giúp mình với ạ cảm ơn nhé

Câu 45. Để giải bất phương trình $(\frac{1}{1+a^2})^{2x+1} > 1$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Ta thấy rằng $\frac{1}{1+a^2}$ luôn dương và khác 1 vì $a \neq 0$. Do đó, bất phương trình có nghĩa là: \[ (\frac{1}{1+a^2})^{2x+1} > 1 \] 2. Phân tích bất phương trình: - Ta biết rằng $\frac{1}{1+a^2} < 1$ vì $1 + a^2 > 1$. - Vì $\frac{1}{1+a^2} < 1$, nên để $(\frac{1}{1+a^2})^{2x+1} > 1$, ta cần $2x + 1 < 0$. 3. Giải bất phương trình $2x + 1 < 0$: - Ta có: \[ 2x + 1 < 0 \implies 2x < -1 \implies x < -\frac{1}{2} \] 4. Kết luận: - Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $(-\infty; -\frac{1}{2})$. Do đó, đáp án đúng là: B. $(-\infty; -\frac{1}{2})$ Câu 46. Điều kiện: $x - 1 > 0$ và $5 - x > 0$ Suy ra: $1 < x < 5$ Bất phương trình đã cho tương đương: \[2\log_2(x-1) \leq \log_2(5-x) + 1\] Chuyển 1 sang vế trái: \[2\log_2(x-1) - 1 \leq \log_2(5-x)\] Nhân cả hai vế với 2 để đưa về cùng cơ số: \[2\log_2(x-1) - \log_2(2) \leq \log_2(5-x)\] \[\log_2((x-1)^2) - \log_2(2) \leq \log_2(5-x)\] Áp dụng tính chất của logarit: \[\log_2\left(\frac{(x-1)^2}{2}\right) \leq \log_2(5-x)\] Vì hàm logarit cơ số 2 là hàm đồng biến, ta có: \[\frac{(x-1)^2}{2} \leq 5 - x\] Nhân cả hai vế với 2: \[(x-1)^2 \leq 2(5 - x)\] \[x^2 - 2x + 1 \leq 10 - 2x\] Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế: \[x^2 - 2x + 1 - 10 + 2x \leq 0\] \[x^2 - 9 \leq 0\] Phân tích thành nhân tử: \[(x - 3)(x + 3) \leq 0\] Giải bất phương trình này: \[x \in [-3, 3]\] Lấy giao của điều kiện ban đầu và tập nghiệm vừa tìm được: \[1 < x \leq 3\] Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \[x \in (1, 3]\] Đáp án đúng là: B. $(1; 3]$. Câu 47. Điều kiện xác định: \[ 4x - 3 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > \frac{3}{4} \] Bất phương trình đã cho là: \[ 2\log_3(4x-3) \leq \log_3(18x+27) \] Ta có thể viết lại bất phương trình này dưới dạng: \[ \log_3((4x-3)^2) \leq \log_3(18x+27) \] Do hàm số $\log_3$ là hàm số đồng biến trên miền xác định của nó, ta có thể loại bỏ hàm số $\log_3$ từ cả hai vế: \[ (4x-3)^2 \leq 18x + 27 \] Phát triển và sắp xếp các hạng tử: \[ 16x^2 - 24x + 9 \leq 18x + 27 \] \[ 16x^2 - 42x - 18 \leq 0 \] Chia cả hai vế cho 2 để đơn giản hóa: \[ 8x^2 - 21x - 9 \leq 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ 8x^2 - 21x - 9 = 0 \] Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{21 \pm \sqrt{(-21)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-9)}}{2 \cdot 8} = \frac{21 \pm \sqrt{441 + 288}}{16} = \frac{21 \pm \sqrt{729}}{16} = \frac{21 \pm 27}{16} \] Tìm các nghiệm: \[ x_1 = \frac{21 + 27}{16} = \frac{48}{16} = 3 \] \[ x_2 = \frac{21 - 27}{16} = \frac{-6}{16} = -\frac{3}{8} \] Vì điều kiện xác định là $x > \frac{3}{4}$, ta chỉ xét nghiệm $x = 3$. Do đó, tập nghiệm của bất phương trình là: \[ S = \left(\frac{3}{4}, 3\right] \] Đáp án đúng là: B. $S = \left(\frac{3}{4}; 3\right]$. Câu 48. Điều kiện: \( x > 0 \). Bất phương trình đã cho tương đương với: \[ \log^2_2(2x) + \log_2 x - \log_2 4 < 9 \] \[ \log^2_2(2x) + \log_2 x - 2 < 9 \] \[ \log^2_2(2x) + \log_2 x - 11 < 0 \] Đặt \( t = \log_2 x \), ta có: \[ \log_2(2x) = \log_2 2 + \log_2 x = 1 + t \] Thay vào bất phương trình, ta được: \[ (1 + t)^2 + t - 11 < 0 \] \[ 1 + 2t + t^2 + t - 11 < 0 \] \[ t^2 + 3t - 10 < 0 \] Giải bất phương trình bậc hai: \[ t^2 + 3t - 10 = 0 \] \[ (t + 5)(t - 2) = 0 \] \[ t = -5 \text{ hoặc } t = 2 \] Vậy: \[ -5 < t < 2 \] Quay lại biến số ban đầu: \[ -5 < \log_2 x < 2 \] Tìm \( x \): \[ 2^{-5} < x < 2^2 \] \[ \frac{1}{32} < x < 4 \] Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \[ \left( \frac{1}{32}, 4 \right) \] Trong các đáp án đã cho, tập hợp chứa trong khoảng này là: D. \( \left( \frac{1}{2}, 2 \right) \) Đáp án đúng là: D. \( \left( \frac{1}{2}, 2 \right) \) Câu 49. Điều kiện xác định: \[ x - 1 > 0 \quad \text{và} \quad 11 - 2x > 0 \] \[ x > 1 \quad \text{và} \quad x < \frac{11}{2} \] \[ 1 < x < \frac{11}{2} \] Bất phương trình đã cho: \[ \log_{\frac{1}{3}}(x-1) + \log_3(11-2x) \geq 0 \] Chúng ta biết rằng $\log_{\frac{1}{3}}(x-1) = -\log_3(x-1)$, do đó: \[ -\log_3(x-1) + \log_3(11-2x) \geq 0 \] \[ \log_3(11-2x) \geq \log_3(x-1) \] Vì hàm số $\log_3$ là hàm số đồng biến, nên: \[ 11 - 2x \geq x - 1 \] \[ 11 + 1 \geq x + 2x \] \[ 12 \geq 3x \] \[ x \leq 4 \] Kết hợp điều kiện xác định $1 < x < \frac{11}{2}$, ta có: \[ 1 < x \leq 4 \] Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \[ (1; 4] \] Đáp án đúng là: B. $(1; 4]$ Câu 50. Điều kiện xác định: \[ \begin{cases} x - 1 > 0 \\ 11 - 2x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 1 \\ x < \frac{11}{2} \end{cases} \Rightarrow 1 < x < \frac{11}{2} \] Bất phương trình đã cho: \[ \log_{\frac{1}{3}}(x-1) + \log_3(11-2x) \geq 0 \] Chúng ta biết rằng: \[ \log_{\frac{1}{3}}(x-1) = -\log_3(x-1) \] Do đó, bất phương trình trở thành: \[ -\log_3(x-1) + \log_3(11-2x) \geq 0 \] \[ \log_3(11-2x) \geq \log_3(x-1) \] Vì hàm số logarit cơ sở 3 là hàm số đồng biến, nên: \[ 11 - 2x \geq x - 1 \] \[ 11 + 1 \geq x + 2x \] \[ 12 \geq 3x \] \[ x \leq 4 \] Kết hợp điều kiện xác định \(1 < x < \frac{11}{2}\), ta có: \[ 1 < x \leq 4 \] Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \[ (1; 4] \] Đáp án đúng là: B. $(1; 4]$. Câu 51. Để giải bất phương trình $(3^x + 2)(4^{x+1} - 8^{2x+1}) \leq 0$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Ta thấy rằng $3^x + 2 > 0$ vì $3^x > 0$ với mọi $x$. Do đó, $3^x + 2$ luôn dương. - Điều này có nghĩa là bất phương trình sẽ phụ thuộc vào dấu của $4^{x+1} - 8^{2x+1}$. 2. Phân tích biểu thức $4^{x+1} - 8^{2x+1}$: - Ta viết lại $4^{x+1}$ và $8^{2x+1}$ dưới dạng cơ số 2: \[ 4^{x+1} = (2^2)^{x+1} = 2^{2(x+1)} = 2^{2x+2} \] \[ 8^{2x+1} = (2^3)^{2x+1} = 2^{3(2x+1)} = 2^{6x+3} \] - Bất phương trình trở thành: \[ 2^{2x+2} - 2^{6x+3} \leq 0 \] 3. Tìm nghiệm của bất phương trình: - Ta đặt $y = 2^{2x+2}$, thì $2^{6x+3} = 2^{3(2x+1)} = 2^{3(2x+2-1)} = 2^{3(2x+2)-3} = y^3 \cdot 2^{-3} = \frac{y^3}{8}$. - Bất phương trình trở thành: \[ y - \frac{y^3}{8} \leq 0 \] - Nhân cả hai vế với 8 để loại bỏ mẫu số: \[ 8y - y^3 \leq 0 \] - Rút gọn: \[ y(8 - y^2) \leq 0 \] - Ta thấy rằng $y = 2^{2x+2} > 0$ với mọi $x$. Do đó, ta chỉ cần xét dấu của $8 - y^2$: \[ 8 - y^2 \leq 0 \implies y^2 \geq 8 \implies y \geq \sqrt{8} \text{ hoặc } y \leq -\sqrt{8} \] - Vì $y = 2^{2x+2} > 0$, ta chỉ xét trường hợp $y \geq \sqrt{8}$: \[ 2^{2x+2} \geq \sqrt{8} \implies 2^{2x+2} \geq 2^{3/2} \implies 2x + 2 \geq \frac{3}{2} \implies 2x \geq \frac{3}{2} - 2 \implies 2x \geq -\frac{1}{2} \implies x \geq -\frac{1}{4} \] 4. Kết luận: - Tập nghiệm của bất phương trình là $x \geq -\frac{1}{4}$. Do đó, đáp án đúng là: B. $(-\infty; -\frac{1}{4}]$ Đáp số: B. $(-\infty; -\frac{1}{4}]$ Câu 52. Đặt $t=3^x>0$, ta có: $3^{2x+1}-7\times 3^x+2>0$ $\Leftrightarrow 3\times 3^{2x}-7\times 3^x+2>0$ $\Leftrightarrow 3\times t^2-7\times t+2>0$ $\Leftrightarrow (3\times t-1)\times (t-2)>0$ $\Leftrightarrow (t-\frac{1}{3})\times (t-2)>0$ $\Rightarrow \left[\begin{array}{l}t< \frac{1}{3}\\t>2\end{array}\right.$ $\Rightarrow \left[\begin{array}{l}3^x< 3^{-1}\\3^x>3^{\log_32}\end{array}\right.$ $\Rightarrow \left[\begin{array}{l}x< -1\\x>\log_32\end{array}\right.$ Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=(-\infty;-1)\cup (\log_32;+\infty)$ Chọn đáp án C Câu 53. Để giải bất phương trình $3^{3x+1} - 9 + 3^{x+1} - 9 \cdot 3^{2x} > 0$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Đặt $t = 3^x$. Ta có: \[ 3^{3x+1} = 3 \cdot (3^x)^3 = 3t^3 \] \[ 3^{x+1} = 3 \cdot 3^x = 3t \] \[ 9 \cdot 3^{2x} = 9 \cdot (3^x)^2 = 9t^2 \] Bước 2: Thay vào bất phương trình: \[ 3t^3 - 9 + 3t - 9t^2 > 0 \] Bước 3: Gom các hạng tử lại: \[ 3t^3 - 9t^2 + 3t - 9 > 0 \] Bước 4: Chia cả hai vế cho 3: \[ t^3 - 3t^2 + t - 3 > 0 \] Bước 5: Nhóm các hạng tử để dễ dàng phân tích: \[ t^3 - 3t^2 + t - 3 = t^2(t - 3) + 1(t - 3) = (t^2 + 1)(t - 3) \] Bước 6: Xét dấu của biểu thức $(t^2 + 1)(t - 3)$: - $t^2 + 1$ luôn dương vì $t^2 \geq 0$ và $1 > 0$. - Do đó, $(t^2 + 1)(t - 3) > 0$ khi $t - 3 > 0$, tức là $t > 3$. Bước 7: Quay lại biến đổi ban đầu $t = 3^x$, ta có: \[ 3^x > 3 \] \[ x > 1 \] Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $(1; +\infty)$. Đáp án đúng là: C. $(1; +\infty)$. Câu 54. Để giải bất phương trình $6 \cdot 4^x - 13 \cdot 6^x + 6 \cdot 9^x > 0$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Chia cả hai vế của bất phương trình cho $9^x$ để đơn giản hóa: \[ 6 \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^x - 13 \cdot \left(\frac{6}{9}\right)^x + 6 > 0 \] Bước 2: Đặt $t = \left(\frac{2}{3}\right)^x$. Ta có: \[ 6 \cdot t^{2x} - 13 \cdot t^x + 6 > 0 \] Bước 3: Gọi $u = t^x$. Bất phương trình trở thành: \[ 6u^2 - 13u + 6 > 0 \] Bước 4: Giải phương trình bậc hai $6u^2 - 13u + 6 = 0$ để tìm các nghiệm: \[ u = \frac{13 \pm \sqrt{13^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6}}{2 \cdot 6} = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 144}}{12} = \frac{13 \pm \sqrt{25}}{12} = \frac{13 \pm 5}{12} \] \[ u_1 = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}, \quad u_2 = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \] Bước 5: Xác định khoảng giá trị của $u$ sao cho $6u^2 - 13u + 6 > 0$: \[ u < \frac{2}{3} \quad \text{hoặc} \quad u > \frac{3}{2} \] Bước 6: Quay lại biến $t$: \[ t^x < \frac{2}{3} \quad \text{hoặc} \quad t^x > \frac{3}{2} \] Bước 7: Vì $t = \left(\frac{2}{3}\right)^x$, ta có: \[ \left(\frac{2}{3}\right)^x < \frac{2}{3} \quad \text{hoặc} \quad \left(\frac{2}{3}\right)^x > \frac{3}{2} \] Bước 8: Giải các bất phương trình trên: \[ x > 1 \quad \text{hoặc} \quad x < -1 \] Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \[ S = (-\infty, -1) \cup (1, +\infty) \] Đáp án đúng là: C. $S = (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$