....................................

Câu 103. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ): Phương trình $\log^2_3x + \sqrt{\log^2_3x + 1} - 2m - 1 = 0$ có nghĩa là $x > 0$. Vì $x$ thuộc đoạn $[1; 3^{\sqrt{3}}]$, nên ĐKXĐ đã được thỏa mãn. 2. Đặt ẩn phụ: Gọi $t = \log_3 x$. Khi đó phương trình trở thành: \[ t^2 + \sqrt{t^2 + 1} - 2m - 1 = 0 \] 3. Xác định khoảng giá trị của $t$: Vì $x \in [1; 3^{\sqrt{3}}]$, nên $t = \log_3 x \in [\log_3 1; \log_3 3^{\sqrt{3}}] = [0; \sqrt{3}]$. 4. Giải phương trình theo $t$: Ta có phương trình: \[ t^2 + \sqrt{t^2 + 1} = 2m + 1 \] Đặt $u = \sqrt{t^2 + 1}$, suy ra $u^2 = t^2 + 1$ hay $t^2 = u^2 - 1$. Thay vào phương trình, ta được: \[ u^2 - 1 + u = 2m + 1 \] \[ u^2 + u - 2m - 2 = 0 \] 5. Giải phương trình bậc hai: Phương trình $u^2 + u - 2m - 2 = 0$ có nghiệm khi: \[ \Delta = 1 + 4(2m + 2) = 8m + 9 \geq 0 \] Điều này luôn đúng vì $m \geq -\frac{9}{8}$. Nghiệm của phương trình là: \[ u = \frac{-1 \pm \sqrt{8m + 9}}{2} \] Vì $u = \sqrt{t^2 + 1} \geq 1$, nên ta chỉ xét nghiệm dương: \[ u = \frac{-1 + \sqrt{8m + 9}}{2} \] Do đó: \[ \frac{-1 + \sqrt{8m + 9}}{2} \geq 1 \] \[ -1 + \sqrt{8m + 9} \geq 2 \] \[ \sqrt{8m + 9} \geq 3 \] \[ 8m + 9 \geq 9 \] \[ 8m \geq 0 \] \[ m \geq 0 \] 6. Xác định giá trị của $t$: Ta có: \[ t^2 = u^2 - 1 = \left(\frac{-1 + \sqrt{8m + 9}}{2}\right)^2 - 1 \] Để phương trình có nghiệm trong đoạn $[0; \sqrt{3}]$, ta cần: \[ 0 \leq t^2 \leq 3 \] \[ 0 \leq \left(\frac{-1 + \sqrt{8m + 9}}{2}\right)^2 - 1 \leq 3 \] \[ 1 \leq \left(\frac{-1 + \sqrt{8m + 9}}{2}\right)^2 \leq 4 \] \[ 1 \leq \frac{(-1 + \sqrt{8m + 9})^2}{4} \leq 4 \] \[ 4 \leq (-1 + \sqrt{8m + 9})^2 \leq 16 \] \[ 2 \leq -1 + \sqrt{8m + 9} \leq 4 \] \[ 3 \leq \sqrt{8m + 9} \leq 5 \] \[ 9 \leq 8m + 9 \leq 25 \] \[ 0 \leq 8m \leq 16 \] \[ 0 \leq m \leq 2 \] Vậy, các giá trị của tham số $m$ để phương trình có nghiệm thuộc đoạn $[1; 3^{\sqrt{3}}]$ là: \[ 0 \leq m \leq 2 \] Đáp án đúng là: B. $0 \leq m \leq 2$.