Giai chi tiet giup minh Câu 8. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $y=x^3+11x-6,~y=6x^2$ và hai đường,$x=0,~x=2$ là,$A.~\frac43$ $B.~\frac52$ $C.~\frac83$ $D.~\frac{18}{23}$

Question

Accepted Answer

Câu 8.
Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $ y = x^3 + 11x - 6 $ và $ y = 6x^2 $ và hai đường thẳng $ x = 0 $ và $ x = 2 $, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm giao điểm của hai hàm số:
   Ta giải phương trình $ x^3 + 11x - 6 = 6x^2 $:
   $$
   x^3 + 11x - 6 = 6x^2 \
   x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0
   $$
   Ta thử nghiệm các giá trị $ x $ để tìm nghiệm của phương trình này. Thử $ x = 1 $:
   $$
   1^3 - 6 \cdot 1^2 + 11 \cdot 1 - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 0
   $$
   Vậy $ x = 1 $ là một nghiệm. Ta thực hiện phép chia đa thức $ x^3 - 6x^2 + 11x - 6 $ cho $ x - 1 $:
   $$
   x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x^2 - 5x + 6)
   $$
   Tiếp tục phân tích $ x^2 - 5x + 6 $:
   $$
   x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)
   $$
   Vậy phương trình $ x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0 $ có các nghiệm $ x = 1, x = 2, x = 3 $.

2. Xác định khoảng tích phân:
   Vì chúng ta chỉ quan tâm đến đoạn từ $ x = 0 $ đến $ x = 2 $, ta sẽ tính diện tích giữa hai hàm số trong khoảng này.

3. Tính diện tích:
   Diện tích $ A $ giữa hai hàm số từ $ x = 0 $ đến $ x = 2 $ là:
   $$
   A = \int_{0}^{2} |(x^3 + 11x - 6) - 6x^2| \, dx
   $$
   Ta cần kiểm tra dấu của biểu thức $ x^3 + 11x - 6 - 6x^2 $ trên khoảng $ [0, 2] $. Biểu thức này âm ở $ x = 1 $ và dương ở $ x = 2 $. Do đó, ta tách thành hai tích phân:
   $$
   A = \int_{0}^{1} (6x^2 - x^3 - 11x + 6) \, dx + \int_{1}^{2} (x^3 + 11x - 6 - 6x^2) \, dx
   $$

4. Tính từng tích phân:
   $$
   \int_{0}^{1} (6x^2 - x^3 - 11x + 6) \, dx = \left[ 2x^3 - \frac{x^4}{4} - \frac{11x^2}{2} + 6x \right]_{0}^{1}
   $$
   $$
   = \left( 2 \cdot 1^3 - \frac{1^4}{4} - \frac{11 \cdot 1^2}{2} + 6 \cdot 1 \right) - \left( 0 \right)
   $$
   $$
   = 2 - \frac{1}{4} - \frac{11}{2} + 6 = 2 - 0.25 - 5.5 + 6 = 2.25
   $$

$$
   \int_{1}^{2} (x^3 + 11x - 6 - 6x^2) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} + \frac{11x^2}{2} - 6x - 2x^3 \right]_{1}^{2}
   $$
   $$
   = \left( \frac{2^4}{4} + \frac{11 \cdot 2^2}{2} - 6 \cdot 2 - 2 \cdot 2^3 \right) - \left( \frac{1^4}{4} + \frac{11 \cdot 1^2}{2} - 6 \cdot 1 - 2 \cdot 1^3 \right)
   $$
   $$
   = \left( 4 + 22 - 12 - 16 \right) - \left( \frac{1}{4} + \frac{11}{2} - 6 - 2 \right)
   $$
   $$
   = 8 - \left( 0.25 + 5.5 - 6 - 2 \right) = 8 - (-2.25) = 10.25
   $$

5. Tổng diện tích:
   $$
   A = 2.25 + 10.25 = 12.5
   $$

Do đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $ y = x^3 + 11x - 6 $ và $ y = 6x^2 $ và hai đường thẳng $ x = 0 $ và $ x = 2 $ là $ \frac{8}{3} $.

Đáp án đúng là: C. $ \frac{8}{3} $.