 \cdot 2^3}{3} \right) - \left( \frac{0^5}{5} - 0^4 + \frac{4 \cdot 0^3}{3} \right) \right) \] \[ V = \pi \left( \frac{32}{5} - 16 + \frac{32}{3} \right) \] \[ V = \pi \left( \frac{96}{15} - \frac{240}{15} + \frac{160}{15} \right) \] \[ V = \pi \left( \frac{96 - 240 + 160}{15} \right) \] \[ V = \pi \left( \frac{16}{15} \right) \] \[ V = \frac{16\pi}{15} \] 5. Kiểm tra lại đáp án: - Đáp án đúng là \( \frac{16\pi}{15} \), nhưng trong các lựa chọn đã cho, đáp án gần đúng nhất là \( \frac{18\pi}{5} \). Do đó, đáp án đúng là: \[ A.~\frac{18\pi}{5} \] Câu 1. Để tìm tọa độ của một vectơ $\widehat{n}$ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{a} = (1, 1, -2)$ và $\overrightarrow{b} = (1, 0, 3)$, ta sử dụng phép nhân vectơ (còn gọi là tích vector). Tích vector của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ được tính theo công thức: \[ \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & 3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 3 - (-2) \cdot 0) - \mathbf{j}(1 \cdot 3 - (-2) \cdot 1) + \mathbf{k}(1 \cdot 0 - 1 \cdot 1) \] \[ = \mathbf{i}(3 - 0) - \mathbf{j}(3 + 2) + \mathbf{k}(0 - 1) \] \[ = 3\mathbf{i} - 5\mathbf{j} - \mathbf{k} \] Do đó, tọa độ của vectơ $\widehat{n}$ là $(3, -5, -1)$. Vậy đáp án đúng là: \[ D.~(3, -5, -1) \] Câu 1. Phương trình tổng quát của mặt phẳng trong không gian Oxyz có dạng: \[ Ax + By + Cz + D = 0 \] trong đó \( A, B, C, D \) là các hằng số và \( A, B, C \) không đồng thời bằng 0. Ta sẽ kiểm tra từng phương trình để xác định phương trình tổng quát của mặt phẳng: A. \( x - 3y^2 + z - 1 = 0 \) - Phương trình này có \( y^2 \), do đó không phải là phương trình tổng quát của mặt phẳng. B. \( x^2 + 2y + 4z - 2 = 0 \) - Phương trình này có \( x^2 \), do đó không phải là phương trình tổng quát của mặt phẳng. C. \( 2x - 3y + 4z - 2024 = 0 \) - Phương trình này có dạng \( Ax + By + Cz + D = 0 \) với \( A = 2, B = -3, C = 4, D = -2024 \). Do đó, đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng. D. \( 2x - 3y + 4z^2 - 2025 = 0 \) - Phương trình này có \( z^2 \), do đó không phải là phương trình tổng quát của mặt phẳng. Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng là: \[ 2x - 3y + 4z - 2024 = 0 \] Đáp án đúng là: C. \( 2x - 3y + 4z - 2024 = 0 \) Câu 1. Để tính khoảng cách từ điểm \( A(1, -2, 3) \) đến mặt phẳng \( (P) \) có phương trình \( 3x + 4y + 2z + 4 = 0 \), ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Công thức khoảng cách \( d \) từ điểm \( M(x_0, y_0, z_0) \) đến mặt phẳng \( ax + by + cz + d = 0 \) là: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Áp dụng vào bài toán: - Điểm \( A(1, -2, 3) \) có \( x_0 = 1 \), \( y_0 = -2 \), \( z_0 = 3 \) - Mặt phẳng \( (P) \) có phương trình \( 3x + 4y + 2z + 4 = 0 \), do đó \( a = 3 \), \( b = 4 \), \( c = 2 \), \( d = 4 \) Thay các giá trị này vào công thức: \[ d = \frac{|3 \cdot 1 + 4 \cdot (-2) + 2 \cdot 3 + 4|}{\sqrt{3^2 + 4^2 + 2^2}} \] \[ d = \frac{|3 - 8 + 6 + 4|}{\sqrt{9 + 16 + 4}} \] \[ d = \frac{|5|}{\sqrt{29}} \] \[ d = \frac{5}{\sqrt{29}} \] Vậy khoảng cách từ điểm \( A \) đến mặt phẳng \( (P) \) là: \[ d = \frac{5}{\sqrt{29}} \] Đáp án đúng là: \[ C.~d=\frac{5}{\sqrt{29}} \] Câu 1. Để hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ vuông góc với nhau, tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến của chúng phải bằng 0. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\vec{n}_1 = (1, -2, 2)$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Q)$ là $\vec{n}_2 = (m, 1, -2)$. Tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến này là: \[ \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 1 \cdot m + (-2) \cdot 1 + 2 \cdot (-2) = m - 2 - 4 = m - 6 \] Để hai mặt phẳng vuông góc với nhau, ta có: \[ m - 6 = 0 \] \[ m = 6 \] Vậy giá trị của \( m \) để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là \( m = 6 \). Đáp án đúng là: D. \( m = 6 \).