Trả lời câu hỏi giúp tôi với Câu 2. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d1 có phương trình tổng quát: $3x-4y+1=0,$,đường thẳng d2 có phương trình: $\left\{\begin{array}lx=1-2t\y=3+t\end{array} ight.$ và điểm $A(2;1).$ Khi đó:,a) Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d1 bằng 6. S,b) Một véctơ pháp tuyến của đường thẳng d1 là $\overrightarrow n=(-3;4)~Đ$,c) Điểm $M(-3;5)$ thuộc đường thẳng d2,d) Giao của 2 đường thẳng d1 và d2 có tọa độ là: $B(1;1).$,PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.,Câu 1. Từ một đội văn nghệ gồm 5 nam và 7 nữ cần lập một nhóm gồm 3 người hát tốp ca gồm,có 1 ca trưởng, 1 xướng ca và 1 thành viên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?,Câu 2. Từ các chữ số: {0; 1; 2; 3; 4 ; 5; 6; 7} có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số khác,nhau ?,Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho $\overrightarrow u=(1;-2)$ va $\overrightarrow v=(-3;4).$ Tính $\cos(\overrightarrow u;\overrightarrow v)?$,Câu 4. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm $H(1;1)$ và đường thẳng d có phương trình $5x-2y+6=0.$,Đường thẳng d1 đi qua H và vuông góc với d có phương trình dạng: $ax+by+c=0.$ Khi đó $\frac ab$ bằng,bao nhiêu ?

Question

Trả lời câu hỏi giúp tôi với Câu 2. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d1 có phương trình tổng quát: $3x-4y+1=0,$,đường thẳng d2 có phương trình: $\left\{\begin{array}lx=1-2t\y=3+t\end{array}ight.$ và điểm $A(2;1).$ Khi đó:,a) Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d1 bằng 6. S,b) Một véctơ pháp tuyến của đường thẳng d1 là $\overrightarrow n=(-3;4)~Đ$,c) Điểm $M(-3;5)$ thuộc đường thẳng d2,d) Giao của 2 đường thẳng d1 và d2 có tọa độ là: $B(1;1).$,PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.,Câu 1. Từ một đội văn nghệ gồm 5 nam và 7 nữ cần lập một nhóm gồm 3 người hát tốp ca gồm,có 1 ca trưởng, 1 xướng ca và 1 thành viên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?,Câu 2. Từ các chữ số: {0; 1; 2; 3; 4 ; 5; 6; 7} có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số khác,nhau ?,Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho $\overrightarrow u=(1;-2)$ va $\overrightarrow v=(-3;4).$ Tính $\cos(\overrightarrow u;\overrightarrow v)?$,Câu 4. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm $H(1;1)$ và đường thẳng d có phương trình $5x-2y+6=0.$,Đường thẳng d1 đi qua H và vuông góc với d có phương trình dạng: $ax+by+c=0.$ Khi đó $\frac ab$ bằng,bao nhiêu ?

Accepted Answer

Câu 2.
a) Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d1 bằng 6.

Phương pháp giải:
- Sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong mặt phẳng Oxy.

Công thức khoảng cách từ điểm $ A(x_1, y_1) $ đến đường thẳng $ ax + by + c = 0 $ là:

$$ d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} $$

Áp dụng vào bài toán:
- Đường thẳng d1 có phương trình: $ 3x - 4y + 1 = 0 $
- Điểm A có tọa độ: $ (2, 1) $

Tính khoảng cách:

$$ d = \frac{|3 \cdot 2 - 4 \cdot 1 + 1|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|6 - 4 + 1|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|3|}{\sqrt{25}} = \frac{3}{5} $$

Kết luận: Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d1 là $\frac{3}{5}$, không phải 6. Do đó, phát biểu này sai.

b) Một véctơ pháp tuyến của đường thẳng d1 là $\overrightarrow{n} = (-3; 4)$

Phương pháp giải:
- Véctơ pháp tuyến của đường thẳng $ ax + by + c = 0 $ là $\overrightarrow{n} = (a; b)$.

Áp dụng vào bài toán:
- Đường thẳng d1 có phương trình: $ 3x - 4y + 1 = 0 $

Véctơ pháp tuyến của d1 là $\overrightarrow{n} = (3; -4)$.

Kết luận: Phát biểu này sai vì véctơ pháp tuyến đúng là $(3; -4)$, không phải $(-3; 4)$.

c) Điểm $ M(-3; 5) $ thuộc đường thẳng d2

Phương pháp giải:
- Thay tọa độ của điểm M vào phương trình tham số của đường thẳng d2 để kiểm tra.

Áp dụng vào bài toán:
- Đường thẳng d2 có phương trình tham số: $ \left\{
\begin{array}{l}
x = 1 - 2t \
y = 3 + t
\end{array}
\right. $

Thay $ x = -3 $ và $ y = 5 $ vào phương trình tham số:

$$ -3 = 1 - 2t \Rightarrow -4 = -2t \Rightarrow t = 2 $$
$$ 5 = 3 + t \Rightarrow 5 = 3 + 2 \Rightarrow 5 = 5 $$

Kết luận: Phát biểu này đúng vì tọa độ của điểm M thỏa mãn phương trình tham số của đường thẳng d2.

d) Giao của 2 đường thẳng d1 và d2 có tọa độ là: $ B(1; 1) $

Phương pháp giải:
- Giải hệ phương trình của hai đường thẳng để tìm giao điểm.

Áp dụng vào bài toán:
- Đường thẳng d1 có phương trình: $ 3x - 4y + 1 = 0 $
- Đường thẳng d2 có phương trình tham số: $ \left\{
\begin{array}{l}
x = 1 - 2t \
y = 3 + t
\end{array}
\right. $

Thay $ x = 1 - 2t $ và $ y = 3 + t $ vào phương trình của d1:

$$ 3(1 - 2t) - 4(3 + t) + 1 = 0 $$
$$ 3 - 6t - 12 - 4t + 1 = 0 $$
$$ -10t - 8 = 0 $$
$$ -10t = 8 $$
$$ t = -\frac{4}{5} $$

Thay $ t = -\frac{4}{5} $ vào phương trình tham số của d2:

$$ x = 1 - 2 \left( -\frac{4}{5} \right) = 1 + \frac{8}{5} = \frac{13}{5} $$
$$ y = 3 + \left( -\frac{4}{5} \right) = 3 - \frac{4}{5} = \frac{11}{5} $$

Kết luận: Giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2 là $ \left( \frac{13}{5}, \frac{11}{5} \right) $, không phải $ (1, 1) $. Do đó, phát biểu này sai.

Đáp án: c) Đúng.

Câu 1.
Để lập một nhóm gồm 3 người hát tốp ca với các vai trò khác nhau (ca trưởng, xướng ca và thành viên), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Chọn ca trưởng:
- Có tổng cộng 12 người (5 nam + 7 nữ).
- Số cách chọn ca trưởng từ 12 người là 12.

2. Chọn xướng ca:
- Sau khi đã chọn ca trưởng, còn lại 11 người.
- Số cách chọn xướng ca từ 11 người còn lại là 11.

3. Chọn thành viên:
- Sau khi đã chọn ca trưởng và xướng ca, còn lại 10 người.
- Số cách chọn thành viên từ 10 người còn lại là 10.

Do đó, tổng số cách chọn nhóm gồm 3 người với các vai trò khác nhau là:
$$ 12 \times 11 \times 10 = 1320 $$

Vậy có 1320 cách chọn nhóm gồm 3 người hát tốp ca với các vai trò ca trưởng, xướng ca và thành viên.

Đáp số: 1320 cách.

Câu 2.
Để lập được các số chẵn có 3 chữ số khác nhau từ tập hợp các chữ số {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}, ta thực hiện các bước sau:

1. Chọn chữ số hàng đơn vị:
   - Để số đó là số chẵn, chữ số hàng đơn vị phải là một trong các số chẵn: 0, 2, 4, 6.
   - Ta có 4 lựa chọn cho chữ số hàng đơn vị.

2. Chọn chữ số hàng trăm:
   - Chữ số hàng trăm không thể là 0 vì số đó phải là số có 3 chữ số.
   - Nếu chữ số hàng đơn vị đã chọn là 0, ta còn lại 7 lựa chọn cho chữ số hàng trăm (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7).
   - Nếu chữ số hàng đơn vị đã chọn là 2, 4 hoặc 6, ta còn lại 6 lựa chọn cho chữ số hàng trăm (vì chữ số hàng trăm không thể trùng với chữ số hàng đơn vị).

3. Chọn chữ số hàng chục:
   - Sau khi đã chọn chữ số hàng trăm và hàng đơn vị, ta còn lại 6 lựa chọn cho chữ số hàng chục (vì tất cả các chữ số phải khác nhau).

Bây giờ, ta sẽ tính tổng số các số chẵn có 3 chữ số khác nhau:

- Trường hợp chữ số hàng đơn vị là 0:
  - Chữ số hàng trăm có 7 lựa chọn.
  - Chữ số hàng chục có 6 lựa chọn.
  - Tổng số trường hợp: $7 \times 6 = 42$

- Trường hợp chữ số hàng đơn vị là 2, 4 hoặc 6:
  - Chữ số hàng đơn vị có 3 lựa chọn (2, 4, 6).
  - Chữ số hàng trăm có 6 lựa chọn.
  - Chữ số hàng chục có 6 lựa chọn.
  - Tổng số trường hợp: $3 \times 6 \times 6 = 108$

Tổng cộng, số các số chẵn có 3 chữ số khác nhau là:
$$42 + 108 = 150$$

Vậy, từ các chữ số {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}, ta có thể lập được 150 số chẵn có 3 chữ số khác nhau.

Câu 3.
Để tính $\cos(\overrightarrow u,\overrightarrow v)$, ta sử dụng công thức:
$$
\cos(\overrightarrow u,\overrightarrow v) = \frac{\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v}{|\overrightarrow u| |\overrightarrow v|}
$$

Bước 1: Tính tích vô hướng $\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v$:
$$
\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = (1)(-3) + (-2)(4) = -3 - 8 = -11
$$

Bước 2: Tính độ dài của $\overrightarrow u$:
$$
|\overrightarrow u| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}
$$

Bước 3: Tính độ dài của $\overrightarrow v$:
$$
|\overrightarrow v| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
$$

Bước 4: Thay các giá trị đã tính vào công thức:
$$
\cos(\overrightarrow u,\overrightarrow v) = \frac{-11}{\sqrt{5} \times 5} = \frac{-11}{5\sqrt{5}} = \frac{-11}{5\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{-11\sqrt{5}}{25}
$$

Vậy:
$$
\cos(\overrightarrow u,\overrightarrow v) = \frac{-11\sqrt{5}}{25}
$$

Câu 4.
Để tìm phương trình của đường thẳng $d_1$ đi qua điểm $H(1;1)$ và vuông góc với đường thẳng $d$ có phương trình $5x - 2y + 6 = 0$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm hệ số góc của đường thẳng $d$:
   Đường thẳng $d$ có phương trình $5x - 2y + 6 = 0$. Ta viết lại phương trình này dưới dạng $y = mx + n$:
   $$
   5x - 2y + 6 = 0 \implies -2y = -5x - 6 \implies y = \frac{5}{2}x + 3
   $$
   Vậy hệ số góc của đường thẳng $d$ là $m_d = \frac{5}{2}$.

2. Tìm hệ số góc của đường thẳng $d_1$:
   Vì $d_1$ vuông góc với $d$, nên tích của hai hệ số góc bằng $-1$:
   $$
   m_{d_1} \cdot m_d = -1 \implies m_{d_1} \cdot \frac{5}{2} = -1 \implies m_{d_1} = -\frac{2}{5}
   $$

3. Viết phương trình của đường thẳng $d_1$:
   Đường thẳng $d_1$ đi qua điểm $H(1;1)$ và có hệ số góc $m_{d_1} = -\frac{2}{5}$. Ta sử dụng công thức tìm phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có hệ số góc:
   $$
   y - y_1 = m(x - x_1)
   $$
   Thay $x_1 = 1$, $y_1 = 1$, và $m = -\frac{2}{5}$:
   $$
   y - 1 = -\frac{2}{5}(x - 1)
   $$
   Nhân cả hai vế với 5 để loại bỏ phân số:
   $$
   5(y - 1) = -2(x - 1) \implies 5y - 5 = -2x + 2 \implies 2x + 5y - 7 = 0
   $$

4. Tìm tỉ số $\frac{a}{b}$:
   Phương trình của đường thẳng $d_1$ là $2x + 5y - 7 = 0$. So sánh với dạng tổng quát $ax + by + c = 0$, ta thấy $a = 2$ và $b = 5$. Vậy:
   $$
   \frac{a}{b} = \frac{2}{5}
   $$

Đáp số: $\frac{a}{b} = \frac{2}{5}$