Cho phương trình: x²-(m-2)x+m-3 = 0 (m là tham số).
1. Giai phương trình khi m = 5.
2. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,x2, là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông cân.

Question

Cho phương trình: x²-(m-2)x+m-3 = 0 (m là tham số). 
1. Giai phương trình khi m = 5. 
2. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,x2, là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông cân.

Accepted Answer

1. Khi $m=5$, phương trình trở thành:
$x^{2} -(5-2)x+5-3=0$
$\Rightarrow x^{2} -3x+2=0$

Giải phương trình:
$x^{2} -3x+2=0\Leftrightarrow (x-1)(x-2)=0$
$\Rightarrow x=1$ hoặc $x=2$.

2. Để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1} ,x_{2}$ là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông cân, ta có điều kiện:
- Phương trình có hai nghiệm phân biệt: $\Delta >0$.
- Hai nghiệm thỏa mãn: $x_{1}^{2} +x_{2}^{2} =2x_{1} x_{2}$

Bước 1: Tính $\Delta $
$ \begin{array}{l}
\Delta =(m-2)^{2} -4(m-3)\
=m^{2} -4m+4-4m+12\
=m^{2} -8m+16\
=(m-4)^{2}
\end{array}$

Để có hai nghiệm phân biệt: $(m-4)^{2} >0\Rightarrow m eq 4$.

Bước 2: Điều kiện tam giác vuông cân

** Chứng minh: Hai nghiệm thỏa mãn: $x_{1}^{2} +x_{2}^{2} =2x_{1} x_{2}$ thì là 2 cạnh góc vuông **
Ta có: gọi cạnh góc vuông là $\displaystyle a$, cạnh huyền là $\displaystyle c$. Ta có:
$\displaystyle a^{2} +a^{2} =c^{2} \Longrightarrow c^{2} =2a^{2}$ (Pytago)
Mà $\displaystyle a$ là cạnh góc vuông $\displaystyle \Longrightarrow a.a$ là tích 2 cạnh góc vuông
$\displaystyle \Longrightarrow $Trong tam giác vuông cân, bình phương cạnh huyền bằng 2 lần tích 2 cạnh góc vuông

$\displaystyle \Longrightarrow $Để $\displaystyle x_{1} ,\ x_{2}$ là 2 cạnh góc vuông thì $\displaystyle x_{1}^{2} +x_{2}^{2} =2x_{1} x_{2}$

($\displaystyle x_{1}^{2} +x_{2}^{2} =$bình phương cạnh huyền; $\displaystyle 2x_{1} x_{2} =$2 lần tích 2 cạnh góc vuông; như vừa chứng minh)

Theo Viet, ta có:
$x_{1} +x_{2} =m-2$, $x_{1} x_{2} =m-3$.

Điều kiện $x_{1}^{2} +x_{2}^{2} =2x_{1} x_{2}$ tương đương với:

$(x_{1} +x_{2} )^{2} -2x_{1} x_{2} =2x_{1} x_{2}$
$\Rightarrow (m-2)^{2} -2(m-3)=2(m-3)$
$\Rightarrow (m-2)^{2} =4(m-3)$
$\Rightarrow m^{2} -4m+4=4m-12$
$\Rightarrow m^{2} -8m+16=0$
$\Rightarrow (m-4)^{2} =0$
$\Rightarrow m=4$.

Nhưng ta có điều kiện $m eq 4$, nên phương trình không có giá trị $m$ nào thỏa mãn yêu cầu.

Vậy không tồn tại giá trị $m$ thỏa mãn bài toán.

Cho phương trình: x²-(m-2)x+m-3 = 0 (m là tham số). 1. Giai phương trình khi m = 5. 2. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,x2, là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông cân.