Trả lời câu hỏi giải chi tiết Câu 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:,$a)~y=x^3-3x^2+2~b)~y=-x^3+3x^2-6x~c)~y=\frac{3x-2}{x-2}d)~y=\frac x{2x+3}$,$e)~y=\frac{x^2+2x+4}xg)~y=\frac{x^2+4x+3}{x+2}$

Question

Accepted Answer

Câu 4:
a) $y=x^{3}-3x^{2}+2$
$y'=3x^{2}-6x=3x(x-2)$
$y'=0\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=2$
$\lim_{x\rightarrow -\infty }y=-\infty ;\lim_{x\rightarrow +\infty }y=+\infty $
$y$ nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$
$y$ đồng biến trên khoảng $(0;2)$
$y$ đạt cực đại tại điểm $(0;2)$ và đạt cực tiểu tại điểm $(2;-2)$
Đồ thị:
b) $y=-x^{3}+3x^{2}-6x$
$y'=-3x^{2}+6x-6=-3(x^{2}-2x+2)=-3[(x-1)^{2}+1]<0$
$\lim_{x\rightarrow -\infty }y=+\infty ;\lim_{x\rightarrow +\infty }y=-\infty $
$y$ nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;+\infty )$
Đồ thị:
c) $y=\frac{3x-2}{x-2}$
$y'=\frac{4}{(x-2)^{2}}>0$
$\lim_{x\rightarrow -\infty }y=3;\lim_{x\rightarrow +\infty }y=3$
$\lim_{x\rightarrow 2^{-}}y=-\infty ;\lim_{x\rightarrow 2^{+}}y=+\infty $
$y$ đồng biến trên khoảng $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$
Đồ thị:
d) $y=\frac{x}{2x+3}$
$y'=\frac{3}{(2x+3)^{2}}>0$
$\lim_{x\rightarrow -\infty }y=\frac{1}{2};\lim_{x\rightarrow +\infty }y=\frac{1}{2}$
$\lim_{x\rightarrow (-\frac{3}{2})^{-}}y=-\infty ;\lim_{x\rightarrow (-\frac{3}{2})^{+}}y=+\infty $
$y$ đồng biến trên khoảng $(-\infty ;-\frac{3}{2})$ và $(-\frac{3}{2};+\infty )$
Đồ thị:
e) $y=\frac{x^{2}+2x+4}{x}$
$y'=1-\frac{4}{x^{2}}$
$y'=0\Leftrightarrow x=-2$ hoặc $x=2$
$\lim_{x\rightarrow -\infty }y=+\infty ;\lim_{x\rightarrow +\infty }y=+\infty $
$\lim_{x\rightarrow 0^{-}}y=-\infty ;\lim_{x\rightarrow 0^{+}}y=+\infty $
$y$ nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;-2)$ và $(0;2)$
$y$ đồng biến trên khoảng $(-2;0)$ và $(2;+\infty )$
$y$ đạt cực đại tại điểm $(-2;-4)$ và đạt cực tiểu tại điểm $(2;4)$
Đồ thị:
g) $y=\frac{x^{2}+4x+3}{x+2}$
$y'=\frac{x^{2}+4x+1}{(x+2)^{2}}$
$y'=0\Leftrightarrow x=-2-\sqrt{3}$ hoặc $x=-2+\sqrt{3}$
$\lim_{x\rightarrow -\infty }y=+\infty ;\lim_{x\rightarrow +\infty }y=+\infty $
$\lim_{x\rightarrow (-2)^{-}}y=-\infty ;\lim_{x\rightarrow (-2)^{+}}y=+\infty $
$y$ nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;-2-\sqrt{3})$ và $(-2;-2+\sqrt{3})$
$y$ đồng biến trên khoảng $(-2-\sqrt{3};-2)$ và $(-2+\sqrt{3};+\infty )$
$y$ đạt cực đại tại điểm $(-2-\sqrt{3};-2\sqrt{3})$ và đạt cực tiểu tại điểm $(-2+\sqrt{3};2\sqrt{3})$
Đồ thị: