Giúp mik vs ạ Câu 25. Rút gọn biểu thức $\frac{\sqrt{a^3}}{\sqrt a}$ (với $a0).$,Câu 26. Rút gọn biểu thức $\sqrt{\frac{a^3}a}~(với~ab\geq0).$,Câu 35. Thực hiện phép tính: $\sqrt{(2+\sqrt5)^2}+\sqrt{(\sqrt5-3)^2}$,Câu 36. Rút gọn biểu thức: $3\sqrt{12}+2\sqrt{75}-5\sqrt{27}$,Phần II. Bài tập tự luận (Mức độ: Thông hiểu, vận dụng),Bài 1: Rút gọn biểu thức:,$a)~A=\sqrt{27}+\sqrt{75}-\sqrt3.$ $b)~B=\sqrt{20}.\sqrt{45}+3\sqrt{18}+\sqrt{72}.$,$c)~C=(\sqrt{125}-3\sqrt5+\sqrt{80})\sqrt5.$ $d)~D=3\sqrt8-\sqrt{50}-\sqrt{(\sqrt2-1)^2}$,Bài 2: Rút gọn biểu thức:,$a)~A=\sqrt{(2-\sqrt7)^2}+\sqrt{(5-\sqrt7)^2}$ $b)~B=\frac1{3-\sqrt7}-\frac1{3+\sqrt7}.$,$c)~C=\frac1{3-\sqrt5}-\frac1{\sqrt5+1}.$ $d)~D=(1-\sqrt5).\frac{\sqrt5+5}{2\sqrt5}.$ $e)~E=\frac{\sqrt3-\sqrt6}{1-\sqrt2}-\frac{2+\sqrt8}{1+\sqrt2}$,Bài 3: Cho các biểu thức $A=\frac{5+7\sqrt5}{\sqrt5}+\frac{11+\sqrt{11}}{1+\sqrt{11}},~B=\sqrt5:\frac5{5+\sqrt{55}}$,a) Rút gọn biểu thức A.,b) Chứng minh: $A-B=7.$

Question

Giúp mik vs ạ Câu 25. Rút gọn biểu thức $\frac{\sqrt{a^3}}{\sqrt a}$ (với $a>0).$,Câu 26. Rút gọn biểu thức $\sqrt{\frac{a^3}a}~(với~a<0)$,Câu 27. Tìm x biết $\sqrt{x^2}=13$,Câu 28. Trục căn thức ở mẫu của biểu thức $\frac2{\sqrt5-\sqrt3}$,Câu 29. Tính: $\sqrt[1]{27}-\sqrt[1]{64}-\sqrt[1]{-8}$,Câu 30. Rút gọn biểu thức: $\frac{5-\sqrt5}{1-\sqrt5}$,Câu 31. Tìm nghiệm của phương trình sau: $\sqrt3x-\sqrt{75}=0$,Câu 32. Tính giá trị của biểu thức $\sqrt{(\sqrt3+1)^2}+\sqrt{(1-\sqrt3)^2}$,Câu 33. Tính: $\sqrt{3-\sqrt5}.\sqrt{3+\sqrt5}$,Câu 34. Rút gọn của biểu thức: $M=\frac{a\sqrt b-b\sqrt a}{\sqrt a-\sqrt b}$ (với $a>b\geq0).$,Câu 35. Thực hiện phép tính: $\sqrt{(2+\sqrt5)^2}+\sqrt{(\sqrt5-3)^2}$,Câu 36. Rút gọn biểu thức: $3\sqrt{12}+2\sqrt{75}-5\sqrt{27}$,Phần II. Bài tập tự luận (Mức độ: Thông hiểu, vận dụng),Bài 1: Rút gọn biểu thức:,$a)~A=\sqrt{27}+\sqrt{75}-\sqrt3.$ $b)~B=\sqrt{20}.\sqrt{45}+3\sqrt{18}+\sqrt{72}.$,$c)~C=(\sqrt{125}-3\sqrt5+\sqrt{80})\sqrt5.$ $d)~D=3\sqrt8-\sqrt{50}-\sqrt{(\sqrt2-1)^2}$,Bài 2: Rút gọn biểu thức:,$a)~A=\sqrt{(2-\sqrt7)^2}+\sqrt{(5-\sqrt7)^2}$ $b)~B=\frac1{3-\sqrt7}-\frac1{3+\sqrt7}.$,$c)~C=\frac1{3-\sqrt5}-\frac1{\sqrt5+1}.$ $d)~D=(1-\sqrt5).\frac{\sqrt5+5}{2\sqrt5}.$ $e)~E=\frac{\sqrt3-\sqrt6}{1-\sqrt2}-\frac{2+\sqrt8}{1+\sqrt2}$,Bài 3: Cho các biểu thức $A=\frac{5+7\sqrt5}{\sqrt5}+\frac{11+\sqrt{11}}{1+\sqrt{11}},~B=\sqrt5:\frac5{5+\sqrt{55}}$,a) Rút gọn biểu thức A.,b) Chứng minh: $A-B=7.$

Accepted Answer

Câu 25. Để rút gọn biểu thức $\frac{\sqrt{a^3}}{\sqrt a}$ với điều kiện $a > 0$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Áp dụng công thức $\sqrt{a^n} = (\sqrt{a})^n$ để viết lại biểu thức: $$ \frac{\sqrt{a^3}}{\sqrt a} = \frac{(\sqrt{a})^3}{\sqrt a} $$ Bước 2: Chia hằng số mũ ở tử và mẫu: $$ \frac{(\sqrt{a})^3}{\sqrt a} = (\sqrt{a})^{3-1} = (\sqrt{a})^2 $$ Bước 3: Áp dụng công thức $(\sqrt{a})^2 = a$: $$ (\sqrt{a})^2 = a $$ Vậy, biểu thức $\frac{\sqrt{a^3}}{\sqrt a}$ rút gọn thành $a$. Câu 26. Để rút gọn biểu thức $\sqrt{\frac{a^5}{a}}$ với điều kiện $a < 0$, chúng ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Rút gọn phân số bên trong căn bậc hai: $$ \frac{a^5}{a} = a^{5-1} = a^4 $$ Bước 2: Thay vào biểu thức ban đầu: $$ \sqrt{\frac{a^5}{a}} = \sqrt{a^4} $$ Bước 3: Rút gọn căn bậc hai: $$ \sqrt{a^4} = |a^2| $$ Bước 4: Vì $a < 0$, nên $a^2$ luôn dương, do đó: $$ |a^2| = a^2 $$ Vậy biểu thức đã rút gọn là: $$ a^2 $$ Đáp số: $a^2$. Câu 27. Để tìm x biết $\sqrt{x^2} = 13$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Trong trường hợp này, không có điều kiện xác định cụ thể nào cần thiết vì căn bậc hai của một số bình phương luôn luôn tồn tại. Bước 2: Giải phương trình - Ta có $\sqrt{x^2} = 13$. - Điều này có nghĩa là $x^2 = 13^2$. - Do đó, $x^2 = 169$. Bước 3: Tìm các giá trị của x - Để tìm x, ta lấy căn bậc hai của cả hai vế: $x = \pm \sqrt{169}$. - Vậy $x = 13$ hoặc $x = -13$. Kết luận: Các giá trị của x là $x = 13$ hoặc $x = -13$. Câu 28. Để trục căn thức ở mẫu của biểu thức $\frac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Nhân cả tử và mẫu của phân thức với biểu thức liên hợp của mẫu, tức là $\sqrt{5} + \sqrt{3}$. $$ \frac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{2 (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})} $$ Bước 2: Áp dụng công thức nhân hai biểu thức liên hợp $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ để đơn giản hóa mẫu số. $$ = \frac{2 (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2} $$ $$ = \frac{2 (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{5 - 3} $$ $$ = \frac{2 (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2} $$ Bước 3: Rút gọn phân thức. $$ = \sqrt{5} + \sqrt{3} $$ Vậy, biểu thức $\frac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ sau khi trục căn thức ở mẫu là $\sqrt{5} + \sqrt{3}$. Câu 29. Để tính giá trị của biểu thức $\sqrt[3]{27} - \sqrt[3]{64} - \sqrt[3]{-8}$, chúng ta sẽ lần lượt tính giá trị của từng căn bậc ba rồi thực hiện phép trừ. Bước 1: Tính $\sqrt[3]{27}$ Ta có: $$ \sqrt[3]{27} = 3 $$ Bước 2: Tính $\sqrt[3]{64}$ Ta có: $$ \sqrt[3]{64} = 4 $$ Bước 3: Tính $\sqrt[3]{-8}$ Ta có: $$ \sqrt[3]{-8} = -2 $$ Bước 4: Thay các giá trị đã tính vào biểu thức ban đầu và thực hiện phép trừ $$ \sqrt[3]{27} - \sqrt[3]{64} - \sqrt[3]{-8} = 3 - 4 - (-2) $$ Bước 5: Thực hiện phép trừ $$ 3 - 4 - (-2) = 3 - 4 + 2 = 1 $$ Vậy giá trị của biểu thức là: $$ \sqrt[3]{27} - \sqrt[3]{64} - \sqrt[3]{-8} = 1 $$ Câu 30. Để rút gọn biểu thức $\frac{5-\sqrt{5}}{1-\sqrt{5}}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Nhân tử ở tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu số: $$ \frac{5-\sqrt{5}}{1-\sqrt{5}} = \frac{(5-\sqrt{5})(1+\sqrt{5})}{(1-\sqrt{5})(1+\sqrt{5})} $$ Bước 2: Áp dụng công thức nhân liên hợp $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ cho mẫu số: $$ (1-\sqrt{5})(1+\sqrt{5}) = 1^2 - (\sqrt{5})^2 = 1 - 5 = -4 $$ Bước 3: Nhân tử ở tử số: $$ (5-\sqrt{5})(1+\sqrt{5}) = 5 \cdot 1 + 5 \cdot \sqrt{5} - \sqrt{5} \cdot 1 - \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} $$ $$ = 5 + 5\sqrt{5} - \sqrt{5} - 5 $$ $$ = 5 - 5 + 5\sqrt{5} - \sqrt{5} $$ $$ = 4\sqrt{5} $$ Bước 4: Thay kết quả của tử số và mẫu số vào biểu thức ban đầu: $$ \frac{5-\sqrt{5}}{1-\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{-4} = -\sqrt{5} $$ Vậy, biểu thức đã được rút gọn là: $$ -\sqrt{5} $$ Câu 31. Để tìm nghiệm của phương trình $\sqrt{3}x - \sqrt{75} = 0$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Đưa phương trình về dạng cơ bản: $$ \sqrt{3}x - \sqrt{75} = 0 $$ Bước 2: Chuyển $\sqrt{75}$ sang vế phải: $$ \sqrt{3}x = \sqrt{75} $$ Bước 3: Nhân cả hai vế với $\frac{1}{\sqrt{3}}$ để tìm giá trị của $x$: $$ x = \frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} $$ Bước 4: Rút gọn biểu thức ở vế phải: $$ x = \frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{25 \times 3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{25} \times \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{5 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 5 $$ Vậy nghiệm của phương trình là: $$ x = 5 $$ Câu 32. Để tính giá trị của biểu thức $\sqrt{(\sqrt{3}+1)^2} + \sqrt{(1-\sqrt{3})^2}$, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: Bước 1: Tính giá trị của $\sqrt{(\sqrt{3}+1)^2}$ Ta có: $$ \sqrt{(\sqrt{3}+1)^2} = |\sqrt{3} + 1| $$ Vì $\sqrt{3} + 1$ là một số dương, nên: $$ |\sqrt{3} + 1| = \sqrt{3} + 1 $$ Bước 2: Tính giá trị của $\sqrt{(1-\sqrt{3})^2}$ Ta có: $$ \sqrt{(1-\sqrt{3})^2} = |1 - \sqrt{3}| $$ Vì $\sqrt{3} \approx 1.732$, nên $1 - \sqrt{3}$ là một số âm. Do đó: $$ |1 - \sqrt{3}| = \sqrt{3} - 1 $$ Bước 3: Cộng hai giá trị đã tính ở trên lại Ta có: $$ \sqrt{(\sqrt{3}+1)^2} + \sqrt{(1-\sqrt{3})^2} = (\sqrt{3} + 1) + (\sqrt{3} - 1) $$ Rút gọn biểu thức: $$ (\sqrt{3} + 1) + (\sqrt{3} - 1) = \sqrt{3} + 1 + \sqrt{3} - 1 = 2\sqrt{3} $$ Vậy giá trị của biểu thức là: $$ 2\sqrt{3} $$ Câu 33. Để tính giá trị của biểu thức $\sqrt{3-\sqrt5}.\sqrt{3+\sqrt5}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Các biểu thức dưới dấu căn đều phải lớn hơn hoặc bằng 0. - Điều kiện xác định: $3 - \sqrt{5} \geq 0$ và $3 + \sqrt{5} \geq 0$. - Ta thấy $3 - \sqrt{5} > 0$ và $3 + \sqrt{5} > 0$, do đó ĐKXĐ luôn thỏa mãn. Bước 2: Nhân hai căn bậc hai: $$ \sqrt{3-\sqrt5}.\sqrt{3+\sqrt5} = \sqrt{(3-\sqrt5)(3+\sqrt5)} $$ Bước 3: Áp dụng hằng đẳng thức $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$: $$ (3-\sqrt5)(3+\sqrt5) = 3^2 - (\sqrt5)^2 = 9 - 5 = 4 $$ Bước 4: Tính căn bậc hai của kết quả: $$ \sqrt{4} = 2 $$ Vậy giá trị của biểu thức $\sqrt{3-\sqrt5}.\sqrt{3+\sqrt5}$ là 2. Đáp số: 2 Câu 34. Điều kiện xác định: $ a > b \geq 0 $. Bước 1: Nhân tử ở tử và mẫu với $(\sqrt{a} + \sqrt{b})$ để tạo ra hiệu hai bình phương: $$ M = \frac{(a\sqrt{b} - b\sqrt{a})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})} $$ Bước 2: Áp dụng công thức nhân một tổng với một hiệu: $$ (\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = a - b $$ Bước 3: Nhân tử ở tử số: $$ (a\sqrt{b} - b\sqrt{a})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = a\sqrt{b}\sqrt{a} + a\sqrt{b}\sqrt{b} - b\sqrt{a}\sqrt{a} - b\sqrt{a}\sqrt{b} $$ $$ = a\sqrt{ab} + ab - b\sqrt{a^2} - b\sqrt{ab} $$ $$ = a\sqrt{ab} + ab - ba - b\sqrt{ab} $$ $$ = a\sqrt{ab} - b\sqrt{ab} + ab - ba $$ $$ = (a - b)\sqrt{ab} $$ Bước 4: Thay kết quả vào biểu thức ban đầu: $$ M = \frac{(a - b)\sqrt{ab}}{a - b} $$ Bước 5: Rút gọn biểu thức: $$ M = \sqrt{ab} $$ Vậy rút gọn của biểu thức $ M $ là $ \sqrt{ab} $. Câu 35. Để thực hiện phép tính $\sqrt{(2+\sqrt5)^2}+\sqrt{(\sqrt5-3)^2}$, ta sẽ làm theo từng bước sau: Bước 1: Tính căn bậc hai của $(2+\sqrt5)^2$ $\sqrt{(2+\sqrt5)^2} = |2+\sqrt5|$ Vì $2+\sqrt5$ là số dương, nên: $|2+\sqrt5| = 2+\sqrt5$ Bước 2: Tính căn bậc hai của $(\sqrt5-3)^2$ $\sqrt{(\sqrt5-3)^2} = |\sqrt5-3|$ Vì $\sqrt5 \approx 2.236$, nên $\sqrt5 < 3$. Do đó, $\sqrt5 - 3$ là số âm, và: $|\sqrt5-3| = -( \sqrt5 - 3 ) = 3 - \sqrt5$ Bước 3: Cộng kết quả của hai bước trên lại $\sqrt{(2+\sqrt5)^2}+\sqrt{(\sqrt5-3)^2} = (2+\sqrt5) + (3-\sqrt5)$ Bước 4: Rút gọn biểu thức $(2+\sqrt5) + (3-\sqrt5) = 2 + 3 + \sqrt5 - \sqrt5 = 5$ Vậy kết quả của phép tính là 5. Câu 36. Để rút gọn biểu thức $3\sqrt{12} + 2\sqrt{75} - 5\sqrt{27}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Rút gọn các căn bậc hai trong biểu thức: - $\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ - $\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$ - $\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = \sqrt{9} \times \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$ Bước 2: Thay các giá trị đã rút gọn vào biểu thức ban đầu: $3\sqrt{12} + 2\sqrt{75} - 5\sqrt{27} = 3(2\sqrt{3}) + 2(5\sqrt{3}) - 5(3\sqrt{3})$ Bước 3: Thực hiện phép nhân: $= 6\sqrt{3} + 10\sqrt{3} - 15\sqrt{3}$ Bước 4: Cộng và trừ các số hạng có chứa căn bậc hai: $= (6 + 10 - 15)\sqrt{3}$ $= 1\sqrt{3}$ $= \sqrt{3}$ Vậy, biểu thức $3\sqrt{12} + 2\sqrt{75} - 5\sqrt{27}$ khi rút gọn là $\sqrt{3}$. Bài 1: a) $~A=\sqrt{27}+\sqrt{75}-\sqrt3=\sqrt{3\times 9}+\sqrt{3\times 25}-\sqrt3=3\sqrt3+5\sqrt3-\sqrt3=7\sqrt3.$ b) $~B=\sqrt{20}\times \sqrt{45}+3\sqrt{18}+\sqrt{72}=\sqrt{4\times 5}\times \sqrt{9\times 5}+3\sqrt{9\times 2}+\sqrt{36\times 2}=2\sqrt5\times 3\sqrt5+3\times 3\sqrt2+6\sqrt2=30+15\sqrt2.$ c) $~C=(\sqrt{125}-3\sqrt5+\sqrt{80})\times \sqrt5=(\sqrt{25\times 5}-3\sqrt5+\sqrt{16\times 5})\times \sqrt5=(5\sqrt5-3\sqrt5+4\sqrt5)\times \sqrt5=6\sqrt5\times \sqrt5=30.$ d) $~D=3\sqrt8-\sqrt{50}-\sqrt{(\sqrt2-1)^2}=3\sqrt{4\times 2}-\sqrt{25\times 2}-|\sqrt2-1|=3\times 2\sqrt2-5\sqrt2-(\sqrt2-1)=6\sqrt2-5\sqrt2-\sqrt2+1=1.$ Bài 2: a) $~A=\sqrt{(2-\sqrt7)^2}+\sqrt{(5-\sqrt7)^2}=|2-\sqrt7|+|5-\sqrt7|$ Vì $\sqrt7>2$ nên $2-\sqrt7<0$ và $5-\sqrt7>0$. Do đó: $A=-(2-\sqrt7)+(5-\sqrt7)=\sqrt7-2+5-\sqrt7=3$ b) $~B=\frac1{3-\sqrt7}-\frac1{3+\sqrt7}=\frac{3+\sqrt7-(3-\sqrt7)}{(3-\sqrt7)(3+\sqrt7)}=\frac{2\sqrt7}{9-7}=\sqrt7$ c) $~C=\frac1{3-\sqrt5}-\frac1{\sqrt5+1}=\frac{3+\sqrt5-(\sqrt5-1)}{(3-\sqrt5)(\sqrt5+1)}=\frac{4}{(3-\sqrt5)(\sqrt5+1)}$ d) $~D=(1-\sqrt5).\frac{\sqrt5+5}{2\sqrt5}=\frac{(1-\sqrt5)(\sqrt5+5)}{2\sqrt5}=\frac{\sqrt5+5-5-\sqrt5}{2\sqrt5}=0$ e) $~E=\frac{\sqrt3-\sqrt6}{1-\sqrt2}-\frac{2+\sqrt8}{1+\sqrt2}=\frac{\sqrt3(1-\sqrt2)}{1-\sqrt2}-\frac{2(1+\sqrt2)}{1+\sqrt2}=\sqrt3-2$ Bài 3: a) Rút gọn biểu thức $ A $: $$ A = \frac{5 + 7\sqrt{5}}{\sqrt{5}} + \frac{11 + \sqrt{11}}{1 + \sqrt{11}} $$ Chúng ta sẽ rút gọn từng phân thức riêng lẻ: $$ \frac{5 + 7\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} + \frac{7\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} + 7 $$ $$ \frac{11 + \sqrt{11}}{1 + \sqrt{11}} $$ Nhân cả tử và mẫu với $ 1 - \sqrt{11} $: $$ \frac{(11 + \sqrt{11})(1 - \sqrt{11})}{(1 + \sqrt{11})(1 - \sqrt{11})} = \frac{11 - 11\sqrt{11} + \sqrt{11} - 11}{1 - 11} = \frac{-10\sqrt{11}}{-10} = \sqrt{11} $$ Do đó: $$ A = \sqrt{5} + 7 + \sqrt{11} $$ b) Chứng minh $ A - B = 7 $: Rút gọn biểu thức $ B $: $$ B = \sqrt{5} : \frac{5}{5 + \sqrt{55}} $$ $$ B = \sqrt{5} \times \frac{5 + \sqrt{55}}{5} = \sqrt{5} \times \left(1 + \frac{\sqrt{55}}{5}\right) = \sqrt{5} + \sqrt{11} $$ Tính $ A - B $: $$ A - B = (\sqrt{5} + 7 + \sqrt{11}) - (\sqrt{5} + \sqrt{11}) = 7 $$ Vậy, chúng ta đã chứng minh được $ A - B = 7 $.