hhhhhhhhjjjjjjjjjj

Bài 1. a) Thay $x=25$ vào biểu thức $B$, ta được: \[ B = \frac{1}{\sqrt{25} - 3} = \frac{1}{5 - 3} = \frac{1}{2} \] b) Ta có: \[ A = \frac{x + 3}{x - 9} + \frac{2}{\sqrt{x} + 3} \] \[ B = \frac{1}{\sqrt{x} - 3} \] Rút gọn biểu thức \( P = A - B \): \[ P = \left( \frac{x + 3}{x - 9} + \frac{2}{\sqrt{x} + 3} \right) - \frac{1}{\sqrt{x} - 3} \] Chúng ta sẽ quy đồng các phân thức trong biểu thức \( P \): \[ P = \frac{x + 3}{x - 9} + \frac{2(\sqrt{x} - 3)}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 3)} - \frac{1}{\sqrt{x} - 3} \] \[ P = \frac{x + 3}{x - 9} + \frac{2(\sqrt{x} - 3)}{x - 9} - \frac{1}{\sqrt{x} - 3} \] \[ P = \frac{x + 3 + 2(\sqrt{x} - 3)}{x - 9} - \frac{1}{\sqrt{x} - 3} \] \[ P = \frac{x + 3 + 2\sqrt{x} - 6}{x - 9} - \frac{1}{\sqrt{x} - 3} \] \[ P = \frac{x + 2\sqrt{x} - 3}{x - 9} - \frac{1}{\sqrt{x} - 3} \] Quy đồng mẫu số chung: \[ P = \frac{(x + 2\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} - 3) - (x - 9)}{(x - 9)(\sqrt{x} - 3)} \] \[ P = \frac{x\sqrt{x} - 3x + 2x - 6\sqrt{x} - 3\sqrt{x} + 9 - x + 9}{(x - 9)(\sqrt{x} - 3)} \] \[ P = \frac{x\sqrt{x} - 3x + 2x - 6\sqrt{x} - 3\sqrt{x} + 9 - x + 9}{(x - 9)(\sqrt{x} - 3)} \] \[ P = \frac{x\sqrt{x} - 2x - 9\sqrt{x} + 18}{(x - 9)(\sqrt{x} - 3)} \] c) Để tìm số tự nhiên \( x \) lớn nhất sao cho \( P \leq \frac{1}{3} \), ta cần giải bất phương trình: \[ \frac{x\sqrt{x} - 2x - 9\sqrt{x} + 18}{(x - 9)(\sqrt{x} - 3)} \leq \frac{1}{3} \] Nhân cả hai vế với \( 3(x - 9)(\sqrt{x} - 3) \): \[ 3(x\sqrt{x} - 2x - 9\sqrt{x} + 18) \leq (x - 9)(\sqrt{x} - 3) \] Phân tích và giải bất phương trình này phức tạp, nhưng ta có thể kiểm tra các giá trị \( x \) gần \( 9 \) để tìm giá trị lớn nhất thỏa mãn điều kiện \( x \geq 0 \) và \( x \neq 9 \). Kiểm tra \( x = 8 \): \[ P = \frac{8\sqrt{8} - 16 - 9\sqrt{8} + 18}{(8 - 9)(\sqrt{8} - 3)} = \frac{-\sqrt{8} + 2}{-(\sqrt{8} - 3)} = \frac{\sqrt{8} - 2}{\sqrt{8} - 3} \approx 0.34 < \frac{1}{3} \] Kiểm tra \( x = 10 \): \[ P = \frac{10\sqrt{10} - 20 - 9\sqrt{10} + 18}{(10 - 9)(\sqrt{10} - 3)} = \frac{\sqrt{10} - 2}{\sqrt{10} - 3} \approx 0.38 > \frac{1}{3} \] Do đó, số tự nhiên \( x \) lớn nhất thỏa mãn \( P \leq \frac{1}{3} \) là \( x = 8 \). Đáp số: a) \( B = \frac{1}{2} \) b) \( P = \frac{x\sqrt{x} - 2x - 9\sqrt{x} + 18}{(x - 9)(\sqrt{x} - 3)} \) c) \( x = 8 \) Bài 2. Gọi vận tốc xe khách là \( v_k \) km/h và vận tốc xe tải là \( v_t \) km/h. Theo đề bài, ta có: \[ v_k = v_t + 10 \] Hai xe gặp nhau sau 2 giờ, tức là tổng thời gian hai xe đã đi là 2 giờ. Tổng quãng đường hai xe đi được là 200 km. Quãng đường xe khách đi được trong 2 giờ là: \[ d_k = v_k \times 2 \] Quãng đường xe tải đi được trong 2 giờ là: \[ d_t = v_t \times 2 \] Tổng quãng đường hai xe đi được là: \[ d_k + d_t = 200 \] Thay \( d_k \) và \( d_t \) vào phương trình trên: \[ v_k \times 2 + v_t \times 2 = 200 \] \[ 2v_k + 2v_t = 200 \] \[ v_k + v_t = 100 \] Bây giờ ta có hệ phương trình: \[ v_k = v_t + 10 \] \[ v_k + v_t = 100 \] Thay \( v_k = v_t + 10 \) vào phương trình thứ hai: \[ (v_t + 10) + v_t = 100 \] \[ 2v_t + 10 = 100 \] \[ 2v_t = 90 \] \[ v_t = 45 \] Vậy vận tốc xe tải là 45 km/h. Vận tốc xe khách là: \[ v_k = v_t + 10 = 45 + 10 = 55 \] km/h Quãng đường xe khách đi được trong 2 giờ là: \[ d_k = v_k \times 2 = 55 \times 2 = 110 \] km Quãng đường xe tải đi được trong 2 giờ là: \[ d_t = v_t \times 2 = 45 \times 2 = 90 \] km Đáp số: Quãng đường xe khách đi được là 110 km, quãng đường xe tải đi được là 90 km. Bài 3. 1) Rút gọn các biểu thức sau: a) Ta có: \[ 2\sqrt{20} + 5\sqrt{45} - 3\sqrt{5} \] \[ = 2\sqrt{4 \times 5} + 5\sqrt{9 \times 5} - 3\sqrt{5} \] \[ = 2 \times 2\sqrt{5} + 5 \times 3\sqrt{5} - 3\sqrt{5} \] \[ = 4\sqrt{5} + 15\sqrt{5} - 3\sqrt{5} \] \[ = (4 + 15 - 3)\sqrt{5} \] \[ = 16\sqrt{5} \] b) Ta có: \[ \frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} - \frac{2}{\sqrt{3} + 1} + \sqrt{3} \] Rationalizing the denominator of the first fraction: \[ \frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} \times \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} = \frac{(2 + \sqrt{3})^2}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{4 + 4\sqrt{3} + 3}{4 - 3} = 7 + 4\sqrt{3} \] Rationalizing the denominator of the second fraction: \[ \frac{2}{\sqrt{3} + 1} \times \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{3 - 1} = \sqrt{3} - 1 \] Now combining all terms: \[ 7 + 4\sqrt{3} - (\sqrt{3} - 1) + \sqrt{3} \] \[ = 7 + 4\sqrt{3} - \sqrt{3} + 1 + \sqrt{3} \] \[ = 7 + 1 + 4\sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \] \[ = 8 + 4\sqrt{3} \] 2) Giải hệ phương trình: \[ \left\{\begin{array}{l} 2x - y = 1 \\ x + 3y = 11 \end{array}\right. \] Ta nhân phương trình thứ nhất với 3: \[ 6x - 3y = 3 \] Cộng phương trình này với phương trình thứ hai: \[ 6x - 3y + x + 3y = 3 + 11 \] \[ 7x = 14 \] \[ x = 2 \] Thay \( x = 2 \) vào phương trình \( 2x - y = 1 \): \[ 2(2) - y = 1 \] \[ 4 - y = 1 \] \[ y = 3 \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( (x, y) = (2, 3) \). Đáp số: 1) a) \( 16\sqrt{5} \) b) \( 8 + 4\sqrt{3} \) 2) \( (x, y) = (2, 3) \) Bài 4. 1) Ta có hình vẽ: Ta thấy tam giác HAC là tam giác vuông có góc HAC = 90 độ. Cạnh AC là cạnh huyền, cạnh AH và HC là hai cạnh góc vuông. Góc HCA = 30 độ thì cạnh AH đối diện với góc 30 độ sẽ bằng một nửa cạnh huyền AC. Vậy AC = 2 x AH Coi AH là 1 phần thì AC là 2 phần. Ta có: AH = 8 : 2 = 4 (m) Chiều cao của cây tre là: 4 + 8 = 12 (m) Đáp số: 12 m 2) a) Ta có: OE = OA = OD = $\frac{1}{2}$AH nên A, E, H, D cùng thuộc đường tròn tâm O. b) Ta có: $\stackrel\frown{AD}=\stackrel\frown{AE}$ (cùng chắn cung AE) Suy ra góc ABD = góc AED (cùng chắn cung AD) Mà góc ADB = góc AHE = 90 độ Suy ra tam giác ABD đồng dạng với tam giác AHE (g-g) suy ra $\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AH}$ suy ra AD.AH = AE.AB c) Ta có: OE = OC = $\frac{1}{2}$AH Mà I là trung điểm của HC nên IC = $\frac{1}{2}$HC Ta có: $\frac{IC}{OC}=\frac{HC}{AH}$ Mà góc ICH = góc OCA nên tam giác ICH đồng dạng với tam giác OCA (c-a-c) suy ra góc OIC = góc OAC = 90 độ suy ra OE vuông góc với IE suy ra IE là tiếp tuyến của đường tròn tâm O. Bài 5. Để giải phương trình \(7x^2 + y^2 + 4xy - 24x - 6y + 21 = 0\), ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Nhóm các hạng tử để tạo thành các bình phương hoàn chỉnh. \[7x^2 + y^2 + 4xy - 24x - 6y + 21 = 0\] Bước 2: Ta nhóm các hạng tử liên quan đến \(x\) và \(y\) sao cho dễ dàng tạo thành các bình phương hoàn chỉnh: \[7x^2 + 4xy + y^2 - 24x - 6y + 21 = 0\] Bước 3: Ta nhận thấy rằng \(7x^2 + 4xy + y^2\) có thể được viết dưới dạng \((x + y)^2 + 6x^2\): \[7x^2 + 4xy + y^2 = (x + y)^2 + 6x^2\] Bước 4: Thay vào phương trình ban đầu: \[(x + y)^2 + 6x^2 - 24x - 6y + 21 = 0\] Bước 5: Tiếp tục nhóm các hạng tử liên quan đến \(x\) và \(y\) để tạo thành các bình phương hoàn chỉnh: \[(x + y)^2 + 6(x^2 - 4x) - 6y + 21 = 0\] Bước 6: Ta thêm và bớt các số cần thiết để tạo thành các bình phương hoàn chỉnh: \[(x + y)^2 + 6(x^2 - 4x + 4 - 4) - 6y + 21 = 0\] \[(x + y)^2 + 6((x - 2)^2 - 4) - 6y + 21 = 0\] \[(x + y)^2 + 6(x - 2)^2 - 24 - 6y + 21 = 0\] \[(x + y)^2 + 6(x - 2)^2 - 6y - 3 = 0\] Bước 7: Ta nhóm lại các hạng tử liên quan đến \(y\): \[(x + y)^2 + 6(x - 2)^2 - 6(y + \frac{1}{2}) + 6(\frac{1}{2})^2 - 3 = 0\] \[(x + y)^2 + 6(x - 2)^2 - 6(y + \frac{1}{2}) + \frac{3}{2} - 3 = 0\] \[(x + y)^2 + 6(x - 2)^2 - 6(y + \frac{1}{2}) - \frac{3}{2} = 0\] Bước 8: Ta nhận thấy rằng phương trình đã được viết dưới dạng tổng của các bình phương hoàn chỉnh: \[(x + y)^2 + 6(x - 2)^2 - 6(y + \frac{1}{2}) - \frac{3}{2} = 0\] Bước 9: Để phương trình này bằng 0, tất cả các bình phương phải bằng 0: \[(x + y)^2 = 0\] \[6(x - 2)^2 = 0\] \[-6(y + \frac{1}{2}) = 0\] Bước 10: Giải các phương trình này: \[x + y = 0 \Rightarrow y = -x\] \[x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2\] \[y + \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow y = -\frac{1}{2}\] Bước 11: Kết hợp các kết quả: \[x = 2\] \[y = -2\] Vậy nghiệm của phương trình là: \[(x, y) = (2, -2)\]