lời giải chi tiết

Bài 2: Để xác định tỉ số $\frac{a}{b}$ sao cho mặt phẳng $(A'B'D)$ vuông góc với mặt phẳng $(BDM)$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng: - Mặt phẳng $(A'B'D)$ có ba điểm $A'(0,0,b)$, $B(a,0,0)$, và $D(0,a,0)$. - Mặt phẳng $(BDM)$ có ba điểm $B(a,0,0)$, $D(0,a,0)$, và $M\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, b\right)$. 2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(A'B'D)$: - Vectơ $\overrightarrow{A'B'} = B - A' = (a, 0, -b)$. - Vectơ $\overrightarrow{A'D} = D - A' = (0, a, -b)$. - Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(A'B'D)$ là: \[ \overrightarrow{n_1} = \overrightarrow{A'B'} \times \overrightarrow{A'D} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 0 & -b \\ 0 & a & -b \end{vmatrix} = (0 \cdot (-b) - (-b) \cdot a) \mathbf{i} - (a \cdot (-b) - (-b) \cdot 0) \mathbf{j} + (a \cdot a - 0 \cdot 0) \mathbf{k} = (ab, ab, a^2) \] 3. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(BDM)$: - Vectơ $\overrightarrow{BD} = D - B = (-a, a, 0)$. - Vectơ $\overrightarrow{BM} = M - B = \left(-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, b\right)$. - Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(BDM)$ là: \[ \overrightarrow{n_2} = \overrightarrow{BD} \times \overrightarrow{BM} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -a & a & 0 \\ -\frac{a}{2} & \frac{a}{2} & b \end{vmatrix} = (a \cdot b - 0 \cdot \frac{a}{2}) \mathbf{i} - (-a \cdot b - 0 \cdot (-\frac{a}{2})) \mathbf{j} + (-a \cdot \frac{a}{2} - a \cdot (-\frac{a}{2})) \mathbf{k} = (ab, ab, 0) \] 4. Điều kiện vuông góc: - Hai mặt phẳng vuông góc nhau khi vectơ pháp tuyến của chúng vuông góc với nhau. Điều này có nghĩa là tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến phải bằng 0: \[ \overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} = (ab, ab, a^2) \cdot (ab, ab, 0) = ab \cdot ab + ab \cdot ab + a^2 \cdot 0 = a^2b^2 + a^2b^2 = 2a^2b^2 \] - Để hai mặt phẳng vuông góc, ta cần: \[ 2a^2b^2 = 0 \] - Điều này chỉ đúng khi $a = 0$ hoặc $b = 0$, nhưng vì $a, b > 0$, nên ta cần tìm tỉ số $\frac{a}{b}$ sao cho: \[ a^2 = b^2 \implies a = b \] - Vậy tỉ số $\frac{a}{b} = 1$. Đáp số: $\frac{a}{b} = 1$.