trả lời giúp e ạ

Câu 1. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của hình chóp và các đường thẳng vuông góc trong không gian. 1. Xác định các điều kiện ban đầu: - Đáy ABC là tam giác vuông tại B, tức là \( AB \perp BC \). - Cạnh bên SA vuông góc với đáy, tức là \( SA \perp (ABC) \). 2. Phân tích từng lựa chọn: - A. \( AC \perp (SBC) \): Để \( AC \perp (SBC) \), thì \( AC \) phải vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (SBC). Tuy nhiên, \( AC \) không vuông góc với \( SB \) vì \( SB \) không nằm trong mặt phẳng (ABC) và không vuông góc với \( AC \). Do đó, \( AC \) không thể vuông góc với (SBC). - B. \( BC \perp (SAC) \): Để \( BC \perp (SAC) \), thì \( BC \) phải vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (SAC). Tuy nhiên, \( BC \) không vuông góc với \( SA \) vì \( SA \) vuông góc với đáy (ABC) nhưng không nằm trong mặt phẳng (SAC). Do đó, \( BC \) không thể vuông góc với (SAC). - C. \( BC \perp (SAB) \): Để \( BC \perp (SAB) \), thì \( BC \) phải vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (SAB). Ta thấy rằng: - \( BC \perp AB \) (vì \( ABC \) là tam giác vuông tại B). - \( BC \perp SA \) (vì \( SA \perp (ABC) \)). Vì \( BC \) vuông góc với cả \( AB \) và \( SA \), nên \( BC \perp (SAB) \). - D. \( AB \perp (SBC) \): Để \( AB \perp (SBC) \), thì \( AB \) phải vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (SBC). Tuy nhiên, \( AB \) không vuông góc với \( SC \) vì \( SC \) không nằm trong mặt phẳng (ABC) và không vuông góc với \( AB \). Do đó, \( AB \) không thể vuông góc với (SBC). 3. Kết luận: - Chỉ có lựa chọn C là đúng, vì \( BC \perp (SAB) \). Vậy đáp án đúng là: C. \( BC \perp (SAB) \). Câu 2. Trước tiên, ta xét các mặt của hình chóp S.ABC: - Mặt SAB: Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ AB. Do đó, mặt SAB là tam giác vuông tại A. - Mặt SAC: Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ AC. Do đó, mặt SAC là tam giác vuông tại A. - Mặt SBC: Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ BC. Do đó, mặt SBC là tam giác vuông tại B. - Mặt ABC: Vì AB ⊥ BC nên mặt ABC là tam giác vuông tại B. Như vậy, hình chóp S.ABC có tất cả 4 mặt là tam giác vuông. Đáp án đúng là: A. 4. Câu 3. Trước tiên, ta xét các khẳng định một cách chi tiết: A. \( AM \perp SC \) - Vì \( M \) là hình chiếu của \( A \) trên \( SB \), nên \( AM \perp SB \). - Mặt khác, \( SA \perp (ABC) \), do đó \( SA \perp BC \). - \( SC \) nằm trong mặt phẳng \( (SAC) \), và \( AM \) nằm trong mặt phẳng \( (SAB) \). - Do \( AM \perp SB \) và \( AM \perp SA \), suy ra \( AM \perp (SAC) \). - Vậy \( AM \perp SC \). B. \( AM \perp MN \) - \( M \) là hình chiếu của \( A \) trên \( SB \), nên \( AM \perp SB \). - \( N \) là hình chiếu của \( A \) trên \( SC \), nên \( AN \perp SC \). - \( MN \) nằm trong mặt phẳng \( (SBC) \), và \( AM \) nằm trong mặt phẳng \( (SAB) \). - Do \( AM \perp SB \) và \( AM \perp SA \), suy ra \( AM \perp (SAC) \). - Tuy nhiên, \( MN \) không trực tiếp chứng minh được \( AM \perp MN \) chỉ từ các thông tin đã biết. C. \( AN \perp SB \) - \( N \) là hình chiếu của \( A \) trên \( SC \), nên \( AN \perp SC \). - \( SB \) nằm trong mặt phẳng \( (SAB) \), và \( AN \) nằm trong mặt phẳng \( (SAC) \). - Do \( AN \perp SC \) và \( AN \perp SA \), suy ra \( AN \perp (SAB) \). - Vậy \( AN \perp SB \). D. \( SA \perp BC \) - \( SA \perp (ABC) \), do đó \( SA \perp BC \). Từ các lập luận trên, ta thấy rằng khẳng định B (\( AM \perp MN \)) không thể được chứng minh trực tiếp từ các thông tin đã biết. Do đó, khẳng định sai là: Đáp án: B. \( AM \perp MN \). Câu 4. a. Ta có: - Tam giác CSB vuông tại B nên SB $\perp$ CB. - Tam giác CSD vuông tại D nên SD $\perp$ CD. - Vì ABCD là hình chữ nhật nên CB $\perp$ AB và CD $\perp$ AD. - Kết hợp các điều trên ta có SB $\perp$ (ABCD) và SD $\perp$ (ABCD). - Do đó SA $\perp$ (ABCD). b. Ta có: - DE $\perp$ AC (vì E là hình chiếu vuông góc của D trên AC). - SD $\perp$ (ABCD) nên SD $\perp$ AC. - Kết hợp các điều trên ta có AC $\perp$ (SDE) nên AC $\perp$ SE. - Mặt khác, trong mặt phẳng (SCD) ta có SD $\perp$ DC và SD $\perp$ DE nên SD $\perp$ (CDE). - Do đó SD $\perp$ CE. - Kết hợp các điều trên ta có CE $\perp$ (SDE) nên CE $\perp$ SE. - Kết hợp các điều trên ta có SE $\perp$ (ACD) nên SE $\perp$ DE. - Kết hợp các điều trên ta có DE $\perp$ (SEC) nên DE $\perp$ SC. Câu 5. Để chứng minh rằng $SC \perp (AFE)$, ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Chứng minh $SC \perp AF$: - Vì $SA \perp (ABCD)$ nên $SA \perp AB$ và $SA \perp AD$. - Mặt khác, $E$ là hình chiếu của $A$ trên $SB$, do đó $AE \perp SB$. - Tương tự, $F$ là hình chiếu của $A$ trên $SD$, do đó $AF \perp SD$. - Xét mặt phẳng $(SAD)$, ta thấy $AF \perp SD$ và $SA \perp AD$. Do đó, $AF \perp (SAD)$. - Vì $C$ nằm trong mặt phẳng $(SAD)$, suy ra $AF \perp SC$. 2. Chứng minh $SC \perp EF$: - Ta đã biết $AF \perp SD$ và $AF \perp SC$. Do đó, $AF \perp (SCD)$. - Mặt khác, $EF$ nằm trong mặt phẳng $(SCD)$, suy ra $AF \perp EF$. - Xét mặt phẳng $(SAB)$, ta thấy $AE \perp SB$ và $SA \perp AB$. Do đó, $AE \perp (SAB)$. - Vì $C$ nằm trong mặt phẳng $(SAB)$, suy ra $AE \perp SC$. - Kết hợp với $AF \perp SC$, ta có $SC \perp (AFE)$. Từ hai bước trên, ta đã chứng minh được $SC \perp AF$ và $SC \perp EF$. Do đó, $SC \perp (AFE)$. Đáp số: $SC \perp (AFE)$. Câu 6. Để chứng minh $HK \perp (SCD)$, ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các đường thẳng vuông góc: - Vì $E$ là hình chiếu vuông góc của $H$ trên $CD$, nên $HE \perp CD$. - Vì $F$ là hình chiếu vuông góc của $H$ trên $SE$, nên $HF \perp SE$. 2. Xác định các mặt phẳng vuông góc: - Ta cần chứng minh $HK$ vuông góc với hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng $(SCD)$. 3. Chứng minh $HK \perp CD$: - Vì $HE \perp CD$ và $E$ nằm trên $CD$, nên $HE$ là đường thẳng vuông góc với $CD$. - Do đó, $HK$ cũng vuông góc với $CD$ vì $HK$ nằm trong mặt phẳng $(HSE)$ và $HE \perp CD$. 4. Chứng minh $HK \perp SC$: - Vì $HF \perp SE$ và $F$ nằm trên $SE$, nên $HF$ là đường thẳng vuông góc với $SE$. - Mặt khác, $SE$ nằm trong mặt phẳng $(SAB)$ và $SC$ nằm trong mặt phẳng $(SCD)$. - Do đó, $HK$ cũng vuông góc với $SC$ vì $HK$ nằm trong mặt phẳng $(HSE)$ và $HF \perp SE$. 5. Kết luận: - Vì $HK$ vuông góc với cả $CD$ và $SC$, nên $HK$ vuông góc với mặt phẳng $(SCD)$. Do đó, ta đã chứng minh được $HK \perp (SCD)$. Câu 7. Trước tiên, ta xét từng mệnh đề để kiểm tra tính đúng sai của chúng. A. \( AC \perp (SBD) \) - Vì \( ABCD \) là hình vuông nên \( AC \perp BD \). - Mặt khác, \( SA \perp (ABCD) \) nên \( SA \perp BD \). - Do đó, \( BD \perp (SAC) \), suy ra \( AC \perp (SBD) \). B. \( CD \perp (SAD) \) - \( CD \perp AD \) vì \( ABCD \) là hình vuông. - \( SA \perp (ABCD) \) nên \( SA \perp CD \). - Do đó, \( CD \perp (SAD) \). C. \( BD \perp (SAC) \) - \( BD \perp AC \) vì \( ABCD \) là hình vuông. - \( SA \perp (ABCD) \) nên \( SA \perp BD \). - Do đó, \( BD \perp (SAC) \). D. \( BC \perp (SAB) \) - \( BC \perp AB \) vì \( ABCD \) là hình vuông. - \( SA \perp (ABCD) \) nên \( SA \perp BC \). - Tuy nhiên, \( BC \) không vuông góc với \( SB \) vì \( SB \) nằm trong mặt phẳng \( (SAB) \) và không vuông góc với \( BC \). Do đó, mệnh đề sai là D. \( BC \perp (SAB) \). Đáp án: D. \( BC \perp (SAB) \). Câu 8. Trước tiên, ta nhận thấy rằng hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Điều này có nghĩa là SA là đường cao hạ từ đỉnh S xuống đáy ABCD. Bây giờ, ta xét các khẳng định: A. AM ⊥ SD: - Để AM ⊥ SD, ta cần chứng minh rằng AM nằm trong mặt phẳng vuông góc với SD. Tuy nhiên, không có thông tin nào cho thấy AM nằm trong mặt phẳng này, nên ta không thể khẳng định điều này. B. AM ⊥ (SCD): - Để AM ⊥ (SCD), ta cần chứng minh rằng AM vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (SCD). Ta biết rằng AM ⊥ SB vì M là hình chiếu của A trên SB. Tuy nhiên, không có thông tin nào cho thấy AM vuông góc với SC hoặc SD, nên ta không thể khẳng định điều này. C. AM ⊥ CD: - Ta biết rằng SA ⊥ (ABCD), do đó SA ⊥ CD. Mặt khác, CD nằm trong mặt phẳng (ABCD), và AM là hình chiếu của A trên SB, nên AM không cần thiết phải vuông góc với CD. Do đó, ta không thể khẳng định điều này. D. AM ⊥ (SBC): - Để AM ⊥ (SBC), ta cần chứng minh rằng AM vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (SBC). Ta biết rằng AM ⊥ SB vì M là hình chiếu của A trên SB. Hơn nữa, SA ⊥ (ABCD), do đó SA ⊥ BC. Vì vậy, AM cũng sẽ vuông góc với BC (vì AM nằm trong mặt phẳng (SAB) và BC nằm trong mặt phẳng (ABC)). Do đó, AM ⊥ (SBC). Vậy khẳng định đúng là D. AM ⊥ (SBC). Đáp án: D. AM ⊥ (SBC). Câu 9. Trước tiên, ta xét các mệnh đề đã cho: A. \( AK \perp DC \) B. \( AK \perp SC \) C. \( AH \perp DC \) D. \( KH \perp SC \) Ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một: 1. Mệnh đề A: \( AK \perp DC \) - Vì \( AK \) là đường thẳng đi từ \( A \) đến \( K \) trên \( SD \). Ta cần kiểm tra xem \( AK \) có vuông góc với \( DC \) hay không. - \( DC \) nằm trong mặt phẳng \( ABCD \), còn \( AK \) nằm trong mặt phẳng \( ASD \). Do đó, để \( AK \perp DC \), \( AK \) phải vuông góc với cả hai đường thẳng \( AD \) và \( DC \) trong mặt phẳng \( ABCD \). 2. Mệnh đề B: \( AK \perp SC \) - \( AK \) nằm trong mặt phẳng \( ASD \), còn \( SC \) nằm trong mặt phẳng \( SCD \). Để \( AK \perp SC \), \( AK \) phải vuông góc với cả hai đường thẳng \( SD \) và \( SC \) trong mặt phẳng \( SCD \). 3. Mệnh đề C: \( AH \perp DC \) - \( AH \) là đường thẳng đi từ \( A \) đến \( H \) trên \( SC \). Ta cần kiểm tra xem \( AH \) có vuông góc với \( DC \) hay không. - \( DC \) nằm trong mặt phẳng \( ABCD \), còn \( AH \) nằm trong mặt phẳng \( ASC \). Do đó, để \( AH \perp DC \), \( AH \) phải vuông góc với cả hai đường thẳng \( AD \) và \( DC \) trong mặt phẳng \( ABCD \). 4. Mệnh đề D: \( KH \perp SC \) - \( KH \) là đường thẳng đi từ \( K \) đến \( H \). Ta cần kiểm tra xem \( KH \) có vuông góc với \( SC \) hay không. - \( SC \) nằm trong mặt phẳng \( SCD \), còn \( KH \) nằm trong mặt phẳng \( SKD \). Do đó, để \( KH \perp SC \), \( KH \) phải vuông góc với cả hai đường thẳng \( SD \) và \( SC \) trong mặt phẳng \( SCD \). Từ các phân tích trên, ta thấy rằng: - \( AK \perp DC \) là đúng vì \( AK \) nằm trong mặt phẳng \( ASD \) và vuông góc với \( AD \) và \( DC \). - \( AK \perp SC \) là sai vì \( AK \) nằm trong mặt phẳng \( ASD \) và không vuông góc với \( SC \). - \( AH \perp DC \) là đúng vì \( AH \) nằm trong mặt phẳng \( ASC \) và vuông góc với \( AD \) và \( DC \). - \( KH \perp SC \) là đúng vì \( KH \) nằm trong mặt phẳng \( SKD \) và vuông góc với \( SD \) và \( SC \). Vậy mệnh đề sai là: B. \( AK \perp SC \) Đáp án: B. \( AK \perp SC \) Câu 10. Trước tiên, ta chứng minh rằng \(BC \perp (SAM)\). 1. Chứng minh \(BC \perp AM\): - Vì \(ABC\) là tam giác cân tại \(A\) với \(AB = AC = a\) và \(\widehat{BAC} = 120^\circ\), ta có thể suy ra rằng \(M\) là trung điểm của \(BC\). - Do đó, \(AM\) là đường cao hạ từ đỉnh \(A\) xuống đáy \(BC\). - Trong tam giác cân, đường cao hạ từ đỉnh xuống đáy cũng là đường trung trực của đáy, do đó \(AM \perp BC\). 2. Chứng minh \(BC \perp SA\): - Vì \(SA \perp (ABC)\), nên \(SA \perp BC\). 3. Kết luận \(BC \perp (SAM)\): - Ta đã chứng minh được \(BC \perp AM\) và \(BC \perp SA\). - Vì \(AM\) và \(SA\) là hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng \((SAM)\) và cắt nhau tại \(A\), nên theo định lý ba đường vuông góc, ta có \(BC \perp (SAM)\). Tiếp theo, ta tính diện tích \(S_{SAM}\). 1. Tính độ dài \(AM\): - Ta sử dụng công thức tính chiều cao của tam giác cân: \[ AM = \sqrt{AB^2 - BM^2} \] - Vì \(BM = \frac{BC}{2}\) và \(BC = 2BM\), ta có: \[ BC = 2BM = 2 \times \left( \frac{a}{2} \right) = a \] - Do đó: \[ AM = \sqrt{a^2 - \left( \frac{a}{2} \right)^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2} \] 2. Tính diện tích \(S_{SAM}\): - Diện tích tam giác \(SAM\) được tính bằng công thức: \[ S_{SAM} = \frac{1}{2} \times AM \times SA \] - Thay các giá trị đã biết: \[ S_{SAM} = \frac{1}{2} \times \frac{a\sqrt{3}}{2} \times a = \frac{1}{2} \times \frac{a^2\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \] Vậy diện tích \(S_{SAM}\) là: \[ S_{SAM} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \] Câu 11. Để chứng minh rằng \(BD \perp (SAC)\), ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Chứng minh \(BD \perp AC\): - Vì đáy \(ABCD\) là hình thoi, ta biết rằng đường chéo của hình thoi vuông góc với nhau. Do đó, \(BD \perp AC\). 2. Chứng minh \(BD \perp SO\): - Ta có \(SA = SC\) và \(SB = SD\). Điều này cho thấy \(S\) nằm trên đường thẳng vuông góc với \(AC\) và \(BD\) tại tâm \(O\) của hình thoi. - Vì \(O\) là tâm của hình thoi, \(SO\) là đường cao hạ từ đỉnh \(S\) xuống mặt phẳng \((ABCD)\) và vuông góc với cả hai đường chéo \(AC\) và \(BD\). Do đó, \(BD \perp SO\). 3. Chứng minh \(BD \perp (SAC)\): - Ta đã chứng minh được \(BD \perp AC\) và \(BD \perp SO\). - Mặt phẳng \((SAC)\) được xác định bởi hai đường thẳng \(SA\) và \(AC\). Vì \(BD \perp AC\) và \(BD \perp SO\), theo định lý ba đường vuông góc, ta có \(BD \perp (SAC)\). Vậy ta đã chứng minh được \(BD \perp (SAC)\). Câu 12. Để chứng minh rằng $HK \perp (SBC)$, ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định trực tâm H và K: - H là trực tâm của tam giác SBC, tức là H là giao điểm của các đường cao hạ từ các đỉnh của tam giác SBC. - K là trực tâm của tam giác ABC, tức là K là giao điểm của các đường cao hạ từ các đỉnh của tam giác ABC. 2. Chứng minh SA ⊥ (ABC): - Theo đề bài, ta đã biết $SA \perp (ABC)$. 3. Chứng minh SK ⊥ BC: - Vì K là trực tâm của tam giác ABC, nên đường cao hạ từ đỉnh A đến cạnh BC đi qua K. Do đó, AK ⊥ BC. - Mặt khác, vì $SA \perp (ABC)$, nên SA ⊥ BC. - Kết hợp hai điều trên, ta có SK ⊥ BC (vì SK nằm trong mặt phẳng (SAK) và cả hai đường thẳng SA và AK đều vuông góc với BC). 4. Chứng minh HK ⊥ BC: - Vì H là trực tâm của tam giác SBC, nên đường cao hạ từ đỉnh S đến cạnh BC đi qua H. Do đó, SH ⊥ BC. - Ta đã chứng minh được SK ⊥ BC ở bước trước. - Kết hợp hai điều trên, ta có HK ⊥ BC (vì HK nằm trong mặt phẳng (SHK) và cả hai đường thẳng SH và SK đều vuông góc với BC). 5. Chứng minh HK ⊥ SB: - Vì H là trực tâm của tam giác SBC, nên đường cao hạ từ đỉnh C đến cạnh SB đi qua H. Do đó, CH ⊥ SB. - Mặt khác, vì K là trực tâm của tam giác ABC, nên đường cao hạ từ đỉnh B đến cạnh AC đi qua K. Do đó, BK ⊥ AC. - Kết hợp hai điều trên, ta có HK ⊥ SB (vì HK nằm trong mặt phẳng (CHB) và cả hai đường thẳng CH và BK đều vuông góc với SB). 6. Kết luận: - Ta đã chứng minh được HK ⊥ BC và HK ⊥ SB. - Vì HK vuông góc với hai đường thẳng BC và SB nằm trong mặt phẳng (SBC), nên HK ⊥ (SBC). Vậy ta đã chứng minh được $HK \perp (SBC)$.