helpmnoisaa Câu 2,Mặt sàn của một phòng tắm có dạng hình vuông MNPQ,cạnh 2m được lát gạch màu trắng và trang trí với một hình,bốn cánh giống nhau màu sẫm. Khi đặt trong hệ tọa độ,Oxy với O là tâm của hình vuông sao cho trục Ox vuông,góc với cạnh MQ, trục Oy vuông góc với cạnh MN như hình,vẽ ở dưới thì các đường cong OM có phương trình,$y=ax^2$ và $y=bx^3-cx.$ Tính giá trị a+b+c biết rằng diện,tích trang trí màu sẫm chiếm $\frac13$ diện tích mặt sàn.,

Question

helpmnoisaa Câu 2,Mặt sàn của một phòng tắm có dạng hình vuông MNPQ,cạnh 2m được lát gạch màu trắng và trang trí với một hình,bốn cánh giống nhau màu sẫm. Khi đặt trong hệ tọa độ,Oxy với O là tâm của hình vuông sao cho trục Ox vuông,góc với cạnh MQ, trục Oy vuông góc với cạnh MN như hình,vẽ ở dưới thì các đường cong OM có phương trình,$y=ax^2$ và $y=bx^3-cx.$ Tính giá trị a+b+c biết rằng diện,tích trang trí màu sẫm chiếm $\frac13$ diện tích mặt sàn.,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/cf78355863bd46759168b0c338c30813.jpg />

Accepted Answer

Ta có:
Phương trình $\displaystyle y=ax^{2}$ đi qua điểm $\displaystyle M( 1;1)$
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
1=a.1^{2}\
a=1
\end{array}$
Lại có:
Phương trình $\displaystyle y=bx^{3} -cx$ đi qua $\displaystyle M( 1;1)$
$\displaystyle 1=b-c\ ( 1)$
Diện tích của hình vuông MNPQ là:
$$ S_{MNPQ} = 2 \times 2 = 4 \text{ m}^2 $$
Do đó:
$$ S_{sẫm} = \frac{1}{3} \times 4 = \frac{4}{3} \text{ m}^2 $$
Diện tích của một cánh trang trí màu sẫm là:
$$ S_{cánh} = \frac{\frac{4}{3}}{4} = \frac{1}{3} \text{ m}^2 $$
Mà ta có:
$$ S_{cánh} = \int_{0}^{1} (ax^2 - (bx^3 - cx)) \, dx $$
$$ S_{cánh} = \left[ \frac{a}{3}x^3 - \frac{b}{4}x^4 + \frac{c}{2}x^2 \right]_{-1}^{1} $$
$$ S_{cánh} = \left( \frac{a}{3}(1)^3 - \frac{b}{4}(1)^4 + \frac{c}{2}(1)^2 \right) - \left( \frac{a}{3}(0)^3 - \frac{b}{4}(0)^4 + \frac{c}{2}(0)^2 \right) $$
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
=\frac{a}{3} -\frac{b}{4} +\frac{c}{2} =\frac{1}{3}\
\Rightarrow -\frac{b}{4} +\frac{c}{2} =\frac{1}{3} -\frac{1}{3} =0\
\Rightarrow b=2c\ ( 2)
\end{array}$
Từ $\displaystyle ( 1) ;( 2)$ Ta có:
$\displaystyle \begin{cases}
b=2 & \
c=1 &
\end{cases}$
$\displaystyle a+b+c=1+2+1=4$