các câu hỏi trắc nghiệm,đúng sai, tự luận

Câu 14. Trước tiên, ta xét từng khẳng định một để kiểm tra xem chúng có đúng hay sai. A. $$ - Vì đáy ABCD là hình vuông nên $$. - Mặt khác, $$ nên $$. - Do đó, $$ là đường thẳng chung giữa hai mặt phẳng $$ và $$. - Kết hợp $$ và $$, ta suy ra $$. B. $$ - Theo đề bài, $$, do đó $$ là đúng. C. $$ - Vì đáy ABCD là hình vuông nên $$. - Mặt khác, $$ nên $$. - Do đó, $$ là đường thẳng chung giữa hai mặt phẳng $$ và $$. - Kết hợp $$ và $$, ta suy ra $$. D. $$ - Ta cần kiểm tra xem $$ có vuông góc với cả hai đường thẳng $$ và $$ trong mặt phẳng $$ hay không. - $$ nên $$. - Tuy nhiên, $$ không vuông góc với $$ vì $$ và $$ là hai đường chéo của hình vuông ABCD, chúng cắt nhau tại tâm O và tạo thành các góc 45°. Do đó, khẳng định D là sai. Đáp án: D. $$ Câu 15. Trước tiên, ta xét tính chất của tứ diện ABCD: - Mặt ABC là tam giác đều, do đó các cạnh AB, BC, CA bằng nhau. - Mặt ABD cũng là tam giác đều, do đó các cạnh AB, BD, DA bằng nhau. Gọi M là trung điểm của AB, ta có: - AM = MB vì M là trung điểm của AB. Ta sẽ kiểm tra từng khẳng định: A. $$ - Để $$, thì CM phải vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABD). Tuy nhiên, ta thấy rằng CM không thể vuông góc với cả AB và BD cùng lúc vì M chỉ là trung điểm của AB, không phải là tâm của tam giác đều ABD. Do đó, khẳng định này sai. B. $$ - Để $$, thì AB phải vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (MCD). Tuy nhiên, ta thấy rằng AB không thể vuông góc với cả MC và MD cùng lúc vì M chỉ là trung điểm của AB, không phải là tâm của tam giác đều ABD. Do đó, khẳng định này sai. C. $$ - Để $$, thì AB phải vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (BCD). Tuy nhiên, ta thấy rằng AB không thể vuông góc với cả BC và BD cùng lúc vì B là đỉnh chung của tam giác đều ABC và ABD. Do đó, khẳng định này sai. D. $$ - Để $$, thì DM phải vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABC). Ta thấy rằng M là trung điểm của AB, và do đó DM là đường cao hạ từ D xuống AB trong tam giác đều ABD. Vì vậy, DM vuông góc với AB. Hơn nữa, vì ABC là tam giác đều, nên DM cũng vuông góc với AC (vì AC là đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABC) và vuông góc với AB tại M). Do đó, DM vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABC). Vậy khẳng định đúng là: D. $$ Đáp án: D. $$ Câu 16. Trước tiên, ta xét hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với đáy. Điều này có nghĩa là SA vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đáy ABCD. Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề: A. $$ - Để $$, thì $$ phải vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (SAB). Tuy nhiên, $$ nằm trong mặt phẳng đáy ABCD và không vuông góc với $$ (vì $$ và $$ là hai cạnh liên tiếp của hình vuông). Do đó, $$ không thể vuông góc với mặt phẳng (SAB). B. $$ - Để $$, thì $$ phải vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phằng (SBD). Tuy nhiên, $$ nằm trong mặt phẳng đáy ABCD và không vuông góc với $$ (vì $$ và $$ là hai đường chéo của hình vuông và chúng cắt nhau tại tâm hình vuông). Do đó, $$ không thể vuông góc với mặt phẳng (SBD). C. $$ - Để $$, thì $$ phải vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (SAC). Tuy nhiên, $$ nằm trong mặt phẳng đáy ABCD và không vuông góc với $$ (vì $$ và $$ là hai đường chéo của hình vuông và chúng cắt nhau tại tâm hình vuông). Do đó, $$ không thể vuông góc với mặt phẳng (SAC). D. $$ - Để $$, thì $$ phải vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (SBC). Ta thấy rằng $$ nằm trong mặt phẳng đáy ABCD và vuông góc với $$ (vì $$ và $$ là hai cạnh liên tiếp của hình vuông). Mặt khác, $$ vuông góc với đáy ABCD, do đó $$ vuông góc với $$. Vì vậy, $$ vuông góc với cả $$ và $$, nên $$ vuông góc với mặt phẳng (SBC). Vậy mệnh đề đúng là: D. $$ Câu 17. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của các tam giác cân và góc giữa hai đường thẳng trong không gian. 1. Xác định các tính chất của tam giác cân: - Tam giác MNP cân tại M, do đó $$. - Tam giác QNP cân tại Q, do đó $$. 2. Xác định trung điểm của NP: - Gọi O là trung điểm của NP. Vì O là trung điểm của NP, nên $$. 3. Xác định các đoạn thẳng vuông góc: - Trong tam giác cân MNP, đường cao hạ từ đỉnh M xuống đáy NP sẽ đi qua trung điểm O của NP. Do đó, $$. - Tương tự, trong tam giác cân QNP, đường cao hạ từ đỉnh Q xuống đáy NP cũng sẽ đi qua trung điểm O của NP. Do đó, $$. 4. Xác định góc giữa hai đường thẳng MQ và NP: - Vì $$ và $$, nên góc giữa hai đường thẳng MQ và NP sẽ là góc giữa hai đường thẳng MO và QO. - Ta thấy rằng $$ và $$ nằm trên cùng một mặt phẳng và vuông góc với NP, do đó góc giữa $$ và $$ sẽ là góc giữa hai đường thẳng này trong mặt phẳng đó. 5. Xác định góc giữa MO và QO: - Vì $$ và $$ đều vuông góc với NP và nằm trên cùng một mặt phẳng, góc giữa chúng sẽ là góc giữa hai đường thẳng này trong mặt phẳng đó. - Ta thấy rằng $$ và $$ tạo thành một góc vuông (90°) vì chúng đều vuông góc với NP và nằm trên cùng một mặt phẳng. Do đó, góc giữa hai đường thẳng MQ và NP là $$. Đáp án đúng là: D. $$. Câu 18. Để xác định góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy của hình chóp S.ABC, ta cần tìm góc giữa đường thẳng SB và hình chiếu của nó lên mặt phẳng đáy. Trước tiên, ta nhận thấy rằng SA vuông góc với đáy, do đó SA vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong đáy. Điều này có nghĩa là SA vuông góc với AB và AC. Hình chiếu của SB lên mặt phẳng đáy là đường thẳng từ B kéo dài xuống đáy, tức là đường thẳng BA hoặc BC. Tuy nhiên, vì SA vuông góc với đáy, nên hình chiếu của SB lên mặt phẳng đáy sẽ là đường thẳng từ B kéo dài xuống đáy và vuông góc với SA. Do đó, góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy chính là góc giữa SB và hình chiếu của nó lên mặt phẳng đáy, tức là góc giữa SB và BA hoặc BC. Từ các lựa chọn đã cho: A. SB và AB. B. SB và SC. C. SA và SB. D. SB và BC. Chúng ta thấy rằng góc giữa SB và mặt phẳng đáy là góc giữa SB và hình chiếu của nó lên mặt phẳng đáy, tức là góc giữa SB và BA hoặc BC. Do đó, đáp án đúng là: A. SB và AB hoặc D. SB và BC. Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, chỉ có SB và AB là một trong các lựa chọn. Vì vậy, đáp án đúng là: A. SB và AB. Câu 19. Để xác định góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy ABC, ta cần tìm góc giữa đường thẳng SC và hình chiếu của nó lên mặt phẳng đáy. Trước tiên, ta nhận thấy rằng SA vuông góc với đáy ABC, do đó SA vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong đáy ABC. Điều này có nghĩa là SA vuông góc với AC và SA vuông góc với AB. Hình chiếu của SC lên mặt phẳng đáy ABC là đoạn thẳng từ S hạ vuông góc xuống đáy ABC. Vì SA vuông góc với đáy ABC, nên hình chiếu của SC sẽ là đoạn thẳng từ C kéo dài thẳng đứng xuống đáy ABC, tức là đoạn thẳng từ C đến A. Do đó, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy ABC chính là góc giữa SC và hình chiếu của nó lên mặt phẳng đáy, tức là góc giữa SC và AC. Vậy đáp án đúng là: D. SC và AC. Câu 20. Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác cân tại B và SA vuông góc với đáy. Điều này có nghĩa là SA vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng ABC. Bây giờ, ta xét từng khẳng định: A. $$: - Ta thấy rằng BI nằm trong mặt phẳng ABC và SA vuông góc với ABC, do đó SA vuông góc với BI. - Mặt khác, vì I là trung điểm của AC nên BI cũng vuông góc với AC (do tính chất tam giác cân). - Tuy nhiên, để khẳng định $$, ta cần thêm thông tin về vị trí của H trên SC và mối liên hệ giữa các đường thẳng trong hai mặt phẳng này. Do đó, ta chưa thể chắc chắn khẳng định này. B. $$: - Vì SA vuông góc với đáy ABC, do đó SA vuông góc với AB và AC. - Điều này có nghĩa là mặt phẳng SAC vuông góc với mặt phẳng SAB tại SA. - Do đó, khẳng định này là đúng. C. $$: - Để khẳng định $$, ta cần một đường thẳng nằm trong mặt phẳng SBC vuông góc với mặt phẳng ABC. - Tuy nhiên, trong bài toán này, ta không có thông tin cụ thể về mối liên hệ vuông góc giữa các đường thẳng trong hai mặt phẳng này. Do đó, ta chưa thể chắc chắn khẳng định này. D. $$: - Để khẳng định $$, ta cần một đường thẳng nằm trong mặt phẳng SAC vuông góc với mặt phẳng SBC. - Tuy nhiên, trong bài toán này, ta không có thông tin cụ thể về mối liên hệ vuông góc giữa các đường thẳng trong hai mặt phẳng này. Do đó, ta chưa thể chắc chắn khẳng định này. Từ các lập luận trên, ta thấy rằng khẳng định duy nhất có thể chắc chắn là: B. $$ Vậy đáp án đúng là B. $$. Câu 21. Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định góc phẳng của góc nhị diện liên quan đến góc BAC trong hình chóp S.ABCD. Trước tiên, ta nhận thấy rằng đáy ABCD là hình thoi, do đó các cạnh AB, BC, CD, DA đều bằng nhau và các đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại tâm O của hình thoi. Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy ABCD, tức là SA vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng ABCD, bao gồm cả AC và BD. Góc BAC là góc phẳng giữa hai mặt phẳng SAB và SAC. Do đó, góc BAC là góc phẳng của góc nhị diện [B,SA,C]. Vậy đáp án đúng là: B. [B,SA,C]. Đáp số: B. [B,SA,C]. Câu 1. a) Ta có $$. Đúng. b) Tập xác định của hàm số $$ là $$. Sai vì điều kiện của $$ là $$, suy ra $$. c) Hàm số $$ là hàm số đồng biến trên $$. Đúng vì hàm số lôgarit cơ số lớn hơn 1 là hàm số đồng biến. d) Điều kiện của $$ là $$. Đúng vì để hàm số $$ có nghĩa thì $$, suy ra $$. Đáp án đúng là: a, c, d. Câu 2. Trước tiên, ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn một để xác định điều nào đúng. a) $$: - Vì $$ vuông góc với mặt phẳng đáy $$, nên $$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đáy, bao gồm cả $$. Do đó, $$ là đúng. b) $$: - Mặt phẳng $$ chứa $$ và $$ vuông góc với mặt phẳng đáy $$. Điều này không đủ để kết luận rằng mặt phẳng $$ vuông góc với mặt phẳng đáy $$. Do đó, $$ là sai. c) Tam giác $$ vuông: - Để tam giác $$ vuông, một trong các góc của nó phải là $$. Tuy nhiên, chỉ biết $$ không đủ để kết luận rằng tam giác $$ là tam giác vuông. Do đó, tam giác $$ vuông là sai. d) $$: - $$ và $$ lần lượt là hình chiếu của $$ trên các cạnh $$ và $$. Điều này có nghĩa là $$ và $$. Tuy nhiên, để kết luận rằng $$, ta cần thêm thông tin về vị trí của $$ và các đường thẳng liên quan. Do đó, $$ là sai. Kết luận: Đáp án đúng là a) $$. Đáp án: a) $$. Câu 3. Trước tiên, ta sẽ xem xét từng lựa chọn một để xác định điều gì đúng và sai. a) $$. - Vì $$ và $$, nên $$ vuông góc với cả hai đường thẳng $$ và $$. Do đó, $$ cũng vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng $$, bao gồm cả đường cao $$ của tam giác $$. Mặt khác, $$ là đường cao của tam giác $$, do đó $$. Tuy nhiên, vì $$ và $$ nằm trong mặt phẳng $$, ta không thể kết luận ngay rằng $$. Ta cần thêm thông tin về vị trí của $$ trên $$. b) $$. - Vì $$ và $$, nên $$ vuông góc với cả hai đường thẳng $$ và $$. Điều này có nghĩa là $$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng $$. Do đó, mặt phẳng $$ (gồm $$ và $$) vuông góc với mặt phẳng $$ (gồm $$ và $$). Vậy $$ là đúng. c) Các cạnh đối nhau trong tứ diện OABC thì vuông góc với nhau. - Các cạnh đối nhau trong tứ diện OABC là $$ và $$, $$ và $$, $$ và $$. Ta đã biết $$ và $$, nhưng chưa chắc chắn $$. Tương tự, $$ nhưng chưa chắc chắn $$ và $$. Do đó, ta không thể kết luận rằng tất cả các cạnh đối nhau đều vuông góc với nhau. d) OH không vuông góc với mặt phẳng (ABC). - $$ là đường cao của tam giác $$, do đó $$. Tuy nhiên, $$ nằm trong mặt phẳng $$ và không chắc chắn rằng nó vuông góc với mọi đường thẳng trong mặt phẳng $$. Do đó, ta không thể kết luận ngay rằng $$ không vuông góc với mặt phẳng $$. Từ các lập luận trên, ta thấy rằng lựa chọn b) $$ là đúng. Đáp án: b) $$. Câu 1. Để giải phương trình $$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Phương trình này là phương trình mũ, không yêu cầu điều kiện xác định cụ thể nào khác ngoài việc đảm bảo rằng các phép toán đều có nghĩa. Bước 2: Viết lại phương trình dưới dạng cơ số giống nhau - Ta nhận thấy rằng $$ có thể viết thành $$. Do đó, phương trình trở thành: $$ Bước 3: So sánh các mũ của cùng cơ số - Vì hai vế của phương trình đều có cùng cơ số là 3, ta có thể so sánh các mũ của chúng: $$ Bước 4: Giải phương trình bậc nhất - Giải phương trình $$: $$ $$ Bước 5: Kiểm tra nghiệm - Thay $$ vào phương trình ban đầu để kiểm tra: $$ Phương trình đúng, vậy $$ là nghiệm của phương trình. Kết luận: Nghiệm của phương trình $$ là $$. Câu 2. Để giải phương trình $$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với phương trình $$, ta cần đảm bảo rằng $$. Do đó: $$ 2. Giải phương trình: - Ta có phương trình $$. Điều này có nghĩa là: $$ - Tính giá trị của $$: $$ - Vậy phương trình trở thành: $$ - Giải phương trình này để tìm $$: $$ $$ 3. Kiểm tra điều kiện xác định: - Ta đã xác định điều kiện $$. Kiểm tra giá trị $$: $$ - Điều kiện này thoả mãn. Vậy phương trình $$ có duy nhất một nghiệm là $$. Đáp số: Phương trình có 1 nghiệm: $$.