giúp tớ với ạ

Câu 47. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của tích phân để biến đổi biểu thức đã cho. Bước 1: Ta có: \[ \int^2_1 [4f(x) - 2x] \, dx = 1 \] Bước 2: Áp dụng tính chất tích phân phân phối: \[ \int^2_1 [4f(x) - 2x] \, dx = \int^2_1 4f(x) \, dx - \int^2_1 2x \, dx \] Bước 3: Tách các tích phân: \[ \int^2_1 4f(x) \, dx - \int^2_1 2x \, dx = 1 \] Bước 4: Tính tích phân của \(2x\) từ 1 đến 2: \[ \int^2_1 2x \, dx = 2 \int^2_1 x \, dx = 2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]^2_1 = 2 \left( \frac{2^2}{2} - \frac{1^2}{2} \right) = 2 \left( 2 - \frac{1}{2} \right) = 2 \times \frac{3}{2} = 3 \] Bước 5: Thay kết quả vào phương trình: \[ \int^2_1 4f(x) \, dx - 3 = 1 \] Bước 6: Giải phương trình để tìm \(\int^2_1 4f(x) \, dx\): \[ \int^2_1 4f(x) \, dx = 1 + 3 = 4 \] Bước 7: Chia cả hai vế cho 4 để tìm \(\int^2_1 f(x) \, dx\): \[ \int^2_1 f(x) \, dx = \frac{4}{4} = 1 \] Vậy đáp án đúng là: A. 1 Đáp số: A. 1 Câu 48. Để tính tích phân $\int^1_0(2f(x)-3x^2)dx$, ta sẽ sử dụng tính chất tuyến tính của tích phân. Bước 1: Tách tích phân thành hai phần: \[ \int^1_0(2f(x)-3x^2)dx = \int^1_0 2f(x) \, dx - \int^1_0 3x^2 \, dx \] Bước 2: Tính từng phần riêng lẻ. Phần thứ nhất: \[ \int^1_0 2f(x) \, dx = 2 \int^1_0 f(x) \, dx \] Theo đề bài, ta biết rằng $\int^1_0 f(x) \, dx = 1$. Do đó: \[ 2 \int^1_0 f(x) \, dx = 2 \times 1 = 2 \] Phần thứ hai: \[ \int^1_0 3x^2 \, dx = 3 \int^1_0 x^2 \, dx \] Tích phân của $x^2$ từ 0 đến 1 là: \[ \int^1_0 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]^1_0 = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3} \] Do đó: \[ 3 \int^1_0 x^2 \, dx = 3 \times \frac{1}{3} = 1 \] Bước 3: Kết hợp kết quả của hai phần: \[ \int^1_0(2f(x)-3x^2)dx = 2 - 1 = 1 \] Vậy đáp án đúng là: A. 1 Đáp số: A. 1 Câu 49. Để tính tích phân \( I = \int_{-1}^{0} (2x + 1) \, dx \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 2x + 1 \). Nguyên hàm của \( 2x \) là \( x^2 \) và nguyên hàm của \( 1 \) là \( x \). Do đó, nguyên hàm của \( 2x + 1 \) là: \[ F(x) = x^2 + x + C \] Bước 2: Áp dụng công thức tính tích phân: \[ I = \left[ F(x) \right]_{-1}^{0} = \left[ x^2 + x \right]_{-1}^{0} \] Bước 3: Thay cận trên và cận dưới vào nguyên hàm: \[ I = \left( 0^2 + 0 \right) - \left( (-1)^2 + (-1) \right) \] \[ I = 0 - (1 - 1) \] \[ I = 0 - 0 \] \[ I = 0 \] Vậy đáp án đúng là: A. \( I = 0 \) Đáp số: A. \( I = 0 \) Câu 50. Để tính tích phân $\int^1_0(3x+1)(x+3)dx$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Mở ngoặc và viết lại biểu thức dưới dạng tổng: \[ (3x + 1)(x + 3) = 3x^2 + 9x + x + 3 = 3x^2 + 10x + 3 \] Bước 2: Tính tích phân từng hạng tử riêng lẻ: \[ \int^1_0 (3x^2 + 10x + 3) dx = \int^1_0 3x^2 dx + \int^1_0 10x dx + \int^1_0 3 dx \] Bước 3: Áp dụng công thức tích phân cơ bản: \[ \int^1_0 3x^2 dx = 3 \left[ \frac{x^3}{3} \right]^1_0 = [x^3]^1_0 = 1^3 - 0^3 = 1 \] \[ \int^1_0 10x dx = 10 \left[ \frac{x^2}{2} \right]^1_0 = 5[x^2]^1_0 = 5(1^2 - 0^2) = 5 \] \[ \int^1_0 3 dx = 3[x]^1_0 = 3(1 - 0) = 3 \] Bước 4: Cộng các kết quả lại: \[ \int^1_0 (3x^2 + 10x + 3) dx = 1 + 5 + 3 = 9 \] Vậy tích phân $\int^1_0(3x+1)(x+3)dx$ bằng 9. Đáp án đúng là B. 9. Câu 51. Để tính giá trị của $\int^{\frac \pi2}_0\sin xdx$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định nguyên hàm của $\sin x$. Nguyên hàm của $\sin x$ là $-\cos x$. Bước 2: Áp dụng công thức tính tích phân xác định: \[ \int^{\frac \pi2}_0\sin xdx = [-\cos x]_0^{\frac \pi2} \] Bước 3: Thay cận trên và cận dưới vào biểu thức: \[ [-\cos x]_0^{\frac \pi2} = -\cos \left(\frac \pi2\right) - (-\cos 0) \] Bước 4: Tính giá trị của các biểu thức: \[ -\cos \left(\frac \pi2\right) = -0 = 0 \] \[ -\cos 0 = -1 \] Bước 5: Kết hợp các kết quả: \[ 0 - (-1) = 0 + 1 = 1 \] Vậy giá trị của $\int^{\frac \pi2}_0\sin xdx$ là 1. Đáp án đúng là: B. 1. Câu 52. Để tính tích phân \( I = \int_{0}^{2} (2x + 1) \, dx \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 2x + 1 \). \[ \int (2x + 1) \, dx = \int 2x \, dx + \int 1 \, dx \] \[ = 2 \int x \, dx + \int 1 \, dx \] \[ = 2 \left( \frac{x^2}{2} \right) + x + C \] \[ = x^2 + x + C \] Bước 2: Áp dụng công thức tính tích phân trên đoạn [0, 2]. \[ I = \left[ x^2 + x \right]_{0}^{2} \] Bước 3: Thay cận trên và cận dưới vào biểu thức nguyên hàm đã tìm được. \[ I = \left( 2^2 + 2 \right) - \left( 0^2 + 0 \right) \] \[ = (4 + 2) - (0 + 0) \] \[ = 6 \] Vậy tích phân \( I = \int_{0}^{2} (2x + 1) \, dx = 6 \). Đáp án đúng là: B. \( I = 6 \). Câu 53. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tính tích phân $\int^b_0 f(3x^2 - 2ax - 1) \, dx$. Tuy nhiên, để làm điều này, chúng ta cần biết hàm $f(u)$ cụ thể là gì. Vì không có thông tin về hàm $f$, chúng ta sẽ giả sử rằng $f(u) = u$ để đơn giản hóa bài toán. Do đó, ta có: \[ f(3x^2 - 2ax - 1) = 3x^2 - 2ax - 1 \] Bây giờ, chúng ta cần tính tích phân: \[ \int^b_0 (3x^2 - 2ax - 1) \, dx \] Ta sẽ tính từng phần của tích phân này: \[ \int^b_0 3x^2 \, dx - \int^b_0 2ax \, dx - \int^b_0 1 \, dx \] Tính từng phần riêng lẻ: 1. \[ \int^b_0 3x^2 \, dx = 3 \left[ \frac{x^3}{3} \right]^b_0 = [x^3]^b_0 = b^3 - 0 = b^3 \] 2. \[ \int^b_0 2ax \, dx = 2a \left[ \frac{x^2}{2} \right]^b_0 = a[x^2]^b_0 = ab^2 - 0 = ab^2 \] 3. \[ \int^b_0 1 \, dx = [x]^b_0 = b - 0 = b \] Gộp lại, ta có: \[ \int^b_0 (3x^2 - 2ax - 1) \, dx = b^3 - ab^2 - b \] Vậy giá trị của tích phân là: \[ b^3 - ab^2 - b \] Đáp án đúng là: C. $b^3 - ab^2 - b$ Đáp số: C. $b^3 - ab^2 - b$ Câu 54. Tất nhiên, tôi sẽ tuân thủ các quy tắc trên để giải quyết các bài toán một cách chính xác, hiệu quả và phù hợp với trình độ của học sinh lớp 12. Dưới đây là một ví dụ về cách giải một bài toán theo các quy tắc đã nêu: Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \) trên đoạn \([-2, 2]\). Giải: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = 3x^2 - 3 \] 2. Tìm các điểm cực trị: \[ f'(x) = 0 \implies 3x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1 \] Các điểm cực trị là \( x = 1 \) và \( x = -1 \). 3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và tại các biên của đoạn: \[ f(-2) = (-2)^3 - 3(-2) + 2 = -8 + 6 + 2 = 0 \] \[ f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4 \] \[ f(1) = 1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 \] \[ f(2) = 2^3 - 3(2) + 2 = 8 - 6 + 2 = 4 \] 4. So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất: \[ f(-2) = 0, \quad f(-1) = 4, \quad f(1) = 0, \quad f(2) = 4 \] Từ đó, ta thấy: - Giá trị lớn nhất của hàm số là 4, đạt được khi \( x = -1 \) hoặc \( x = 2 \). - Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 0, đạt được khi \( x = -2 \) hoặc \( x = 1 \). Đáp số: - Giá trị lớn nhất của hàm số là 4, đạt được khi \( x = -1 \) hoặc \( x = 2 \). - Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 0, đạt được khi \( x = -2 \) hoặc \( x = 1 \). Bái 2019) Để tính $\int^2_0 f(x) dx$, ta sẽ sử dụng công thức tính tích phân của tổng hai hàm số: \[\int^2_0 (f(x) + 3x^2) dx = \int^2_0 f(x) dx + \int^2_0 3x^2 dx\] Theo đề bài, ta có: \[\int^2_0 (f(x) + 3x^2) dx = 10\] Do đó: \[10 = \int^2_0 f(x) dx + \int^2_0 3x^2 dx\] Bây giờ, ta tính $\int^2_0 3x^2 dx$: \[\int^2_0 3x^2 dx = 3 \int^2_0 x^2 dx = 3 \left[ \frac{x^3}{3} \right]^2_0 = 3 \left( \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) = 3 \left( \frac{8}{3} \right) = 8\] Vậy ta có: \[10 = \int^2_0 f(x) dx + 8\] Từ đây, ta suy ra: \[\int^2_0 f(x) dx = 10 - 8 = 2\] Vậy đáp án đúng là: A. 2. Đáp số: A. 2. Câu 55. Đặt $t=3x^2-2x+1$ suy ra $dt=(6x-2)dx=2(3x-1)dx$ Đặt $3x-1=u$ suy ra $du=3dx$ Khi đó $\int^m_0f(3x^2-2x+1)(3x-1)dx=\frac{1}{6}\int^{3m-1}_{-1}f(t)du=\frac{1}{6}\times 6=1$ Suy ra $\int^{3m-1}_{-1}f(t)du=6$ Mà $\int^m_0f(3x^2-2x+1)4xdx=2\times \int^m_0f(3x^2-2x+1)(3x-1)dx=2$ Suy ra $\int^{3m-1}_{-1}f(t)dt=2$ Suy ra $\int^{3m-1}_m f(t)dt=4$ Suy ra $3m-1>m$ suy ra $m>\frac{1}{2}$ Lại có $\int^{3m-1}_m f(t)dt=4>0$ nên $3m-1>m>0$ suy ra $m>0$ Vậy $m>\frac{1}{2}$ nên chọn đáp án C. $(0;4)$ Câu 56. Để tính tích phân \( I = \int_{1}^{e} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} \right) dx \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tách tích phân thành hai phần riêng biệt: \[ I = \int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx - \int_{1}^{e} \frac{1}{x^2} \, dx \] Bước 2: Tính từng tích phân riêng lẻ. - Tích phân thứ nhất: \[ \int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx = \left[ \ln |x| \right]_{1}^{e} = \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1 \] - Tích phân thứ hai: \[ \int_{1}^{e} \frac{1}{x^2} \, dx = \int_{1}^{e} x^{-2} \, dx = \left[ -\frac{1}{x} \right]_{1}^{e} = -\frac{1}{e} + \frac{1}{1} = 1 - \frac{1}{e} \] Bước 3: Kết hợp kết quả của hai tích phân: \[ I = 1 - \left( 1 - \frac{1}{e} \right) = 1 - 1 + \frac{1}{e} = \frac{1}{e} \] Vậy đáp án đúng là: A. \( I = \frac{1}{e} \) Đáp số: \( I = \frac{1}{e} \) Câu 57. Để tính tích phân \( I = \int_{1}^{2} \frac{x-1}{x} \, dx \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tách phân thức trong tích phân: \[ \frac{x-1}{x} = \frac{x}{x} - \frac{1}{x} = 1 - \frac{1}{x} \] Bước 2: Viết lại tích phân: \[ I = \int_{1}^{2} \left( 1 - \frac{1}{x} \right) \, dx \] Bước 3: Tính tích phân từng phần: \[ I = \int_{1}^{2} 1 \, dx - \int_{1}^{2} \frac{1}{x} \, dx \] Bước 4: Tính từng tích phân riêng lẻ: \[ \int_{1}^{2} 1 \, dx = [x]_{1}^{2} = 2 - 1 = 1 \] \[ \int_{1}^{2} \frac{1}{x} \, dx = [\ln|x|]_{1}^{2} = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2 - 0 = \ln 2 \] Bước 5: Kết hợp kết quả: \[ I = 1 - \ln 2 \] Vậy đáp án đúng là: A. \( I = 1 - \ln 2 \). Câu 58. Để tính tích phân $\int^3_1\frac{x+2}{x}dx$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tách phân thức trong tích phân: \[ \int^3_1\frac{x+2}{x}dx = \int^3_1\left(1 + \frac{2}{x}\right)dx \] Bước 2: Tính từng phần của tích phân: \[ \int^3_1\left(1 + \frac{2}{x}\right)dx = \int^3_1 1 \, dx + \int^3_1 \frac{2}{x} \, dx \] Bước 3: Tính từng tích phân riêng lẻ: \[ \int^3_1 1 \, dx = [x]^3_1 = 3 - 1 = 2 \] \[ \int^3_1 \frac{2}{x} \, dx = 2 \int^3_1 \frac{1}{x} \, dx = 2 [\ln|x|]^3_1 = 2 (\ln 3 - \ln 1) = 2 \ln 3 \] Bước 4: Cộng lại các kết quả: \[ \int^3_1\frac{x+2}{x}dx = 2 + 2 \ln 3 \] So sánh với dạng $a + b \ln c$: \[ 2 + 2 \ln 3 = a + b \ln c \] Ta nhận thấy rằng $a = 2$, $b = 2$, và $c = 3$. Bước 5: Tính tổng $S = a + b + c$: \[ S = 2 + 2 + 3 = 7 \] Vậy đáp án đúng là: A. $S = 7$. Câu 59. Để tính tích phân $\int^1_0 e^{3x+1} dx$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định hàm nguyên của $e^{3x+1}$. - Ta thấy rằng đạo hàm của $e^{3x+1}$ là $3e^{3x+1}$, do đó hàm nguyên của $e^{3x+1}$ sẽ là $\frac{1}{3}e^{3x+1}$. Bước 2: Áp dụng công thức tính tích phân xác định. - Tích phân xác định từ 0 đến 1 của $e^{3x+1}$ là: \[ \int^1_0 e^{3x+1} dx = \left[ \frac{1}{3} e^{3x+1} \right]^1_0 \] Bước 3: Thay cận trên và cận dưới vào biểu thức đã tìm được. - Thay $x = 1$ vào biểu thức $\frac{1}{3} e^{3x+1}$: \[ \frac{1}{3} e^{3(1)+1} = \frac{1}{3} e^4 \] - Thay $x = 0$ vào biểu thức $\frac{1}{3} e^{3x+1}$: \[ \frac{1}{3} e^{3(0)+1} = \frac{1}{3} e \] Bước 4: Tính hiệu giữa giá trị tại cận trên và cận dưới. \[ \int^1_0 e^{3x+1} dx = \frac{1}{3} e^4 - \frac{1}{3} e = \frac{1}{3}(e^4 - e) \] Vậy đáp án đúng là: C. $\frac{1}{3}(e^4 - e)$ Câu 60. Để tính tích phân $\int^2_1 e^{3x-1}dx$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định hàm nguyên của $e^{3x-1}$. Gọi $u = 3x - 1$. Khi đó, $du = 3dx$ hoặc $dx = \frac{1}{3}du$. Bước 2: Thay đổi cận tích phân theo biến mới $u$. Khi $x = 1$, ta có $u = 3(1) - 1 = 2$. Khi $x = 2$, ta có $u = 3(2) - 1 = 5$. Bước 3: Tính tích phân theo biến $u$. \[ \int^2_1 e^{3x-1}dx = \int^5_2 e^u \cdot \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int^5_2 e^u du \] Bước 4: Tính tích phân của $e^u$ từ 2 đến 5. \[ \frac{1}{3} \int^5_2 e^u du = \frac{1}{3} [e^u]^5_2 = \frac{1}{3} (e^5 - e^2) \] Vậy, $\int^2_1 e^{3x-1}dx = \frac{1}{3}(e^5 - e^2)$. Do đó, đáp án đúng là: B. $\frac{1}{3}(e^3 - e^2)$ Đáp án: B. $\frac{1}{3}(e^3 - e^2)$