Bạn Mai rót 400 ml trà sữa vào ly dạng hình nón có bán kính R .Mai uống được một phần thì phần trà sữa còn lại trong ly là một hình nón có bán kính r và chiều cao bằng một nửa chiều cao của phần trà sữa lúc đầu trong ly
a) Tính bán kính r nhỏ theo R
b) Tính thể tích phần trà sữa còn lại trong ly

Question

Bạn Mai rót 400 ml trà sữa vào ly dạng hình nón có bán kính R .Mai uống được một phần thì phần trà sữa còn lại trong ly là một hình nón có bán kính r và chiều cao bằng một nửa chiều cao của phần trà sữa lúc đầu trong ly 
a) Tính bán kính r nhỏ theo R 
b) Tính thể tích phần trà sữa còn lại trong ly

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

a) Tính bán kính r nhỏ theo R

1. Xác định mối liên hệ giữa các hình nón:
   - Ban đầu, trà sữa trong ly có dạng hình nón với bán kính đáy là $ R $ và chiều cao là $ h $.
   - Sau khi Mai uống một phần, phần trà sữa còn lại cũng có dạng hình nón với bán kính đáy là $ r $ và chiều cao là $ \frac{h}{2} $.

2. Áp dụng tính chất của hình nón đồng dạng:
   - Vì hai hình nón đồng dạng, nên tỉ lệ giữa các kích thước tương ứng của chúng là như nhau.
   - Do đó, ta có:
     $$
     \frac{r}{R} = \frac{\frac{h}{2}}{h} = \frac{1}{2}
     $$
   - Từ đây, ta suy ra:
     $$
     r = \frac{R}{2}
     $$

b) Tính thể tích phần trà sữa còn lại trong ly

1. Công thức tính thể tích hình nón:
   - Thể tích $ V $ của hình nón được tính bằng công thức:
     $$
     V = \frac{1}{3} \pi r^2 h
     $$

2. Thể tích ban đầu của trà sữa trong ly:
   - Thể tích ban đầu của trà sữa trong ly là:
     $$
     V_{\text{ban đầu}} = \frac{1}{3} \pi R^2 h
     $$
   - Theo đề bài, thể tích ban đầu là 400 ml, tức là:
     $$
     \frac{1}{3} \pi R^2 h = 400 \text{ ml}
     $$

3. Thể tích phần trà sữa còn lại:
   - Bán kính đáy của phần trà sữa còn lại là $ r = \frac{R}{2} $.
   - Chiều cao của phần trà sữa còn lại là $ \frac{h}{2} $.
   - Thể tích phần trà sữa còn lại là:
     $$
     V_{\text{còn lại}} = \frac{1}{3} \pi r^2 \left( \frac{h}{2} \right)
     $$
   - Thay $ r = \frac{R}{2} $ vào công thức trên:
     $$
     V_{\text{còn lại}} = \frac{1}{3} \pi \left( \frac{R}{2} \right)^2 \left( \frac{h}{2} \right)
     $$
   - Rút gọn biểu thức:
     $$
     V_{\text{còn lại}} = \frac{1}{3} \pi \left( \frac{R^2}{4} \right) \left( \frac{h}{2} \right) = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{R^2}{4} \cdot \frac{h}{2} = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{R^2 h}{8} = \frac{1}{8} \left( \frac{1}{3} \pi R^2 h \right)
     $$
   - Ta biết rằng $ \frac{1}{3} \pi R^2 h = 400 \text{ ml} $, do đó:
     $$
     V_{\text{còn lại}} = \frac{1}{8} \times 400 = 50 \text{ ml}
     $$

Đáp số:
- Bán kính $ r $ nhỏ theo $ R $ là: $ r = \frac{R}{2} $
- Thể tích phần trà sữa còn lại trong ly là: 50 ml

Bạn Mai rót 400 ml trà sữa vào ly dạng hình nón có bán kính R .Mai uống được một phần thì phần trà sữa còn lại trong ly là một hình nón có bán kính r và chiều cao bằng một nửa chiều cao của phần trà sữ...