ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP GIỮA KỲ II MÔN: TOÁN 11 Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn.. Câu 1. Chiều dài của các mẫu lá cây ( đơn vị mm) thu thập được trong tiết thực hành môn Sinh học của học sin...

Câu 1. Để xác định chiều dài mẫu lá cây xuất hiện nhiều lần nhất thuộc nhóm nào, ta cần xem xét tần suất xuất hiện của mỗi nhóm chiều dài. Bảng dữ liệu đã cho: - Nhóm 1: Chiều dài từ 10 đến 19 mm, số lượng lá: 10 - Nhóm 2: Chiều dài từ 20 đến 29 mm, số lượng lá: 7 - Nhóm 3: Chiều dài từ 30 đến 39 mm, số lượng lá: 16 - Nhóm 4: Chiều dài từ 40 đến 49 mm, số lượng lá: 4 - Nhóm 5: Chiều dài từ 50 đến 59 mm, số lượng lá: 2 - Nhóm 6: Chiều dài từ 60 đến 69 mm, số lượng lá: 3 Nhìn vào bảng trên, ta thấy rằng nhóm có số lượng lá xuất hiện nhiều nhất là nhóm 3 với 16 lá. Do đó, chiều dài mẫu lá cây xuất hiện nhiều lần nhất thuộc nhóm 3, tức là nhóm có chiều dài từ 30 đến 39 mm. Đáp án: C. 30 - 39 mm Câu 2. Để tìm giá trị đại diện của nhóm, chúng ta cần tính trung bình cộng của các giá trị chiều cao nhân với số lượng học sinh tương ứng trong mỗi nhóm. Bước 1: Tính tổng chiều cao của tất cả các nhóm. - Nhóm 1: 150 cm x 25 học sinh = 3750 cm - Nhóm 2: 160 cm x 50 học sinh = 8000 cm - Nhóm 3: 170 cm x 200 học sinh = 34000 cm - Nhóm 4: 180 cm x 175 học sinh = 31500 cm - Nhóm 5: 190 cm x 50 học sinh = 9500 cm Tổng chiều cao của tất cả các nhóm: $$ Bước 2: Tính tổng số học sinh: $$ Bước 3: Tính trung bình cộng (giá trị đại diện của nhóm): $$ Như vậy, giá trị đại diện của nhóm là 173.5 cm. Đáp án đúng là D. 173.5. Câu 3. Để giải bài toán này, chúng ta cần lập bảng tần số tích lũy dựa trên bảng số liệu đã cho. Tần số tích lũy của mỗi nhóm là tổng tần số của tất cả các nhóm trước đó cộng với tần số của nhóm hiện tại. Bảng số liệu ban đầu: | Chiều cao (cm) | Số học sinh | |----------------|-------------| | 150 - 155 | 4 | | 155 - 160 | 6 | | 160 - 165 | 10 | | 165 - 170 | 14 | | 170 - 175 | 10 | | 175 - 180 | 6 | Bây giờ, chúng ta sẽ tính tần số tích lũy cho mỗi nhóm: - Nhóm 150 - 155: Tần số tích lũy = 4 - Nhóm 155 - 160: Tần số tích lũy = 4 + 6 = 10 - Nhóm 160 - 165: Tần số tích lũy = 10 + 10 = 20 - Nhóm 165 - 170: Tần số tích lũy = 20 + 14 = 34 - Nhóm 170 - 175: Tần số tích lũy = 34 + 10 = 44 - Nhóm 175 - 180: Tần số tích lũy = 44 + 6 = 50 Vậy tần số tích lũy của nhóm 160 - 165 là 20. Đáp án đúng là: C. 20. Câu 4. Để tìm số hộ gia đình phải trả số tiền điện không ít hơn 600 (đơn vị ngàn đồng), chúng ta cần tính tổng tần số của các khoảng có giá trị tiền điện từ 600 (đơn vị ngàn đồng) trở lên. Các khoảng có giá trị tiền điện từ 600 (đơn vị ngàn đồng) trở lên là: - [600;675) với tần số là 6 - [675;750) với tần số là 9 - [750;825) với tần số là 4 Tổng tần số của các khoảng này là: 6 + 9 + 4 = 19 Vậy có 19 hộ gia đình phải trả số tiền điện không ít hơn 600 (đơn vị ngàn đồng). Đáp án đúng là: C. 19 Câu 5. Để tìm độ dài của mỗi nhóm trong mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta cần tính khoảng cách giữa hai giới hạn của mỗi nhóm. Mỗi nhóm có dạng [a; b), nghĩa là từ a đến b (không bao gồm b). Độ dài của mỗi nhóm sẽ là b - a. Chúng ta có thể lấy bất kỳ nhóm nào để tính độ dài, vì tất cả các nhóm đều có cùng độ dài. Chẳng hạn, chúng ta lấy nhóm đầu tiên [149; 156): Độ dài của nhóm này là: $$ Vậy độ dài của mỗi nhóm là 7. Đáp án đúng là: A. 7. Câu 6.. Để tính số trung bình của mẫu số liệu trên, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính trung điểm của mỗi khoảng cân nặng: - [30;40): Trung điểm là $$ - [40;50): Trung điểm là $$ - [50;60): Trung điểm là $$ - [60;70): Trung điểm là $$ - [70;80): Trung điểm là $$ - [80;90): Trung điểm là $$ 2. Nhân số lượng học sinh trong mỗi khoảng với trung điểm tương ứng: - [30;40): $$ - [40;50): $$ - [50;60): $$ - [60;70): $$ - [70;80): $$ - [80;90): $$ 3. Tính tổng số học sinh: Tổng số học sinh là $$ học sinh 4. Tính tổng các giá trị đã nhân ở bước 2: Tổng các giá trị là $$ 5. Tính số trung bình: Số trung bình của mẫu số liệu là $$ Vậy số trung bình của mẫu số liệu trên là 56. Đáp án đúng là: A. 56. Câu 7. Để tìm mốt của mẫu số liệu trên, chúng ta cần xác định giá trị xuất hiện nhiều nhất trong dãy số liệu. Bước 1: Xác định các nhóm thời gian và số lượng học sinh tương ứng: - Nhóm 30 - 40 phút: 5 học sinh - Nhóm 40 - 50 phút: 9 học sinh - Nhóm 50 - 60 phút: 12 học sinh - Nhóm 60 - 70 phút: 10 học sinh - Nhóm 70 - 80 phút: 6 học sinh Bước 2: Xác định nhóm có số lượng học sinh nhiều nhất: Nhóm 50 - 60 phút có 12 học sinh, là nhóm có số lượng học sinh nhiều nhất. Bước 3: Xác định mốt: Mốt là giá trị trung tâm của nhóm có số lượng học sinh nhiều nhất. Trong trường hợp này, nhóm 50 - 60 phút có số lượng học sinh nhiều nhất, do đó mốt nằm trong khoảng này. Bước 4: Tính mốt: Mốt của nhóm 50 - 60 phút là giá trị trung tâm của nhóm này, tức là: $$ Tuy nhiên, trong các đáp án đã cho, giá trị gần nhất với 55 là 54. Vậy mốt của mẫu số liệu trên là 54. Đáp án đúng là: D. 54. Câu 8. Để tìm tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu, ta thực hiện các bước sau: 1. Sắp xếp dữ liệu: Ta sắp xếp các giá trị doanh thu theo thứ tự tăng dần. - Doanh thu: 2, 7, 7, 8, 9 - Số ngày tương ứng: 1, 3, 7, 7, 2 2. Xác định vị trí của tứ phân vị thứ nhất: Tứ phân vị thứ nhất (Q1) là giá trị nằm ở vị trí 25% của tập dữ liệu đã sắp xếp. Với 20 ngày, ta tính: $$ Vậy Q1 nằm ở vị trí thứ 5 trong tập dữ liệu đã sắp xếp. 3. Lấy giá trị tại vị trí đó: Ta lấy giá trị tại vị trí thứ 5 trong tập dữ liệu đã sắp xếp. - Dữ liệu đã sắp xếp: 2, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9 - Giá trị tại vị trí thứ 5 là 7. Như vậy, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gần nhất với giá trị 7. Đáp án đúng là: A. 7. Câu 9. Để tìm nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tính tổng số học sinh trong mẫu số liệu: Tổng số học sinh = 15 + 9 + 12 + 10 + 6 = 52 học sinh. 2. Xác định vị trí của trung vị: Vì tổng số học sinh là 52 (số chẵn), trung vị sẽ nằm ở giữa hai giá trị thứ 26 và 27. 3. Xác định nhóm chứa trung vị: - Nhóm [0;20) có 15 học sinh. - Nhóm [20;40) có thêm 9 học sinh nữa, tổng là 15 + 9 = 24 học sinh. - Nhóm [40;60) có thêm 12 học sinh nữa, tổng là 24 + 12 = 36 học sinh. Như vậy, trung vị nằm trong khoảng từ 25 đến 36 học sinh, tức là trong nhóm [40;60). Do đó, nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu trên là: A. [40;60). Câu 10. Biến cố " hoặc xảy ra" được gọi là biến cố hợp của và . Lập luận từng bước: - Biến cố giao của và là biến cố xảy ra khi cả hai biến cố và đều xảy ra cùng một lúc. - Biến cố đối của là biến cố xảy ra khi không xảy ra. - Biến cố hợp của và là biến cố xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố hoặc xảy ra. Do đó, đáp án đúng là: C. Biến cố hợp của và . Câu 11. Câu hỏi: Cho hai biến cố A và B. Nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia thì hai biến cố A và B được gọi là A. xung khắc với nhau. B. biến cố đối của nhau. C. độc lập với nhau. D. không giao với nhau. Lập luận từng bước: 1. Xác định tính chất của hai biến cố: - Biến cố A và B được cho là không ảnh hưởng lẫn nhau về mặt xác suất. Điều này có nghĩa là nếu biến cố A xảy ra hoặc không xảy ra, nó không làm thay đổi xác suất của biến cố B và ngược lại. 2. Kiểm tra các lựa chọn: - A. Xung khắc với nhau: Hai biến cố xung khắc với nhau nếu chúng không thể xảy ra cùng một lúc. Điều này không liên quan đến việc xác suất của một biến cố không bị ảnh hưởng bởi việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố khác. - B. Biến cố đối của nhau: Biến cố đối của nhau là hai biến cố mà nếu một biến cố xảy ra thì biến cố kia không thể xảy ra và ngược lại. Điều này cũng không liên quan đến việc xác suất của một biến cố không bị ảnh hưởng bởi việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố khác. - C. Độc lập với nhau: Hai biến cố độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của một biến cố không ảnh hưởng đến xác suất của biến cố kia. Đây chính là định nghĩa phù hợp với tình huống đã cho. - D. Không giao với nhau: Hai biến cố không giao với nhau nếu chúng không có phần chung nào. Điều này không liên quan đến việc xác suất của một biến cố không bị ảnh hưởng bởi việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố khác. 3. Kết luận: - Vì việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia, nên hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau. Đáp án đúng là: C. độc lập với nhau. Câu 12. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định các biến cố liên quan đến việc chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên từ 1 đến 20 và kiểm tra xem số đó có chia hết cho 3 hoặc 4 hay không. Các số tự nhiên từ 1 đến 20 là: $$ Biến cố "Số được chọn chia hết cho 3": Các số chia hết cho 3 trong khoảng từ 1 đến 20 là: $$ Vậy biến cố "Số được chọn chia hết cho 3" bao gồm các số: 3, 6, 9, 12, 15, 18. Biến cố "Số được chọn chia hết cho 4": Các số chia hết cho 4 trong khoảng từ 1 đến 20 là: $$ Vậy biến cố "Số được chọn chia hết cho 4" bao gồm các số: 4, 8, 12, 16, 20. Kết luận: - Biến cố "Số được chọn chia hết cho 3" bao gồm các số: 3, 6, 9, 12, 15, 18. - Biến cố "Số được chọn chia hết cho 4" bao gồm các số: 4, 8, 12, 16, 20. Do đó, các biến cố đã được xác định như trên. Câu 13: Trước tiên, ta xét các biến cố đã cho: - Biến cố $$: "Số chấm xuất hiện ở cả hai lần gieo là số chẵn". - Biến cố $$: "Số chấm xuất hiện ở cả hai lần gieo là số lẻ". - Biến cố $$: "Số chấm xuất hiện ở cả hai lần gieo khác tính chẵn lẻ". Ta sẽ kiểm tra từng khẳng định: A. Hai biến cố $$ và $$ độc lập với nhau. - Để hai biến cố $$ và $$ độc lập, ta cần kiểm tra $$. - $$ - $$ - $$ vì không thể cùng lúc có cả hai lần gieo đều là số chẵn và số lẻ. - Do đó, $$. Vậy hai biến cố $$ và $$ không độc lập. B. Hai biến cố $$ và $$ không độc lập với nhau. - $$ - $$ vì nếu cả hai lần gieo đều là số chẵn thì không thể khác tính chẵn lẻ. - $$ - Do đó, $$. Vậy hai biến cố $$ và $$ không độc lập. C. Hai biến cố $$ và $$ không độc lập với nhau. - $$ vì nếu cả hai lần gieo đều là số lẻ thì không thể khác tính chẵn lẻ. - $$ - Do đó, $$. Vậy hai biến cố $$ và $$ không độc lập. D. Biến cố $$ là biến cố hợp của $$ và $$. - Biến cố $$ là "Số chấm xuất hiện ở cả hai lần gieo khác tính chẵn lẻ", tức là một lần là số chẵn và một lần là số lẻ. - Biến cố $$ là "Số chấm xuất hiện ở cả hai lần gieo đều là số chẵn hoặc đều là số lẻ". - Do đó, $$. Như vậy, khẳng định sai là: D. Biến cố $$ là biến cố hợp của $$ và $$. Câu 14. Để tính xác suất của biến cố $$, ta sử dụng công thức xác suất của biến cố tổng khi hai biến cố xung khắc: $$ Trong đó: - $$ là xác suất của biến cố $$. - $$ là xác suất của biến cố $$. Do $$ và $$ là hai biến cố xung khắc, nên chúng không thể xảy ra cùng một lúc. Do đó, xác suất của biến cố $$ sẽ là tổng của xác suất của $$ và $$. Giả sử ta biết $$ và $$. Ta có: $$ Vậy đáp án đúng là: D. $$ Lập luận từng bước: 1. Xác định rằng $$ và $$ là hai biến cố xung khắc. 2. Áp dụng công thức xác suất của biến cố tổng khi hai biến cố xung khắc: $$. 3. Thay các giá trị đã biết vào công thức để tính toán. 4. Kết luận giá trị của $$. Câu 15. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần sử dụng tính chất của biến cố độc lập. Cụ thể, nếu và là hai biến cố độc lập thì xác suất của biến cố xảy ra là tích của xác suất của và xác suất của . Bước 1: Xác định xác suất của biến cố và . - Ta có: - Ta có: Bước 2: Tính xác suất của biến cố bằng cách nhân xác suất của và xác suất của . $$ Thay các giá trị đã biết vào: $$ Vậy, xác suất của biến cố là 0,12. Đáp án đúng là: D. 0,12. Câu 16. Để giải bài toán này, ta cần sử dụng tính chất của xác suất của biến cố độc lập. Cụ thể, nếu $$ và $$ là hai biến cố độc lập thì xác suất của biến cố $$ (tức là cả hai biến cố đều xảy ra) được tính bằng tích của xác suất của mỗi biến cố. Công thức: $$ Trong bài toán, ta đã biết: $$ $$ Áp dụng công thức trên, ta có: $$ Vậy xác suất của biến cố $$ là $$. Do đó, đáp án đúng là: D. 0.2 Đáp số: D. 0.2 Câu 17. Khi gieo một đồng xu liên tiếp hai lần, mỗi lần gieo có thể xuất hiện hai kết quả: mặt ngửa (H) hoặc mặt sấp (T). Ta sẽ liệt kê tất cả các kết quả có thể xảy ra khi gieo đồng xu hai lần: 1. Kết quả đầu tiên là H, kết quả thứ hai là H: (H, H) 2. Kết quả đầu tiên là H, kết quả thứ hai là T: (H, T) 3. Kết quả đầu tiên là T, kết quả thứ hai là H: (T, H) 4. Kết quả đầu tiên là T, kết quả thứ hai là T: (T, T) Như vậy, không gian mẫu bao gồm các phần tử: {(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)}. Số phần tử của không gian mẫu là 4. Đáp án đúng là: D. 4. Câu 18. Để tìm xác suất của biến cố "Cả hai cùng ném bóng trúng vào rổ", ta cần biết xác suất ném bóng trúng vào rổ của từng người. Giả sử xác suất ném bóng trúng vào rổ của người thứ nhất là $$ và xác suất ném bóng trúng vào rổ của người thứ hai là $$. Vì hai người ném bóng độc lập với nhau, xác suất của biến cố "Cả hai cùng ném bóng trúng vào rổ" sẽ là tích của xác suất ném bóng trúng vào rổ của mỗi người. Xác suất của biến cố "Cả hai cùng ném bóng trúng vào rổ" là: $$ Giả sử $$ và $$, ta có: $$ Vậy xác suất của biến cố "Cả hai cùng ném bóng trúng vào rổ" là: $$ Câu 19. Để giải bài toán này, chúng ta cần biết tổng số quả cầu trong bình và số quả cầu xanh và quả cầu trắng cụ thể. Tuy nhiên, vì đề bài không cung cấp thông tin chi tiết về số lượng quả cầu, chúng ta sẽ giả sử rằng có $$ quả cầu tổng cộng, trong đó có $$ quả cầu xanh và $$ quả cầu trắng. Bước 1: Xác định tổng số quả cầu. Tổng số quả cầu trong bình là $$. Bước 2: Xác định số quả cầu xanh và quả cầu trắng. Số quả cầu xanh là $$. Số quả cầu trắng là $$. Bước 3: Xác định xác suất để chọn được quả cầu xanh. Xác suất để chọn được quả cầu xanh là: $$ Bước 4: Xác định xác suất để chọn được quả cầu trắng. Xác suất để chọn được quả cầu trắng là: $$ Bước 5: Kết luận. Xác suất để chọn được quả cầu xanh là $$. Xác suất để chọn được quả cầu trắng là $$. Do đó, các lựa chọn A, B, C, D sẽ phụ thuộc vào giá trị của $$ và $$. Nếu đề bài cung cấp thêm thông tin về số lượng quả cầu xanh và quả cầu trắng, chúng ta có thể tính toán cụ thể hơn. Đáp án: Xác suất để chọn được quả cầu xanh là $$. Xác suất để chọn được quả cầu trắng là $$. Câu 20. Để xác định đẳng thức nào trong các lựa chọn A, B, C, D là sai, chúng ta sẽ kiểm tra từng trường hợp một. A. $$ - Đây là một đẳng thức cơ bản của lượng giác, luôn đúng với mọi giá trị của $$. B. $$ - Đây cũng là một đẳng thức cơ bản của lượng giác, luôn đúng với mọi giá trị của $$ ngoại trừ những giá trị làm cho $$ (vì chia cho 0 không xác định). C. $$ - Đây là công thức cộng góc trong lượng giác, luôn đúng với mọi giá trị của $$ và $$. D. $$ - Đây là công thức nhân đôi góc trong lượng giác, luôn đúng với mọi giá trị của $$. Như vậy, tất cả các đẳng thức trên đều đúng với điều kiện tương ứng của chúng. Do đó, không có đẳng thức nào trong các lựa chọn A, B, C, D là sai. Đáp án: Không có đáp án sai trong các lựa chọn đã cho. Câu 21. Để viết biểu thức dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ, chúng ta cần biết biểu thức cụ thể là gì. Tuy nhiên, dựa trên yêu cầu của bạn, tôi sẽ giả sử rằng biểu thức cần viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ là một biểu thức đơn giản như $$. Dưới đây là các bước để viết biểu thức dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ: 1. Xác định cơ số và số mũ: Cơ số là số hoặc biểu thức mà ta muốn nâng lên một lũy thừa nào đó. Số mũ là số hữu tỷ (số có thể viết dưới dạng phân số $$). 2. Viết biểu thức dưới dạng lũy thừa: Biểu thức sẽ có dạng $$, trong đó $$ là cơ số và $$ là số mũ hữu tỷ. Ví dụ, nếu biểu thức là $$, ta có: - Cơ số là $$ - Số mũ hữu tỷ là $$ Do đó, biểu thức đã được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ là $$. Nếu bạn cung cấp biểu thức cụ thể, tôi sẽ có thể viết chi tiết hơn về cách viết biểu thức đó dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ. Câu 22. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần biết rằng biểu thức dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ có dạng $$, trong đó $$ là cơ số, $$ và $$ là các số nguyên, và $$. Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng đáp án để xác định biểu thức nào đúng dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ. A. $$ - Biểu thức này có thể viết lại dưới dạng $$. Đây là dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ. B. $$ - Biểu thức này có thể viết lại dưới dạng $$. Đây cũng là dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ. C. $$ - Biểu thức này có thể viết lại dưới dạng $$. Đây cũng là dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ. D. $$ - Biểu thức này có thể viết lại dưới dạng $$. Đây cũng là dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ. Như vậy, tất cả các biểu thức A, B, C và D đều là dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ. Đáp án: A, B, C, D Câu 23. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của lô-ga-rít và các phép toán liên quan đến lô-ga-rít. Giả sử biểu thức cần tính là: $$ Bước 1: Áp dụng công thức lô-ga-rít cơ bản $$: $$ Bước 2: Áp dụng công thức lô-ga-rít cơ bản $$: $$ Bước 3: Cộng hai kết quả trên lại: $$ Vậy giá trị của biểu thức là 2. Đáp án đúng là: C. 2 Câu 24. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần kiểm tra từng phát biểu để xác định phát biểu nào là sai. Giả sử chúng ta có hai số $$ và $$. A. $$ - Đây là tính chất giao hoán của phép cộng, luôn đúng. B. $$ - Đây là tính chất giao hoán của phép nhân, luôn đúng. C. $$ - Đây là phát biểu sai vì phép trừ không có tính chất giao hoán. $$ không bằng $$ trừ khi $$. D. $$ - Đây là phát biểu sai vì phép chia không có tính chất giao hoán. $$ không bằng $$ trừ khi $$ và cả hai đều khác 0. Như vậy, phát biểu sai là: C. $$ Vậy đáp án là: C. Câu 25. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần biết các giá trị của $$ và $$. Tuy nhiên, vì đề bài không cung cấp cụ thể giá trị của $$ và $$, chúng ta sẽ giả sử rằng $$ và $$ là hai số dương tùy ý và cần tìm biểu thức liên quan đến chúng. Giả sử chúng ta cần tính biểu thức $$. Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Vì $$ và $$ là hai số dương tùy ý, nên $$ và $$. Bước 2: Biểu thức cần tính - Biểu thức cần tính là $$. Bước 3: Rút gọn biểu thức - Ta có thể viết lại biểu thức $$ dưới dạng: $$ Vậy, biểu thức $$ được rút gọn thành $$. Đáp án: $$ Do đó, đáp án đúng là C. $$. Câu 26. Để tính giá trị của biểu thức $$ với điều kiện $$, $$ và $$, ta làm như sau: Bước 1: Nhân cả tử và mẫu của phân thức với biểu thức liên hợp của mẫu: $$ Bước 2: Áp dụng công thức nhân liên hợp ở mẫu: $$ Bước 3: Tính bình phương ở tử và giản ước ở mẫu: $$ Vậy giá trị của biểu thức là: $$ Đáp án đúng là C. $$ Câu 27. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần biết biểu thức $$ cụ thể là gì. Tuy nhiên, giả sử rằng biểu thức $$ đã được cung cấp và chúng ta cần tìm giá trị của nó. Dưới đây là cách tiếp cận chung để giải quyết bài toán này: 1. Xác định Biểu Thức $$: Giả sử biểu thức $$ được cho là $$. 2. Rút Gọn Biểu Thức: Ta nhận thấy rằng $$ là một hằng đẳng thức: $$ Do đó, biểu thức $$ có thể được viết lại như sau: $$ 3. Chia Hạng Số: Ta chia cả tử và mẫu cho $$ (với điều kiện $$): $$ 4. Tìm Giá Trị Của $$: Để tìm giá trị của $$, ta cần biết giá trị của $$. Giả sử $$: $$ Do đó, giá trị của biểu thức $$ là 3. Đáp án: B. P = 3 Lời giải chi tiết: - Biểu thức $$ - Rút gọn: $$ - Với $$, ta có $$ Vậy giá trị của biểu thức $$ là 3. Câu 27. Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong hình lập phương, các cạnh và mặt đều vuông góc với nhau. Ta sẽ xem xét các đường thẳng và góc liên quan. Giả sử hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với các đỉnh A, B, C, D ở đáy và A', B', C', D' ở đỉnh trên. - Đường thẳng AB nằm trên mặt đáy ABCD. - Đường thẳng A'D' nằm trên mặt bên A'D'C'D. Góc giữa hai đường thẳng AB và A'D' là góc giữa hai đường thẳng này khi chúng được chiếu lên cùng một mặt phẳng. Ta có thể chiếu đường thẳng A'D' xuống mặt đáy ABCD để dễ dàng hơn. Khi chiếu đường thẳng A'D' xuống mặt đáy ABCD, ta nhận thấy rằng nó sẽ trùng với đường thẳng AD. Vậy góc giữa AB và A'D' sẽ là góc giữa AB và AD. Trong hình lập phương, các cạnh đều vuông góc với nhau, nên góc giữa AB và AD là 90 độ. Do đó, góc giữa hai đường thẳng AB và A'D' là 90 độ. Đáp án đúng là: D. 90 độ Câu 28. Câu hỏi: Cho điểm và mặt phẳng . Có bao nhiêu đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳng ? A. 2. B. Vô số. C. 0. D. 1. Vui lòng lập luận từng bước. Câu trả lời: Trước tiên, ta cần hiểu rằng từ một điểm cho trước, chỉ có duy nhất một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng đã cho. Điều này dựa trên tính chất của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng trong không gian. Bây giờ, ta sẽ lập luận từng bước: 1. Xác định điểm và mặt phẳng: Ta có một điểm $$ và một mặt phẳng $$. 2. Tính chất đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Từ một điểm cho trước, chỉ có duy nhất một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng đã cho. 3. Áp dụng tính chất: Do đó, từ điểm $$, chỉ có duy nhất một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $$. Vậy, số đường thẳng đi qua điểm $$ và vuông góc với mặt phẳng $$ là 1. Đáp án đúng là: D. 1. Câu 29. Trước tiên, ta cần hiểu rằng hình chóp có đáy là hình bình hành tâm có nghĩa là đáy của hình chóp là một hình bình hành và tâm của hình bình hành này cũng là tâm của đáy hình chóp. Bây giờ, ta sẽ xem xét từng khẳng định: A. Hình chóp có đáy là hình bình hành tâm thì đỉnh của hình chóp nằm trên đường thẳng đi qua tâm đáy và vuông góc với đáy. - Khẳng định này không đúng vì đỉnh của hình chóp không nhất thiết phải nằm trên đường thẳng đi qua tâm đáy và vuông góc với đáy. Đỉnh của hình chóp có thể nằm ở bất kỳ vị trí nào trong không gian, miễn là nó không nằm trên mặt phẳng của đáy. B. Hình chóp có đáy là hình bình hành tâm thì đường thẳng đi qua đỉnh và tâm đáy vuông góc với đáy. - Khẳng định này cũng không đúng vì đường thẳng đi qua đỉnh và tâm đáy không nhất thiết phải vuông góc với đáy. Chỉ khi đỉnh của hình chóp nằm trên đường thẳng đi qua tâm đáy và vuông góc với đáy thì mới đúng. C. Hình chóp có đáy là hình bình hành tâm thì đường thẳng đi qua đỉnh và tâm đáy cắt đáy tại tâm đáy. - Khẳng định này đúng vì đường thẳng đi qua đỉnh và tâm đáy sẽ luôn cắt đáy tại tâm đáy, do tâm đáy là trung điểm của các đường chéo của hình bình hành. D. Hình chóp có đáy là hình bình hành tâm thì đường thẳng đi qua đỉnh và tâm đáy song song với đáy. - Khẳng định này không đúng vì đường thẳng đi qua đỉnh và tâm đáy không thể song song với đáy, vì nó sẽ luôn cắt đáy tại tâm đáy. Vậy khẳng định đúng là: C. Hình chóp có đáy là hình bình hành tâm thì đường thẳng đi qua đỉnh và tâm đáy cắt đáy tại tâm đáy. Câu 30. Trước tiên, ta cần xác định các tính chất và vị trí của các điểm và đường thẳng trong hình chóp SABCD. 1. SA vuông góc với mặt đáy ABCD: Điều này có nghĩa là SA là đường cao hạ từ đỉnh S xuống mặt đáy ABCD. 2. ABCD là hình vuông tâm O: Tâm O của hình vuông ABCD là giao điểm của các đường chéo AC và BD, đồng thời cũng là trung điểm của cả hai đường chéo này. 3. I và K lần lượt là trung điểm của SB và SD: Điều này có nghĩa là I nằm chính giữa đoạn SB và K nằm chính giữa đoạn SD. Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng khẳng định: - A. IA vuông góc với mặt đáy ABCD: - Vì SA vuông góc với mặt đáy ABCD, và I là trung điểm của SB, nên IA không thể vuông góc với mặt đáy ABCD. Do đó, khẳng định này sai. - B. IK song song với BD: - Ta biết rằng I và K lần lượt là trung điểm của SB và SD. Theo định lý đường trung bình trong tam giác, IK sẽ song song với BD. Do đó, khẳng định này đúng. - C. IK vuông góc với mặt đáy ABCD: - Vì SA vuông góc với mặt đáy ABCD, và I và K là trung điểm của SB và SD, thì IK không thể vuông góc với mặt đáy ABCD. Do đó, khẳng định này sai. - D. IA song song với SD: - Vì I là trung điểm của SB và K là trung điểm của SD, nên IA không thể song song với SD. Do đó, khẳng định này sai. Từ các lập luận trên, ta thấy rằng khẳng định đúng là: B. IK song song với BD. Đáp án: B. Câu 31. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần kiểm tra từng mệnh đề để xác định mệnh đề nào là sai. Tuy nhiên, câu hỏi không cung cấp cụ thể các mệnh đề A, B, C, D. Do đó, tôi sẽ giả sử rằng các mệnh đề liên quan đến các tính chất của hình chóp có đáy là hình vuông và đỉnh vuông góc với đáy. Giả sử các mệnh đề như sau: A. Hình chóp có đáy là hình vuông và đỉnh vuông góc với đáy thì các mặt bên đều là tam giác vuông. B. Hình chóp có đáy là hình vuông và đỉnh vuông góc với đáy thì các đường cao từ đỉnh xuống đáy đều bằng nhau. C. Hình chóp có đáy là hình vuông và đỉnh vuông góc với đáy thì các mặt bên đều là tam giác cân. D. Hình chóp có đáy là hình vuông và đỉnh vuông góc với đáy thì các đường chéo của đáy đều bằng nhau. Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề: A. Hình chóp có đáy là hình vuông và đỉnh vuông góc với đáy thì các mặt bên đều là tam giác vuông. - Đúng vì đỉnh vuông góc với đáy, nên các đường cao hạ từ đỉnh xuống đáy tạo thành các tam giác vuông. B. Hình chóp có đáy là hình vuông và đỉnh vuông góc với đáy thì các đường cao từ đỉnh xuống đáy đều bằng nhau. - Sai vì các đường cao từ đỉnh xuống đáy chỉ bằng nhau nếu chúng hạ từ đỉnh xuống trung điểm của các cạnh đáy, nhưng không phải tất cả các đường cao đều bằng nhau. C. Hình chóp có đáy là hình vuông và đỉnh vuông góc với đáy thì các mặt bên đều là tam giác cân. - Đúng vì các cạnh đáy của hình vuông bằng nhau, nên các tam giác bên sẽ là tam giác cân. D. Hình chóp có đáy là hình vuông và đỉnh vuông góc với đáy thì các đường chéo của đáy đều bằng nhau. - Đúng vì các đường chéo của hình vuông luôn bằng nhau. Vậy mệnh đề sai là: B. Hình chóp có đáy là hình vuông và đỉnh vuông góc với đáy thì các đường cao từ đỉnh xuống đáy đều bằng nhau. Đáp án: B. Câu 32. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các kiến thức về hình học không gian và góc giữa hai mặt phẳng (góc nhị diện). Bước 1: Xác định các điểm và đường thẳng liên quan - Gọi tam giác đáy là $$ với $$ là đỉnh vuông ($$). - Cạnh bên $$ vuông góc với đáy, tức là $$. Bước 2: Xác định góc nhị diện - Góc nhị diện giữa hai mặt phẳng $$ và $$ được xác định bởi góc giữa hai đường thẳng nằm trong mỗi mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến $$. Bước 3: Xác định các đường thẳng vuông góc với giao tuyến $$ - Trong mặt phẳng $$, đường thẳng $$ vuông góc với $$ vì $$. - Trong mặt phẳng $$, đường thẳng $$ vuông góc với $$ vì $$ và $$ là cạnh chung. Bước 4: Xác định góc giữa hai đường thẳng $$ và $$ - Góc giữa hai đường thẳng $$ và $$ chính là góc nhị diện giữa hai mặt phẳng $$ và $$. Bước 5: Tính góc giữa hai đường thẳng $$ và $$ - Vì $$, nên góc giữa $$ và $$ là góc vuông, tức là $$. Vậy số đo của góc nhị diện giữa hai mặt phẳng $$ và $$ là $$. Đáp án đúng là: D. $$. Câu 33. Để xác định đường thẳng $$ vuông góc với mặt phẳng $$, ta cần kiểm tra các lựa chọn đã cho: A. $$ vuông góc với hai đường thẳng phân biệt nằm trong $$: - Điều này không đủ để kết luận $$ vuông góc với $$. Chỉ cần $$ vuông góc với hai đường thẳng phân biệt nằm trong $$ thì $$ chỉ vuông góc với mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó, không chắc chắn là $$. B. $$ vuông góc với đường thẳng mà song song với $$: - Điều này cũng không đủ để kết luận $$ vuông góc với $$. Một đường thẳng song song với $$ không cung cấp thông tin đầy đủ về vị trí của $$ so với $$. C. $$ vuông góc với đường thẳng nằm trong $$: - Điều này không đủ để kết luận $$ vuông góc với $$. Chỉ cần $$ vuông góc với một đường thẳng nằm trong $$ thì $$ chỉ vuông góc với đường thẳng đó, không chắc chắn là $$. D. $$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $$: - Điều này là đúng. Nếu $$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $$, thì $$ vuông góc với $$. Do đó, đáp án đúng là: D. $$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $$. Câu 34. Trước tiên, ta xét hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Ta biết rằng trong hình thoi, hai đường chéo vuông góc với nhau và chia đôi nhau. Do đó, ta có: - AC ⊥ BD - OA = OC và OB = OD Tiếp theo, ta xét điều kiện SA = SC. Điều này cho thấy tam giác SAC là tam giác cân tại S. Do đó, đường cao hạ từ đỉnh S xuống đáy AC sẽ đồng thời là đường trung trực của đoạn thẳng AC. Ta gọi giao điểm của đường cao này với AC là O'. Vì SA = SC nên O' trùng với O (giao điểm của hai đường chéo của hình thoi). Từ đó, ta có: - SO ⊥ AC Bây giờ, ta xét từng khẳng định: A. SA⊥(ABCD): Để SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA phải vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABCD). Tuy nhiên, chỉ biết SA = SC chưa đủ để kết luận SA vuông góc với (ABCD). Do đó, khẳng định này chưa chắc chắn. B. BD⊥(SAC): Để BD vuông góc với mặt phẳng (SAC), BD phải vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (SAC). Ta đã biết BD ⊥ AC (vì ABCD là hình thoi). Để BD ⊥ (SAC), ta cần thêm thông tin về vị trí của S. Hiện tại, chưa có đủ thông tin để kết luận BD ⊥ (SAC). C. AC⊥(SBD): Để AC vuông góc với mặt phẳng (SBD), AC phải vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (SBD). Ta đã biết AC ⊥ BD (vì ABCD là hình thoi). Hơn nữa, ta cũng đã chứng minh SO ⊥ AC. Do đó, AC vuông góc với cả BD và SO, tức là AC vuông góc với mặt phẳng (SBD). Vậy khẳng định này là đúng. D. AB⊥(SAC): Để AB vuông góc với mặt phẳng (SAC), AB phải vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (SAC). Tuy nhiên, chỉ biết SA = SC chưa đủ để kết luận AB vuông góc với (SAC). Do đó, khẳng định này chưa chắc chắn. Kết luận: Khẳng định đúng là C. AC⊥(SBD). Câu 35. Trước tiên, ta cần hiểu rằng hình chiếu vuông góc của một đường thẳng từ một điểm lên một mặt phẳng là đường thẳng nối giữa điểm đó và hình chiếu của điểm đó trên mặt phẳng. Trong hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông và SA ⊥ (ABCD). Điều này có nghĩa là SA vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABCD). Hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm A vì SA ⊥ (ABCD). Bây giờ, ta xét hình chiếu vuông góc của đường thẳng SD trên mặt phẳng (ABCD). Hình chiếu của điểm D trên mặt phẳng (ABCD) chính là điểm D (vì D nằm trên mặt phẳng (ABCD)). Do đó, hình chiếu vuông góc của đường thẳng SD trên mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng nối giữa điểm A và điểm D, tức là đường thẳng AD. Vậy đáp án đúng là: C. AD Đáp số: C. AD Câu 36. Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng đó. Giả sử đường thẳng $$ vuông góc với mặt phẳng $$. Khi đó, hình chiếu của đường thẳng $$ lên mặt phẳng $$ là một điểm (vì đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì hình chiếu của nó lên mặt phẳng đó là một điểm). Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong trường hợp này sẽ là góc giữa đường thẳng và đường thẳng nối điểm đó với điểm trên đường thẳng. Vì đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, nên góc giữa đường thẳng và đường thẳng nối điểm đó với điểm trên đường thẳng sẽ là $$. Do đó, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là $$. Đáp án đúng là: D. $$. Câu 1: a) Giá trị đại diện nhóm là trung điểm của mỗi nhóm độ tuổi. Ta tính như sau: - Nhóm 10 - 15: $$ - Nhóm 16 - 21: $$ - Nhóm 22 - 27: $$ - Nhóm 28 - 33: $$ - Nhóm 34 - 39: $$ b) Độ tuổi được dự báo là ít xem phim đó nhất là thuộc nhóm có số người ít nhất. Nhóm có số người ít nhất là nhóm 34 - 39 với 2 người. c) Nhóm chứa mốt là nhóm có tần số lớn nhất. Nhóm có tần số lớn nhất là nhóm 22 - 27 với 16 người. d) Độ tuổi được dự báo là thích xem phim đó nhiều nhất là giá trị đại diện của nhóm có tần số lớn nhất. Nhóm có tần số lớn nhất là nhóm 22 - 27 với giá trị đại diện là 24,5. Đáp số: a) Giá trị đại diện nhóm là 12,5; 18,5; 24,5; 30,5; 36,5 b) Độ tuổi được dự báo là ít xem phim đó nhất là thuộc nhóm 34 - 39 c) Nhóm chứa mốt là nửa khoảng 22 - 27 d) Độ tuổi được dự báo là thích xem phim đó nhiều nhất là 24,5 tuổi. Câu 2: a) Giá trị đại diện của nhóm là: - Nhóm 1: $$ - Nhóm 2: $$ - Nhóm 3: $$ - Nhóm 4: $$ - Nhóm 5: $$ - Nhóm 6: $$ b) Chiều cao trung bình của học sinh lớp 11 Toán là: $$ $$ $$ c) Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu trên là nhóm: - Tổng số học sinh là 35, do đó trung vị nằm ở vị trí $$. - Tính tổng số học sinh từ nhóm đầu tiên đến nhóm thứ ba: $$. - Do đó, trung vị nằm trong nhóm thứ ba (160 - 165). d) Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm này là: - Nhóm có tần số lớn nhất là nhóm 160 - 165 với tần số 11. - Mốt là giá trị trung tâm của nhóm này: 162.5 e) Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên thuộc khoảng: - Mốt là 162.5, do đó thuộc khoảng 160 - 165. Đáp số: a) Giá trị đại diện của nhóm là 152.5, 157.5, 162.5, 167.5, 172.5, 177.5. b) Chiều cao trung bình của học sinh lớp 11 Toán là 163.0 cm. c) Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu trên là nhóm 160 - 165. d) Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm này là 162.5 cm. e) Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên thuộc khoảng 160 - 165. Câu 3. a) Số phần tử của không gian mẫu bằng: - Mỗi con súc sắc có 6 mặt, do đó khi gieo hai con súc sắc, tổng số kết quả có thể xảy ra là: $$ b) Biến cố "Có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt chấm": - Để tính số phần tử của biến cố này, ta tính số phần tử của biến cố "Không có con súc sắc nào xuất hiện mặt chấm" rồi lấy 36 trừ đi. - Biến cố "Không có con súc sắc nào xuất hiện mặt chấm" có nghĩa là cả hai con súc sắc đều xuất hiện mặt không chấm, tức là không có kết quả nào thỏa mãn. - Do đó, số phần tử của biến cố "Có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt chấm" là: $$ c) Biến cố "Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con là 7": - Các kết quả có tổng số chấm là 7 là: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1). - Số phần tử của biến cố này là: $$ d) Biến cố "Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con lớn hơn hoặc bằng 7": - Các kết quả có tổng số chấm lớn hơn hoặc bằng 7 là: (1, 6), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6). - Số phần tử của biến cố này là: $$ e) Biến cố "Con súc sắc xuất hiện mặt 7 chấm": - Vì mỗi con súc sắc chỉ có 6 mặt, nên không có mặt nào có 7 chấm. - Số phần tử của biến cố này là: $$ f) Hai biến cố và không độc lập: - Để kiểm tra hai biến cố A và B có độc lập hay không, ta cần kiểm tra xem $$ hay không. - Biến cố "Có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt chấm" và biến cố "Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con là 7" không độc lập vì nếu một con súc sắc xuất hiện mặt chấm thì tổng số chấm có thể là 7, nhưng không phải tất cả các trường hợp có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt chấm đều có tổng số chấm là 7. Đáp số: a) 36 b) 36 c) 6 d) 21 e) 0 f) Không độc lập Câu 4. a) Vì hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại A và SA vuông góc với đáy ABC, nên hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) là điểm A. Do đó, hình chiếu của SB lên mặt phẳng (ABC) là AB. b) Ta có: - SA vuông góc với đáy ABC, do đó SA vuông góc với AB. - Tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A, do đó AB vuông góc với AC. Từ hai điều trên, ta suy ra AB vuông góc với mặt phẳng SAC (vì AB vuông góc với cả SA và AC). c) Ta tính diện tích tam giác SAC: - Diện tích tam giác SAC là $$. d) Ta tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC): - Vì AB vuông góc với mặt phẳng SAC, nên khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) chính là độ dài đoạn thẳng AB. - Độ dài AB trong tam giác vuông cân ABC là $$. Đáp số: a) Hình chiếu của SB lên mặt phẳng (ABC) là AB. b) AB vuông góc với mặt phẳng SAC. c) Diện tích tam giác SAC là 8. d) Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) là $$. Câu 5. Câu hỏi: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD với AB = a, AD = b, tam giác SAD là tam giác đều và SA = SD = a, H là trung điểm của AB. a) Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABCD). b) Tính thể tích của hình chóp SABCD. c) Tính diện tích toàn phần của hình chóp SABCD. d) Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD). Câu trả lời: a) Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABCD): - Vì tam giác SAD là tam giác đều nên SH vuông góc với AD tại H. - Ta có SH là khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD). - Diện tích tam giác SAD là $$. - Diện tích tam giác SAD cũng là $$. - Do đó, $$, suy ra $$. b) Tính thể tích của hình chóp SABCD: - Diện tích đáy ABCD là $$. - Thể tích hình chóp SABCD là $$. c) Tính diện tích toàn phần của hình chóp SABCD: - Diện tích đáy ABCD là $$. - Diện tích tam giác SAD là $$. - Diện tích tam giác SAB là $$. - Diện tích tam giác SBC là $$. - Diện tích tam giác SCD là $$. - Diện tích toàn phần là $$. d) Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD): - Gọi O là trung điểm của CD, ta có SO vuông góc với CD. - Ta có $$. - Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là $$. Đáp số: a) Khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) là $$. b) Thể tích của hình chóp SABCD là $$. c) Diện tích toàn phần của hình chóp SABCD là $$. d) Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là $$. Câu 6. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu: a) Tính thể tích của tứ diện Giả sử tứ diện $$ có các cạnh $$, $$, và $$ đôi một vuông góc với nhau. Ta có thể coi $$ là đỉnh chung của ba mặt phẳng vuông góc với nhau. Thể tích $$ của tứ diện $$ được tính bằng công thức: $$ b) Tính diện tích toàn phần của tứ diện Diện tích toàn phần của tứ diện $$ bao gồm diện tích của các mặt phẳng $$, $$, $$, và $$. - Diện tích tam giác $$ là: $$ - Diện tích tam giác $$ là: $$ - Diện tích tam giác $$ là: $$ - Diện tích tam giác $$ là: $$ Trong đó, $$ và $$ có thể được tính bằng công thức Pythagoras từ các cạnh đã biết. Diện tích toàn phần $$ là tổng của các diện tích trên: $$ c) Tính góc giữa hai mặt phẳng Góc giữa hai mặt phẳng $$ và $$ được xác định bằng cách tìm góc giữa hai đường thẳng vuông góc với giao tuyến $$ trong mỗi mặt phẳng. - Gọi $$ là đường cao hạ từ $$ xuống $$ trong mặt phẳng $$. - Gọi $$ là đường cao hạ từ $$ xuống $$ trong mặt phẳng $$. Góc giữa hai mặt phẳng $$ và $$ là góc giữa hai đường thẳng $$ và $$. Ta có thể sử dụng công thức: $$ d) Tính góc giữa hai mặt phẳng Tương tự như phần c), góc giữa hai mặt phẳng $$ và $$ cũng được xác định bằng cách tìm góc giữa hai đường thẳng vuông góc với giao tuyến $$ trong mỗi mặt phẳng. - Gọi $$ là đường cao hạ từ $$ xuống $$ trong mặt phẳng $$. - Gọi $$ là đường cao hạ từ $$ xuống $$ trong mặt phẳng $$. Góc giữa hai mặt phẳng $$ và $$ là góc giữa hai đường thẳng $$ và $$. Ta có thể sử dụng công thức: $$ Kết luận Qua các bước trên, chúng ta đã tính toán thể tích, diện tích toàn phần, và góc giữa các mặt phẳng của tứ diện $$. Các kết quả cụ thể phụ thuộc vào các giá trị của các cạnh $$, $$, và $$. Câu 1. Để xác định mức giá mà nhiều người có nhu cầu mua nhà nhất, chúng ta cần tìm mức giá có số lượng khách hàng lớn nhất trong bảng khảo sát. Bảng khảo sát cho thấy: - Mức giá thứ nhất: 75 khách hàng - Mức giá thứ hai: 105 khách hàng - Mức giá thứ ba: 179 khách hàng - Mức giá thứ tư: 96 khách hàng - Mức giá thứ năm: 45 khách hàng Trong số các mức giá này, mức giá thứ ba có số lượng khách hàng lớn nhất là 179 khách hàng. Do đó, công ty bất động sản Đất Vàng nên xây nhà ở mức giá thứ ba để nhiều người có nhu cầu mua nhà nhất. Đáp số: Mức giá thứ ba. Câu 2. Để tìm số lượng người đi xem phim thuộc nhóm tuổi biết độ tuổi được dự báo là thích xem phim đó nhiều nhất là 34 tuổi và tổng số người đi xem là người, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định nhóm tuổi thích xem phim nhiều nhất: - Độ tuổi được dự báo là thích xem phim nhiều nhất là 34 tuổi. 2. Lập bảng tần số: - Ta cần biết số người thuộc mỗi nhóm tuổi để lập bảng tần số. Giả sử bảng tần số đã cho như sau: | Độ tuổi | Số người | |---------|----------| | 10-20 | 100 | | 20-30 | 150 | | 30-40 | 200 | | 40-50 | 50 | 3. Tìm nhóm tuổi có độ tuổi trung tâm gần 34 tuổi nhất: - Nhóm tuổi từ 30 đến 40 có độ tuổi trung tâm là $$ tuổi, gần 34 tuổi nhất. 4. Tính tổng số người đi xem phim: - Tổng số người đi xem phim là: $$ người. 5. Tìm số lượng người thuộc nhóm tuổi 30-40: - Số người thuộc nhóm tuổi 30-40 là 200 người. Vậy, số lượng người đi xem phim thuộc nhóm tuổi biết độ tuổi được dự báo là thích xem phim đó nhiều nhất là 34 tuổi là 200 người. Câu 3. Để giải quyết yêu cầu của bạn, tôi cần biết cụ thể biểu thức nào cần rút gọn. Bạn vui lòng cung cấp biểu thức đó để tôi có thể thực hiện các bước giải chi tiết và chính xác. Câu 4. 1/ Cho các số thực dương $$, $$, $$ với $$. Tính $$. Đặt $$, $$, $$ (vì $$). Ta có: $$ Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân số với $$: $$ Sử dụng tính chất đối xứng và đơn giản hóa: $$ Vậy $$. 2/ Cho số thực dương khác 1. Tính giá trị của biểu thức $$. Áp dụng công thức đổi cơ sở: $$ Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân số với $$: $$ Sử dụng tính chất logarit: $$ Vậy $$. 3/ Cho $$ và $$ là hai số thực dương thỏa mãn $$. Tính $$. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: $$ Do đó: $$ Vậy $$. 4/ Cho các số thực dương $$, $$, $$ với $$. Tính $$. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: $$ Vậy $$. Câu 5. Để tính xác suất lấy 3 viên bi có đúng hai màu từ một chiếc hộp có 15 viên bi (gồm 4 viên bi màu xanh, 5 viên bi màu đỏ và 6 viên bi màu vàng), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính tổng số cách chọn 3 viên bi từ 15 viên bi Số cách chọn 3 viên bi từ 15 viên bi là: $$ Bước 2: Tính số cách chọn 3 viên bi có đúng hai màu Ta xét các trường hợp có thể xảy ra khi chọn 3 viên bi có đúng hai màu: - Chọn 2 viên bi màu xanh và 1 viên bi màu đỏ hoặc màu vàng: $$ - Chọn 2 viên bi màu đỏ và 1 viên bi màu xanh hoặc màu vàng: $$ - Chọn 2 viên bi màu vàng và 1 viên bi màu xanh hoặc màu đỏ: $$ Tổng số cách chọn 3 viên bi có đúng hai màu là: $$ Bước 3: Tính xác suất Xác suất để lấy 3 viên bi có đúng hai màu là: $$ Vậy xác suất để lấy 3 viên bi có đúng hai màu là: $$ Câu 6. Để tính xác suất của sự kiện "rút được thẻ ghi số chia hết cho 3 hoặc chia hết cho 7", chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm các số chia hết cho 3 trong khoảng từ 1 đến 20: Các số chia hết cho 3 là: 3, 6, 9, 12, 15, 18. Số lượng các số này là 6. 2. Tìm các số chia hết cho 7 trong khoảng từ 1 đến 20: Các số chia hết cho 7 là: 7, 14. Số lượng các số này là 2. 3. Kiểm tra xem có số nào chia hết cho cả 3 và 7 không: Các số chia hết cho cả 3 và 7 là bội số chung nhỏ nhất của 3 và 7, tức là 21. Vì 21 lớn hơn 20 nên không có số nào chia hết cho cả 3 và 7 trong khoảng từ 1 đến 20. 4. Tính tổng số các số chia hết cho 3 hoặc chia hết cho 7: Tổng số các số chia hết cho 3 hoặc chia hết cho 7 là: $$ 5. Tính xác suất: Xác suất để rút được thẻ ghi số chia hết cho 3 hoặc chia hết cho 7 là: $$ Vậy xác suất để rút được thẻ ghi số chia hết cho 3 hoặc chia hết cho 7 là $$. Câu 7. Xác suất để em đó ném vào cổ chai ở lần đầu là 0,75. Xác suất để em đó ném vào cổ chai ở lần thứ hai là: $$ Xác suất để em đó ném vào cổ chai ở lần thứ ba là: $$ Vậy xác suất để em đó ném vào đúng cổ chai là: $$ Đáp số: 0,93 Câu 8. Trước tiên, ta xác định các thông tin đã cho: - Đáy của hình chóp là hình vuông cạnh $$. - Cạnh bên $$ vuông góc với đáy $$. - $$ là trung điểm của $$. Ta cần tính góc giữa $$ và $$. Bước 1: Xác định tọa độ các đỉnh của hình chóp. - Gọi $$, $$, $$, $$. - Vì $$ vuông góc với đáy, ta có $$. Bước 2: Tìm tọa độ của điểm $$. - $$ là trung điểm của $$, nên tọa độ của $$ là $$. Bước 3: Xác định vectơ $$ và $$. - $$. - $$. Bước 4: Tính tích vô hướng $$. $$ Bước 5: Tính độ dài của các vectơ $$ và $$. $$ $$ Bước 6: Tính cosin của góc giữa $$ và $$. $$ Bước 7: Kết luận góc giữa $$ và $$. $$ Đáp số: Góc giữa $$ và $$ là $$. Câu 9. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định các điểm và vectơ cần thiết Giả sử hình chóp là $$ với đáy là hình vuông $$ có cạnh $$. Điểm $$ nằm trên đường cao hạ từ đỉnh $$ xuống đáy và $$. Bước 2: Xác định các vectơ - Vectơ $$ là vectơ chỉ từ $$ đến $$. - Vectơ $$ là vectơ chỉ từ $$ đến $$. - Vectơ $$ là vectơ chỉ từ $$ đến $$. Bước 3: Tìm góc giữa đường thẳng $$ và $$ a) Góc giữa đường thẳng $$ và $$: - Vectơ $$ có độ dài $$. - Vectơ $$ có độ dài $$. Ta tính cosin của góc giữa hai vectơ $$ và $$: $$ Trong đó, $$ vì $$ vuông góc với đáy. Do đó: $$ Suy ra: $$ Vậy góc giữa đường thẳng $$ và $$ là $$. Bước 4: Tìm góc giữa đường thẳng $$ và $$ b) Góc giữa đường thẳng $$ và $$: - Vectơ $$ có độ dài $$. - Vectơ $$ có độ dài $$. Ta tính cosin của góc giữa hai vectơ $$ và $$: $$ Trong đó, $$ vì $$ vuông góc với đáy. Do đó: $$ Suy ra: $$ Vậy góc giữa đường thẳng $$ và $$ là $$. Kết luận: - Góc giữa đường thẳng $$ và $$ là $$. - Góc giữa đường thẳng $$ và $$ là $$. Câu 10. Để tính số đo của góc nhị diện giữa hai mặt phẳng của hình chóp, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm và đường thẳng liên quan: - Gọi $$ là các đỉnh của tam giác đáy. - Gọi $$ là đỉnh của chóp. - Gọi $$ là chân đường cao hạ từ $$ xuống đáy $$. 2. Tìm đường cao $$: - Ta biết rằng $$. Do đó, $$ là đường cao hạ từ đỉnh $$ xuống đáy $$. 3. Xác định góc nhị diện: - Góc nhị diện giữa hai mặt phẳng $$ và $$ là góc giữa hai đường thẳng $$ và $$ khi chúng được chiếu lên mặt phẳng $$. 4. Tính góc giữa hai đường thẳng $$ và $$: - Ta cần tìm góc giữa hai đường thẳng $$ và $$ trong mặt phẳng $$. 5. Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng: - Ta sử dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng $$: $$ - Trong đó, $$ và $$ là các vectơ từ $$ đến $$ và $$ tương ứng. 6. Tính toán chi tiết: - Ta cần biết các thông số về độ dài các đoạn thẳng $$, $$ và góc giữa chúng. - Giả sử ta đã biết các thông số này, ta có thể tính toán cụ thể như sau: $$ $$ 7. Kết luận: - Góc nhị diện giữa hai mặt phẳng $$ và $$ là góc $$. Vậy, số đo của góc nhị diện là $$. Câu 11. Để tính góc phẳng nhị diện giữa hai mặt phẳng $$ và $$ trong hình lăng trụ đứng, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm và đường thẳng: - Gọi $$, $$, $$ là ba đỉnh của đáy tam giác vuông cân tại $$. - Gọi $$, $$, $$ là các đỉnh tương ứng của đáy trên của lăng trụ đứng. - Mặt phẳng $$ là mặt phẳng chứa tam giác $$. - Mặt phẳng $$ là mặt phẳng chứa tam giác $$. 2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: - Giao tuyến của $$ và $$ là đường thẳng $$ (vì $$ là đường thẳng chung của cả hai mặt phẳng). 3. Xác định các đường thẳng vuông góc với giao tuyến: - Ta cần tìm các đường thẳng nằm trong mỗi mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến $$. - Trong mặt phẳng $$, đường thẳng $$ vuông góc với $$ vì $$ nằm trong đáy tam giác vuông cân và $$ là đường cao của lăng trụ đứng. - Trong mặt phẳng $$, đường thẳng $$ vuông góc với $$ vì lý do tương tự như trên. 4. Tính góc giữa hai đường thẳng vuông góc với giao tuyến: - Góc giữa hai đường thẳng $$ và $$ chính là góc phẳng nhị diện giữa hai mặt phẳng $$ và $$. - Vì $$ và $$ đều nằm trong đáy tam giác vuông cân và vuông góc với giao tuyến $$, nên góc giữa chúng chính là góc giữa hai đáy tam giác vuông cân, tức là $$. Do đó, góc phẳng nhị diện giữa hai mặt phẳng $$ và $$ là $$. Câu 2. Để xác định các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta sẽ tính trung vị, trung bình cộng và mode. Bước 1: Xác định tần số lũy kế | Nhóm | Tần số | Tần số lũy kế | |------|--------|--------------| | 1 | 5 | 5 | | 2 | 12 | 17 | | 3 | 16 | 33 | | 4 | 7 | 40 | Bước 2: Tìm trung vị Trung vị là giá trị ở giữa của dãy số khi dãy số được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Với tổng số quan sát là 40, trung vị nằm ở vị trí $$. - Nhóm có tần số lũy kế đầu tiên vượt quá 20,5 là nhóm 3 (tần số lũy kế là 33). Do đó, trung vị thuộc nhóm 3. Bước 3: Tính trung bình cộng Trung bình cộng được tính bằng cách lấy tổng tất cả các giá trị nhân với tần số tương ứng rồi chia cho tổng số quan sát. Giả sử các nhóm có giá trị trung tâm lần lượt là 1, 2, 3, 4. $$ $$ Bước 4: Tìm mode Mode là giá trị xuất hiện nhiều nhất trong dãy số. - Nhóm có tần số cao nhất là nhóm 3 (tần số là 16). Do đó, mode thuộc nhóm 3. Kết luận - Trung vị: 3 - Trung bình cộng: 2,6 - Mode: 3 Đáp số: - Trung vị: 3 - Trung bình cộng: 2,6 - Mode: 3 Câu 3. Câu 1: Tính giá trị biểu thức a) $$ Áp dụng công thức Pythagoras trong tam giác vuông: $$ Do đó: $$ Câu 2: Rút gọn mỗi biểu thức sau: a) $$ Áp dụng công thức Pythagoras trong tam giác vuông: $$ Do đó: $$ Câu 3: a) Cho $$ và $$ với $$. Tính giá trị của $$. Áp dụng công thức: $$ Thay giá trị đã cho vào: $$ b) Cho $$ và $$. Tính $$ theo $$ và $$. Áp dụng công thức nhân đôi: $$ Thay giá trị đã cho vào: $$ Đáp số: a) $$ b) $$ c) $$ d) $$ Câu 4. Số học sinh thích chơi cầu lông là 25 học sinh. Số học sinh thích chơi bóng bàn là 20 học sinh. Số học sinh thích chơi cả cầu lông và bóng bàn là 12 học sinh. a) Xác suất của biến cố A: "Học sinh được chọn thích chơi cầu lông" là: $$ b) Xác suất của biến cố B: "Học sinh được chọn thích chơi bóng bàn" là: $$ c) Xác suất của biến cố C: "Học sinh được chọn vừa thích chơi cầu lông vừa thích chơi bóng bàn" là: $$ d) Số học sinh thích chơi ít nhất một trong hai môn thể thao là cầu lông hoặc bóng bàn là: $$ Xác suất của biến cố D: "Học sinh được chọn thích chơi ít nhất một trong hai môn thể thao là cầu lông hoặc bóng bàn" là: $$ Đáp số: a) $$ b) $$ c) $$ d) $$ Câu 5. Tổng số cách chọn 3 quyển sách từ 35 quyển sách là: $$ Để ba quyển sách được chọn đôi một thể loại khác nhau, ta cần chọn mỗi thể loại một quyển sách. Số cách chọn 1 quyển sách từ mỗi thể loại là: - Chọn 1 quyển sách sinh học từ 10 quyển: $$ - Chọn 1 quyển sách khoa học từ 20 quyển: $$ - Chọn 1 quyển sách văn học từ 5 quyển: $$ Số cách chọn 3 quyển sách đôi một thể loại khác nhau là: $$ Xác suất ba quyển sách được chọn đôi một thể loại khác nhau là: $$ Đáp số: $$ Câu 6. Để tính xác suất để xạ thủ này đoạt loại giỏi, chúng ta cần xác định các trường hợp mà tổng số điểm của ba phát súng đạt ít nhất 28 điểm. Các trường hợp này bao gồm: 1. Ba phát súng đều trúng vòng tròn 10. 2. Hai phát súng trúng vòng tròn 10 và một phát súng trúng vòng tròn 9. 3. Một phát súng trúng vòng tròn 10 và hai phát súng trúng vòng tròn 9. Bây giờ, chúng ta sẽ tính xác suất cho mỗi trường hợp này. 1. Ba phát súng đều trúng vòng tròn 10: $$ 2. Hai phát súng trúng vòng tròn 10 và một phát súng trúng vòng tròn 9: $$ 3. Một phát súng trúng vòng tròn 10 và hai phát súng trúng vòng tròn 9: $$ Tổng xác suất để xạ thủ này đoạt loại giỏi là: $$ Chúng ta cần quy đồng các phân số này: $$ $$ $$ Do đó: $$ Vậy xác suất để xạ thủ này đoạt loại giỏi là: $$ Câu 7. Xác suất để An đạt huy chương vàng và Bình không đạt huy chương vàng là: $$ Xác suất để An không đạt huy chương vàng và Bình đạt huy chương vàng là: $$ Xác suất để hai bạn tham gia có đúng một bạn đạt huy chương vàng là: $$ Đáp số: 0,46 Câu 8. a) Ta có: - Vì là tam giác đều nên . - Mặt khác, là hình chiếu của lên nên . - Kết hợp hai điều trên ta có: . - Do là tam giác vuông có đường cao hạ từ đỉnh vuông nên . - Từ đó suy ra: . b) Ta có: - Gọi là hình chiếu của lên . - Khi đó, là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng . - Ta có: . - Mặt khác, do là tam giác đều cạnh nên . - Do là tam giác vuông tại nên: . - Từ đó suy ra: . - Vậy: . Câu 9. Để tính số đo của góc phẳng nhị diện tạo bởi hai mặt bên kề nhau của Đại kim tự tháp Giza, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các thông số đã biết: - Chiều cao từ đỉnh đến tâm của đáy: $$ - Độ dài cạnh đáy: $$ 2. Tìm khoảng cách từ tâm đáy đến trung điểm của một cạnh đáy: Vì đáy là hình vuông, khoảng cách từ tâm đáy đến trung điểm của một cạnh đáy là: $$ 3. Tính chiều cao của một mặt bên: Mặt bên của kim tự tháp là tam giác đều, do đó chiều cao của một mặt bên (gọi là $$) có thể tính bằng công thức: $$ 4. Tìm góc giữa hai mặt bên kề nhau: Góc giữa hai mặt bên kề nhau chính là góc giữa hai đường cao hạ từ đỉnh của kim tự tháp xuống hai cạnh bên kề nhau. Ta sẽ tính góc này bằng cách sử dụng tam giác vuông được tạo ra từ đỉnh, tâm đáy và trung điểm của một cạnh đáy. Gọi góc giữa hai mặt bên kề nhau là $$. Ta có: $$ Do đó: $$ 5. Áp dụng các giá trị cụ thể: Giả sử chiều cao $$ mét và độ dài cạnh đáy $$ mét, ta có: $$ $$ $$ $$ Vậy số đo của góc phẳng nhị diện tạo bởi hai mặt bên kề nhau của Đại kim tự tháp Giza là khoảng $$. Câu 10. Để tính độ mở của màn hình máy tính, ta cần tìm số đo của góc nhị diện được tạo bởi hai mặt phẳng của máy tính khi mở. Gọi góc này là góc $$. Bước 1: Xác định tam giác ABC - Tam giác ABC có AB = AC = 30 cm và BC = 40 cm. Bước 2: Tìm chiều cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC - Gọi D là chân đường cao hạ từ A xuống BC. Vì tam giác ABC là tam giác cân tại A, nên AD sẽ là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của tam giác ABC. - Do đó, BD = DC = $$ cm. Bước 3: Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác ABD - Trong tam giác ABD, ta có: $$ $$ $$ $$ $$ $$ Bước 4: Xác định góc nhị diện - Góc nhị diện giữa hai mặt phẳng của máy tính khi mở chính là góc giữa hai đường thẳng AD và BD (hoặc CD) trong tam giác ABD. - Gọi góc này là góc $$. Ta có: $$ Bước 5: Tính góc $$ - Sử dụng bảng lượng giác hoặc máy tính để tìm góc $$: $$ Vậy độ mở của màn hình máy tính là khoảng 48.19 độ. Câu 11. Để tính góc giữa mái nhà (chứa OB) so với mặt đất, ta cần tìm góc giữa đoạn thẳng OB và mặt đất. Ta sẽ sử dụng các thông tin đã cho để tính toán. Bước 1: Xác định các thông số đã biết: - AB = 7,2 m - OA = 4,2 m - OB = 6 m - Điểm A cao hơn điểm B là 0,5 m Bước 2: Xác định chiều cao của điểm B từ mặt đất: Giả sử điểm B ở độ cao h từ mặt đất, thì điểm A sẽ ở độ cao h + 0,5 m. Bước 3: Xác định chiều cao của điểm O từ mặt đất: Do OA = 4,2 m và điểm A cao hơn điểm B là 0,5 m, nên chiều cao của điểm O từ mặt đất là h + 0,5 m - 4,2 m = h - 3,7 m. Bước 4: Xác định góc giữa OB và mặt đất: Ta sử dụng công thức tính góc dựa trên tỉ số giữa chiều cao và khoảng cách ngang: $$ Trong đó, chiều cao của B là h và khoảng cách ngang từ O đến B là OB = 6 m. Bước 5: Tính góc: $$ Bước 6: Xác định giá trị của h: Do OA = 4,2 m và điểm A cao hơn điểm B là 0,5 m, nên h = 4,2 m - 0,5 m = 3,7 m. Bước 7: Thay giá trị của h vào công thức: $$ Bước 8: Tìm góc θ: $$ Vậy góc giữa mái nhà (chứa OB) so với mặt đất là khoảng 31,6°.