Cho đường tròn (O) và điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Từ A kẻ các tiếp tuyến ,AM AN với đường tròn   ,O M N là các tiếp điểm). Một đường thẳng đi qua A cắt đường tròn (O) tại hai điểm ,P Q sao cho...

\begin{equation}
\begin{aligned}
&\left.\begin{array}{rl}
\text { Ta có } P I=I Q \\
M a^{-} P, Q \in(0)
\end{array}\right\} \Rightarrow O I \perp P Q\\
&\text { Xét tứ giác AI OM có }
\end{aligned}
\end{equation}

\begin{equation}
\begin{aligned}
& \left.\begin{array}{l}
A \hat{I} O=90^{\circ}(\mathrm{cmt}) \\
A \hat{M} O=g 0^{\circ}(\mathrm{gt})
\end{array}\right\} \Rightarrow \text {tứ giác AIOM nội tiếp } \\
& \Rightarrow A, I, O, M \in\left(O ; \frac{A O}{2}\right) (1)
\end{aligned}
\end{equation}

\begin{equation}
\text { Xet tứ giác ANIO có }
\end{equation}

\begin{equation}
\left.\begin{array}{l}
\hat{ANO}=90^{\circ}(gt) \\
\hat{AIO}= 90^{\circ}(gt)
\end{array}\right\}
\end{equation}

$\Rightarrow A \hat{N O}=\hat{A I O}\left(90^{\circ}\right)$
Mà đỉnh N; I kề nhau cùng nhìn cạnh AO 1 góc $90^{\circ}$
$\Rightarrow$ tứ giác ANIO nội tiếp

$\Rightarrow A, N, I, O \in\left(0 ; \frac{A O}{2}\right)(2)$

\begin{equation}
T_{U^{\prime}}(1),(2) \Rightarrow A, N, I, 0, M \text {cùng nằm trên một đường tròn }
\end{equation}

Ta có $A I M=\hat{A O M}\left(=\frac{1}{2} sđ \hat{A M}\right)$

$\widehat{A I N}=\hat{AON}\left(=\frac{1}{2} \operatorname{sd} \hat{A N}\right)$
Xét $(O)$ có $A M$, AN là tiếp tuyến $\widehat{A O N}=\widehat{A O M}$
\begin{equation}
\begin{aligned}
& \Rightarrow \hat{A I M}=\hat{A I N} \\
& \Leftrightarrow \hat{JI M}= \hat{JI N}
\end{aligned}
\end{equation}

Ta có $P \hat{Q M}=A \hat{M Q}\left(=\frac{1}{2} s d \hat{P M}\right)$ 
Xét $\triangle A M P$ và $\triangle A Q M$ có

$\hat{QAM}$ : chung 
$\hat{A Q M}=A \hat{M} Q(\mathrm{cmt})$

\begin{equation}
\Rightarrow \frac{A M}{A P}=\frac{A Q}{A M} \Leftrightarrow A M^2=A P \cdot A Q
\end{equation}

\begin{equation}
\begin{aligned}
\operatorname{Ta có} A M N & =N \hat{Q M}\left(=\frac{1}{2} \text { sd } \widehat{N M}\right) \quad(*) \\
A I M & =A O M\left(=\frac{1}{2} sd \hat{A M}\right) \quad(* *)
\end{aligned}
\end{equation}

\begin{equation}
\begin{aligned}
&\text { Xét tứ giác ANOM có }\\
&\left.\begin{array}{l}
\hat{A N O}=90^{\circ}(\mathrm{gt}) \\
\hat{A} \hat{M} O=90^{\circ}(\mathrm{gt})
\end{array}\right\}
\end{aligned}
\end{equation}

\begin{equation}
\begin{aligned}
&\Rightarrow A \hat{N} O+\hat{A M O}=180^{\circ}\\
&\text { MàANO, AMO đối diện }
\end{aligned}
\end{equation}

\begin{equation}
\Rightarrow \text { ANOM nội tiếp }
\end{equation}

$\Rightarrow \widehat{A N M}=\hat{A O M}(* * *)$
ta lại có $A N M=A \hat{M} N(* * * *)$

$từ(*) ;(* *) ;(* * *) ;(* * * *) \Rightarrow \hat{A M N}=\hat{A I M}$

\begin{equation}
\begin{aligned}
&\text { Xét } \triangle A M J \text { va } \triangle A I M có\\
&\begin{aligned}
& \hat{M A I}: \text { chung } \\
& \hat{A M J}=\hat{A I M}(\text { g.g })
\end{aligned}
\end{aligned}
\end{equation}

\begin{equation}
\begin{aligned}
& \Rightarrow \triangle A MJđồng dạng \triangle A I M(g. g) \\
& \Rightarrow \frac{A M}{A J}=\frac{A I}{A M} \\
& \Leftrightarrow A M^2=A I \cdot A J
\end{aligned}
\end{equation}

\begin{equation}
\Rightarrow A I \cdot A J=A P \cdot A Q
\end{equation}