Kslwmsnsnms

Câu 37: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm khoảng cách từ tâm O đến dây AB: - Ta biết rằng đường kính của đường tròn là 30 cm (vì bán kính là 15 cm). - Gọi khoảng cách từ tâm O đến dây AB là h. - Áp dụng công thức tính khoảng cách từ tâm đến dây: \( h = \sqrt{R^2 - \left(\frac{AB}{2}\right)^2} \) - Thay số vào công thức: \[ h = \sqrt{15^2 - \left(\frac{24}{2}\right)^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9 \text{ cm} \] 2. Xác định vị trí của các điểm E và F: - Tiếp tuyến song song với dây AB cắt các tia OA và OB tại E và F. - Vì tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc, nên OE và OF là các đoạn thẳng vuông góc với tiếp tuyến. 3. Tính độ dài EF: - Ta thấy rằng tam giác OEF là tam giác vuông tại O. - Độ dài EF sẽ bằng khoảng cách từ tâm O đến dây AB cộng thêm 2 lần bán kính của đường tròn. - Do đó: \[ EF = 2 \times R + h = 2 \times 15 + 9 = 30 + 9 = 39 \text{ cm} \] Nhưng ta nhận thấy rằng đáp án không đúng trong các lựa chọn đã cho. Chúng ta cần kiểm tra lại các bước đã làm. 4. Kiểm tra lại các bước: - Ta thấy rằng độ dài EF phải là tổng của hai đoạn thẳng từ tâm O đến các điểm tiếp xúc trên các tia OA và OB. - Vì tiếp tuyến song song với dây AB, nên độ dài EF sẽ là: \[ EF = 2 \times (R + h) = 2 \times (15 + 9) = 2 \times 24 = 48 \text{ cm} \] Vậy độ dài EF là 48 cm. Đáp án đúng là: D. 48 cm. Câu 38: Hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc trong, tức là chúng chỉ có một điểm chung và đường tròn (O') nằm hoàn toàn bên trong đường tròn (O). Trong trường hợp này, ta không thể vẽ được tiếp tuyến chung ngoài nào giữa hai đường tròn này. Tiếp tuyến chung ngoài là đường thẳng cắt qua cả hai đường tròn ở hai điểm khác nhau trên mỗi đường tròn, nhưng do hai đường tròn tiếp xúc trong, không có khoảng cách nào để vẽ tiếp tuyến chung ngoài. Do đó, số tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn đó là 0. Đáp án đúng là: A. 0 Câu 39: Để xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông, chúng ta cần hiểu rằng tâm đường tròn ngoại tiếp của một tam giác là điểm cách đều ba đỉnh của tam giác. Trong trường hợp của tam giác vuông, tâm đường tròn ngoại tiếp nằm ở trung điểm của cạnh huyền. Đây là một tính chất đặc biệt của tam giác vuông. Lý do: - Tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác vuông phải cách đều ba đỉnh của tam giác. - Trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh dài nhất và nằm đối diện với góc vuông. - Điểm cách đều hai đỉnh của cạnh huyền chính là trung điểm của cạnh huyền. Do đó, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông nằm ở trung điểm của cạnh huyền. Đáp án đúng là: C. trung điểm cạnh huyền. Câu 40: Để tìm đường thẳng song song với đường thẳng $(d): y = 2 - 3x$, ta cần tìm đường thẳng có cùng hệ số góc với đường thẳng $(d)$. Hệ số góc của đường thẳng $(d)$ là $-3$. Do đó, đường thẳng song song với $(d)$ cũng sẽ có hệ số góc là $-3$. Ta kiểm tra từng đáp án: - Đáp án A: $y = 3x + 2$. Hệ số góc là $3$, không phải $-3$. - Đáp án B: $y = 2x + 1$. Hệ số góc là $2$, không phải $-3$. - Đáp án C: $y = 3x + 2$. Hệ số góc là $3$, không phải $-3$. - Đáp án D: $y = -3x + 4$. Hệ số góc là $-3$, đúng. Vậy đường thẳng song song với đường thẳng $(d)$ là $y = -3x + 4$. Đáp án đúng là: D. $y = -3x + 4$. Câu 41: Để điều chỉnh lại đúng giờ, ta cần quay kim phút theo chiều kim đồng hồ để bù lại 20 phút đã chậm. Một vòng tròn đầy đủ là 360 độ, tương ứng với 60 phút trên đồng hồ. Ta tính góc cần quay bằng cách lấy số phút cần bù chia cho tổng số phút trong một vòng tròn rồi nhân với 360 độ: \[ \text{Góc cần quay} = \left( \frac{20}{60} \right) \times 360^\circ = \frac{1}{3} \times 360^\circ = 120^\circ \] Vậy để điều chỉnh lại đúng giờ, ta phải quay kim phút theo chiều kim đồng hồ một góc ở tâm bằng 120 độ. Đáp án đúng là: D. 120° Câu 42: Để rút gọn biểu thức \( A = \sqrt{x^2 - 10x + 25} - \sqrt{x^2 + 4x + 4} \) với điều kiện \( x \geq 5 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Phân tích biểu thức dưới dấu căn: - \( x^2 - 10x + 25 \) có thể viết lại thành \( (x - 5)^2 \). - \( x^2 + 4x + 4 \) có thể viết lại thành \( (x + 2)^2 \). 2. Thay vào biểu thức: \[ A = \sqrt{(x - 5)^2} - \sqrt{(x + 2)^2} \] 3. Rút gọn các căn bậc hai: - Vì \( x \geq 5 \), nên \( x - 5 \geq 0 \). Do đó, \( \sqrt{(x - 5)^2} = x - 5 \). - Vì \( x \geq 5 \), nên \( x + 2 > 0 \). Do đó, \( \sqrt{(x + 2)^2} = x + 2 \). 4. Thay vào biểu thức đã rút gọn: \[ A = (x - 5) - (x + 2) \] 5. Thực hiện phép trừ: \[ A = x - 5 - x - 2 = -7 \] Vậy kết quả của biểu thức \( A \) là \(-7\). Đáp án đúng là: D. -7. Câu 43: Để tìm điều kiện xác định của biểu thức $\sqrt{x-20}$, ta cần đảm bảo rằng biểu thức dưới dấu căn (tức là $x-20$) phải lớn hơn hoặc bằng 0. Ta có: \[ x - 20 \geq 0 \] Giải bất phương trình này: \[ x \geq 20 \] Vậy điều kiện xác định của biểu thức $\sqrt{x-20}$ là: \[ x \geq 20 \] Đáp án đúng là: $\textcircled B.~x\geq20$. Câu 44: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng công thức tính độ dài tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn. Bước 1: Xác định bán kính của hai đường tròn: - Đường tròn (O) có bán kính R = 8 cm. - Đường tròn (I) có bán kính r = 2 cm. Bước 2: Xác định khoảng cách giữa tâm của hai đường tròn: - Vì hai đường tròn tiếp xúc ngoài nhau, nên khoảng cách giữa tâm O và tâm I là: OI = R + r = 8 cm + 2 cm = 10 cm. Bước 3: Áp dụng công thức tính độ dài tiếp tuyến chung ngoài: \[ MN = \sqrt{OI^2 - (R - r)^2} \] Thay các giá trị vào công thức: \[ MN = \sqrt{10^2 - (8 - 2)^2} \] \[ MN = \sqrt{100 - 6^2} \] \[ MN = \sqrt{100 - 36} \] \[ MN = \sqrt{64} \] \[ MN = 8 \text{ cm} \] Vậy độ dài đoạn thẳng MN là 8 cm. Đáp án đúng là: B. 8 cm. Câu 45: Để hai đường thẳng $y=(k+1)x+3$ và $y=(4-2k)x+1)$ song song, ta cần đảm bảo rằng các hệ số góc của chúng bằng nhau. Hệ số góc của đường thẳng đầu tiên là $(k+1)$. Hệ số góc của đường thẳng thứ hai là $(4-2k)$. Điều kiện để hai đường thẳng song song là: \[ k + 1 = 4 - 2k \] Bây giờ, ta giải phương trình này: \[ k + 1 = 4 - 2k \] \[ k + 2k = 4 - 1 \] \[ 3k = 3 \] \[ k = 1 \] Vậy, hai đường thẳng song song khi $k = 1$. Do đó, đáp án đúng là: \[ \textcircled{A.}~k=1 \] Câu 46: Trước tiên, ta cần xác định các giá trị sin của góc A và C trong tam giác ABC vuông tại B. - Ta biết rằng trong tam giác vuông, sin của một góc là tỉ số giữa độ dài cạnh đối diện với góc đó và độ dài cạnh huyền. 1. Xác định sinA: - Cạnh đối với góc A là BC. - Cạnh huyền là AC. - Vậy, $\sin A = \frac{BC}{AC} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$. 2. Xác định sinC: - Cạnh đối với góc C là AB. - Cạnh huyền là AC. - Vậy, $\sin C = \frac{AB}{AC} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$. 3. Tính tổng sinA + sinC: - $\sin A + \sin C = \frac{4}{5} + \frac{3}{5} = \frac{7}{5}$. Vậy giá trị của tổng $\sin A + \sin C$ là $\frac{7}{5}$. Đáp án đúng là: $\textcircled B~\frac{7}{5}$. Câu 47: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các thông tin đã biết: - Điểm O là tâm của đường tròn. - Điểm A nằm ngoài đường tròn. - Các đoạn thẳng AB và AC là các tiếp tuyến của đường tròn tại các tiếp điểm B và C. - OA = 4 cm. - OB = 2 cm. 2. Áp dụng tính chất của tiếp tuyến: - Vì AB và AC là các tiếp tuyến của đường tròn tại các tiếp điểm B và C, nên OB và OC vuông góc với AB và AC tại B và C. - Do đó, tam giác OAB và OAC là các tam giác vuông tại B và C. 3. Tính độ dài các cạnh của tam giác OAB và OAC: - Trong tam giác OAB, ta có OA = 4 cm và OB = 2 cm. - Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác OAB: \[ AB = \sqrt{OA^2 - OB^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \text{ cm} \] - Vì tam giác OAB và OAC là các tam giác đồng dạng (cùng có góc vuông và chung góc OAB = OAC), nên AB = AC = $2\sqrt{3}$ cm. 4. Tính chu vi của tam giác ABC: - Chu vi của tam giác ABC là tổng các cạnh AB, BC và CA. - Vì B và C là các tiếp điểm, nên BC là đoạn thẳng nối hai tiếp điểm và cũng là đường kính của đường tròn. - Đường kính của đường tròn là 2 lần bán kính, tức là: \[ BC = 2 \times OB = 2 \times 2 = 4 \text{ cm} \] - Vậy chu vi của tam giác ABC là: \[ AB + BC + CA = 2\sqrt{3} + 4 + 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} + 4 \text{ cm} \] Do đó, đáp án đúng là: \[ D.~4\sqrt3+4~cm \] Câu 48: Để ba đường thẳng $(d_1)$, $(d_2)$ và $(d_3)$ cùng đi qua một điểm, ta cần tìm giao điểm của $(d_1)$ và $(d_2)$, sau đó thay tọa độ giao điểm này vào phương trình của $(d_3)$ để tìm giá trị của $m$. Bước 1: Tìm giao điểm của $(d_1)$ và $(d_2)$ Phương trình của $(d_1)$ là: \[ y = x + 3 \] Phương trình của $(d_2)$ là: \[ y = -3x + 11 \] Để tìm giao điểm, ta đặt $y$ của $(d_1)$ bằng $y$ của $(d_2)$: \[ x + 3 = -3x + 11 \] Giải phương trình này: \[ x + 3x = 11 - 3 \] \[ 4x = 8 \] \[ x = 2 \] Thay $x = 2$ vào phương trình của $(d_1)$ để tìm $y$: \[ y = 2 + 3 = 5 \] Vậy giao điểm của $(d_1)$ và $(d_2)$ là $(2, 5)$. Bước 2: Thay tọa độ giao điểm $(2, 5)$ vào phương trình của $(d_3)$ để tìm $m$ Phương trình của $(d_3)$ là: \[ y = mx + 1 \] Thay $x = 2$ và $y = 5$ vào phương trình của $(d_3)$: \[ 5 = m \cdot 2 + 1 \] Giải phương trình này: \[ 5 = 2m + 1 \] \[ 2m = 5 - 1 \] \[ 2m = 4 \] \[ m = 2 \] Vậy giá trị của $m$ để ba đường thẳng cùng đi qua một điểm là $m = 2$. Đáp án đúng là: A. 2 Câu 49: Để xác định hệ thức đúng giữa khoảng cách giữa tâm hai đường tròn và bán kính của chúng, ta cần dựa vào điều kiện để hai đường tròn cắt nhau. Hai đường tròn $(O_1; R_1)$ và $(O_2; R_2)$ cắt nhau khi khoảng cách giữa tâm hai đường tròn nằm trong khoảng từ hiệu hai bán kính đến tổng hai bán kính. Cụ thể, ta có: \[ |R_2 - R_1| < O_1O_2 < R_2 + R_1 \] Trong các lựa chọn đã cho, chỉ có đáp án B đúng theo điều kiện trên: \[ R_2 - R_1 < O_1O_2 < R_2 + R_1 \] Vậy đáp án đúng là: \[ B.~R_2 - R_1 < O_1O_2 < R_2 + R_1 \] Câu 50: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của đường tròn và các tam giác đồng dạng. 1. Xác định các điểm và đoạn thẳng: - Đường tròn $(O)$ có đường kính $AB = 2R$. - $C$ là trung điểm của $OA$, do đó $OC = \frac{R}{2}$. - Dây $MN$ vuông góc với $AB$ tại $C$, do đó $MN$ là đường kính của đường tròn nhỏ hơn với tâm là $C$. - Trên cung nhỏ $MB$ lấy điểm $K$, nối $AK$ cắt $MN$ tại $H$. 2. Tính toán các đoạn thẳng: - Vì $MN$ vuông góc với $AB$ tại $C$, nên $MN$ là đường kính của đường tròn nhỏ hơn với tâm là $C$. Do đó, $MN = R$. - Ta có $AC = R - OC = R - \frac{R}{2} = \frac{R}{2}$. 3. Áp dụng tính chất đường kính và dây cung: - Vì $MN$ là đường kính của đường tròn nhỏ hơn với tâm là $C$, nên $MN$ chia đường tròn thành hai phần bằng nhau. - Tam giác $AMN$ là tam giác vuông tại $C$ với $MN$ là đường cao hạ từ đỉnh $C$ xuống đáy $AB$. 4. Áp dụng tính chất tam giác đồng dạng: - Xét tam giác $AHK$ và tam giác $AKM$, ta thấy: - $\angle AHK = \angle AKM$ (cùng bù với $\angle HAK$). - $\angle AKH = \angle AMK$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $AK$). - Do đó, tam giác $AHK$ đồng dạng với tam giác $AKM$ theo tỉ lệ $\frac{AH}{AK} = \frac{AK}{AM}$. 5. Tính tích $AH \cdot AK$: - Từ tính chất đồng dạng, ta có: $AH \cdot AK = AK^2$. - Ta biết rằng $AK$ là bán kính của đường tròn lớn, do đó $AK = R$. - Vậy $AH \cdot AK = R^2$. Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{B. R^2} \]