Giải đúng sai về biểu thức của lũy thừa

Câu 6: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng phần của câu hỏi. Phần a) Biểu thức \( P \) xác định với mọi số thực \( x \). Biểu thức \( P = 6 + 3(3^x + 3^{-x}) \). Ta thấy rằng \( 3^x \) và \( 3^{-x} \) đều xác định với mọi số thực \( x \). Do đó, biểu thức \( P \) cũng xác định với mọi số thực \( x \). Phần b) \( 3^x + 3^{-x} = 4 \). Ta biết rằng: \[ 9^x + 9^{-x} = 14 \] Đặt \( y = 3^x \), thì \( 9^x = y^2 \) và \( 9^{-x} = \frac{1}{y^2} \). Thay vào phương trình đã cho, ta có: \[ y^2 + \frac{1}{y^2} = 14 \] Nhân cả hai vế với \( y^2 \): \[ y^4 + 1 = 14y^2 \] \[ y^4 - 14y^2 + 1 = 0 \] Đặt \( z = y^2 \), ta có phương trình bậc hai: \[ z^2 - 14z + 1 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ z = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4}}{2} = \frac{14 \pm \sqrt{192}}{2} = \frac{14 \pm 8\sqrt{3}}{2} = 7 \pm 4\sqrt{3} \] Do \( z = y^2 \geq 0 \), ta chọn \( z = 7 + 4\sqrt{3} \) (vì \( 7 - 4\sqrt{3} < 0 \)). Vậy: \[ y^2 = 7 + 4\sqrt{3} \] \[ y = \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} \] Do đó: \[ 3^x = \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} \] \[ 3^{-x} = \frac{1}{\sqrt{7 + 4\sqrt{3}}} \] Tính \( 3^x + 3^{-x} \): \[ 3^x + 3^{-x} = \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{7 + 4\sqrt{3}}} \] Chúng ta cần chứng minh rằng: \[ \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{7 + 4\sqrt{3}}} = 4 \] Đặt \( a = \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} \), ta có: \[ a + \frac{1}{a} = 4 \] Nhân cả hai vế với \( a \): \[ a^2 + 1 = 4a \] \[ a^2 - 4a + 1 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ a = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3} \] Do \( a > 0 \), ta chọn \( a = 2 + \sqrt{3} \). Vậy: \[ \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = 2 + \sqrt{3} \] \[ \frac{1}{\sqrt{7 + 4\sqrt{3}}} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3} \] Do đó: \[ 3^x + 3^{-x} = (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4 \] Phần c) \( P + Q = 4 \). Ta có: \[ P = 6 + 3(3^x + 3^{-x}) = 6 + 3 \cdot 4 = 6 + 12 = 18 \] \[ Q = 2 - 3^{x+1} - 3^{1-x} = 2 - 3 \cdot 3^x - 3 \cdot 3^{-x} = 2 - 3(3^x + 3^{-x}) = 2 - 3 \cdot 4 = 2 - 12 = -10 \] Vậy: \[ P + Q = 18 + (-10) = 8 \] Phần d) \( \frac{P}{Q} = -\frac{9}{5} \). Ta có: \[ \frac{P}{Q} = \frac{18}{-10} = -\frac{9}{5} \] Kết luận: a) Biểu thức \( P \) xác định với mọi số thực \( x \). b) \( 3^x + 3^{-x} = 4 \). c) \( P + Q = 8 \). d) \( \frac{P}{Q} = -\frac{9}{5} \). Câu 7: a) Biểu thức \( P \) xác định khi \( x \geq 0 \) và \( y \geq 0 \). Vì \( x^{\frac{1}{2}} \) và \( y^{\frac{1}{2}} \) đều là căn bậc hai của \( x \) và \( y \), chúng chỉ xác định khi \( x \) và \( y \) không âm. b) Biểu thức \( Q \) xác định khi \( x > 0 \) và \( y \geq 0 \) và \( x \neq y \). Vì \( \frac{y}{x} \) phải có mẫu số khác 0, tức là \( x \neq 0 \). Đồng thời, \( 1 - 2\sqrt{\frac{y}{x}} + \frac{y}{x} \neq 0 \). Ta thấy rằng \( 1 - 2\sqrt{\frac{y}{x}} + \frac{y}{x} = (\sqrt{\frac{y}{x}} - 1)^2 \), do đó nó sẽ bằng 0 khi \( \sqrt{\frac{y}{x}} = 1 \), tức là \( y = x \). Vậy \( x \neq y \). c) Ta có: \[ Q = \left(1 - 2\sqrt{\frac{y}{x}} + \frac{y}{x}\right)^{-1} \] \[ = \left((\sqrt{\frac{y}{x}} - 1)^2\right)^{-1} \] \[ = \frac{1}{(\sqrt{\frac{y}{x}} - 1)^2} \] \[ = \frac{x}{(\sqrt{y} - \sqrt{x})^2} \] d) Đặt \( T = AB \), ta có: \[ T = x \] Đáp số: a) \( x \geq 0 \) và \( y \geq 0 \) b) \( x > 0 \), \( y \geq 0 \), \( x \neq y \) c) \( Q = \frac{x}{(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2} \) d) \( T = x \)