câu 9:trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,cho parabol (P):y=x^2
1)biết đường thẳng (d) :y=ax+b cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là -1 và 3 .tìm a và b
2)tìm trên parabol (P) hai điểm A và B đối xứng nhau qua trục tung sao cho OAB là tam giác vuông.

Question

Accepted Answer

1) Để tìm giá trị của $a$ và $b$, ta thay hoành độ của hai điểm vào phương trình của đường thẳng $y = ax + b$ và phương trình của parabol $y = x^2$.

- Thay $x = -1$ vào phương trình $y = x^2$:
$$ y = (-1)^2 = 1 $$
Do đó, điểm có tọa độ $(-1, 1)$ nằm trên parabol.

- Thay $x = -1$ vào phương trình $y = ax + b$:
$$ 1 = a(-1) + b $$
$$ 1 = -a + b \quad \text{(1)} $$

- Thay $x = 3$ vào phương trình $y = x^2$:
$$ y = 3^2 = 9 $$
Do đó, điểm có tọa độ $(3, 9)$ nằm trên parabol.

- Thay $x = 3$ vào phương trình $y = ax + b$:
$$ 9 = a(3) + b $$
$$ 9 = 3a + b \quad \text{(2)} $$

Bây giờ, ta giải hệ phương trình:
$$ 
\begin{cases}
1 = -a + b \
9 = 3a + b
\end{cases}
$$

Trừ phương trình (1) từ phương trình (2):
$$ 9 - 1 = 3a + b - (-a + b) $$
$$ 8 = 4a $$
$$ a = 2 $$

Thay $a = 2$ vào phương trình (1):
$$ 1 = -2 + b $$
$$ b = 3 $$

Vậy $a = 2$ và $b = 3$.

2) Để tìm hai điểm $A$ và $B$ trên parabol $y = x^2$ sao cho chúng đối xứng qua trục tung và tam giác $OAB$ là tam giác vuông, ta làm như sau:

- Giả sử điểm $A$ có tọa độ $(x_1, x_1^2)$ và điểm $B$ có tọa độ $(-x_1, x_1^2)$ vì chúng đối xứng qua trục tung.

- Để tam giác $OAB$ là tam giác vuông, ta xét góc ở đỉnh $O$. Ta cần $OA \perp OB$.

- Vector $OA$ là $(x_1, x_1^2)$ và vector $OB$ là $(-x_1, x_1^2)$.

- Điều kiện để hai vector này vuông góc là tích vô hướng bằng 0:
$$ (x_1, x_1^2) \cdot (-x_1, x_1^2) = 0 $$
$$ x_1(-x_1) + x_1^2(x_1^2) = 0 $$
$$ -x_1^2 + x_1^4 = 0 $$
$$ x_1^2(x_1^2 - 1) = 0 $$

Từ đây, ta có hai trường hợp:
$$ x_1^2 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x_1^2 = 1 $$

- $x_1^2 = 0$ dẫn đến $x_1 = 0$, nhưng điểm này không thỏa mãn vì sẽ không tạo thành tam giác.

- $x_1^2 = 1$ dẫn đến $x_1 = 1$ hoặc $x_1 = -1$.

Vậy hai điểm $A$ và $B$ có thể là $(1, 1)$ và $(-1, 1)$.

Đáp số:
1) $a = 2$, $b = 3$
2) Điểm $A$ và $B$ có thể là $(1, 1)$ và $(-1, 1)$.

câu 9:trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,cho parabol (P):y=x^2 1)biết đường thẳng (d) :y=ax+b cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là -1 và 3 .tìm a và b 2)tìm trên parabol (P) hai điểm...