Hệ phương trình 9 (m S.,$\left\{\begin{array}l\frac1{2x-1}+\frac4{y+5}=3\\frac3{2x-1}-\frac2{y+5}=-5\end{array} ight.$,1.) hệ pt,$n)~cho~x^2-2(m+1)x+2m=0$ ( x là ẩn Số, Cn là than Số )

Question

Hệ phương trình 9 (m S.,$\left\{\begin{array}l\frac1{2x-1}+\frac4{y+5}=3\\frac3{2x-1}-\frac2{y+5}=-5\end{array}ight.$,1.) hệ pt,$n)~cho~x^2-2(m+1)x+2m=0$ ( x là ẩn Số, Cn là than Số )

Accepted Answer

Để giải hệ phương trình:
$$
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{1}{2x-1} + \frac{4}{y+5} = 3 \
\frac{3}{2x-1} - \frac{2}{y+5} = -5
\end{array}
\right.
$$

Chúng ta sẽ đặt:
$$ 
a = \frac{1}{2x-1} \quad \text{và} \quad b = \frac{1}{y+5} 
$$

Khi đó hệ phương trình trở thành:
$$
\left\{
\begin{array}{l}
a + 4b = 3 \
3a - 2b = -5
\end{array}
\right.
$$

Bây giờ chúng ta sẽ giải hệ phương trình này bằng phương pháp cộng trừ.

Nhân phương trình thứ nhất với 2:
$$
2a + 8b = 6
$$

Nhân phương trình thứ hai với 4:
$$
12a - 8b = -20
$$

Cộng hai phương trình lại:
$$
(2a + 8b) + (12a - 8b) = 6 - 20
$$
$$
14a = -14
$$
$$
a = -1
$$

Thay $a = -1$ vào phương trình $a + 4b = 3$:
$$
-1 + 4b = 3
$$
$$
4b = 4
$$
$$
b = 1
$$

Bây giờ ta có:
$$
a = -1 \quad \text{và} \quad b = 1
$$

Quay lại với các biến ban đầu:
$$
\frac{1}{2x-1} = -1 \quad \Rightarrow \quad 2x - 1 = -1 \quad \Rightarrow \quad 2x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0
$$

$$
\frac{1}{y+5} = 1 \quad \Rightarrow \quad y + 5 = 1 \quad \Rightarrow \quad y = -4
$$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
$$
(x, y) = (0, -4)
$$

Đáp số: $(x, y) = (0, -4)$

---

Đối với phương trình $x^2 - 2(m+1)x + 2m = 0$:

Để lập luận từng bước, chúng ta cần tìm điều kiện để phương trình có nghiệm thực. Phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ có nghiệm thực khi $b^2 - 4ac \geq 0$.

Trong phương trình $x^2 - 2(m+1)x + 2m = 0$, ta có:
$$ 
a = 1, \quad b = -2(m+1), \quad c = 2m 
$$

Tính $b^2 - 4ac$:
$$
b^2 - 4ac = [-2(m+1)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2m
$$
$$
= 4(m+1)^2 - 8m
$$
$$
= 4(m^2 + 2m + 1) - 8m
$$
$$
= 4m^2 + 8m + 4 - 8m
$$
$$
= 4m^2 + 4
$$

Ta thấy:
$$
4m^2 + 4 \geq 0 \quad \text{(luôn đúng với mọi giá trị của } m)
$$

Vậy phương trình $x^2 - 2(m+1)x + 2m = 0$ luôn có nghiệm thực với mọi giá trị của $m$.

Đáp số: Phương trình luôn có nghiệm thực với mọi giá trị của $m$.