cứu e với ạ các anh chị d) Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng $(\alpha):~3x-2y+2z+7=0,~(\beta):~5x-4y+3z+1=0$ Phương,trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O đồng thời vuông góc với cá $(\alpha)$ và (B) là $2x+y-z=0.$,Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng $d_1:\frac{x-1}1=\frac{y+2}{-1}=\frac{z-3}2.$,$d_2:\frac{x+1}2=\frac{y-4}{-1}=\frac{z-2}4.$ mặt phẳng $(P):~2x-3y+z-2025=0$ và điểm $M(0;-1;2).$ Khi đó:,a) Điểm M thuộc đường thẳng $d_1.$ $T^\prime(2,-3,1$,b) Hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ chéo nhau.,c) đường thẳng đi qua $M(0;-1;2)$ vuông góc với (P) có phương trình là $\frac x5=\frac{y+1}3=\frac{z-2}{z1}.$,d) Điểm $M^\prime(0;-1;0)$ đối xứng với $M(0;-1;2)$ qua $d_1.$,Phần III. Trả lời ngắn (3 điểm): $ u=3(m)s)$ thì bắt đầu tăng,Câu 1. Một máy bay đang chuyển động thẳng đều trên mặt đất với vận tốt,tốc với độ biến thiên vận tốc là hàm số a(t) có đồ thị hàm số là đường thẳng như hình vẽ.,$=U=faT$,,Sau 15s tăng tốc thì máy bay đạt đến vận tốp đủ lớn để phóng khỏi mặt đất. Hãy tính vận tốc khi máy bay,bắt đầu rời khỏi mặt đất.,Câu 2. Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[0;\frac\pi2]$ và thoả mãn: $\int^{\frac\pi2}_0[3\cos x+2f^\prime(x)]dx=-5;f(0)=1.$,Tính giá trị $f(\frac\pi2).$,Câu 3. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng $d:\left\{\begin{array}lx=0\y=2-t.\\varepsilon=t.\end{array} ight.$ Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng,$d$ và tạo với mặt phẳng một góc $45^0.$ Tính khoảng cách từ $M(1;4;5)$ đến mặt phẳng (P) . (làm,tròn kết quả đến hàng phần trăm).,Câu 4.Trong một bể hình lập phương cạnh 1 m có chứa một ít nước. Người ta đặt đáy bể nghiêng so với,mặt phẳng nằm ngang. Biết rằng, lúc đó mặt nước có dạng hình bình hành ABCD và khoảng cách từ các,điểm A,B,C đến đáy bể tương ứng là 40cm,444mm,48mmm,Đầy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc bao nhiêu độ? (làm tròn kết quả đến hàng phần

Question

cứu e với ạ các anh chị d) Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng $(\alpha):~3x-2y+2z+7=0,~(\beta):~5x-4y+3z+1=0$ Phương,trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O đồng thời vuông góc với cá $(\alpha)$ và (B) là $2x+y-z=0.$,Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng $d_1:\frac{x-1}1=\frac{y+2}{-1}=\frac{z-3}2.$,$d_2:\frac{x+1}2=\frac{y-4}{-1}=\frac{z-2}4.$ mặt phẳng $(P):~2x-3y+z-2025=0$ và điểm $M(0;-1;2).$ Khi đó:,a) Điểm M thuộc đường thẳng $d_1.$ $T^\prime(2,-3,1$,b) Hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ chéo nhau.,c) đường thẳng đi qua $M(0;-1;2)$ vuông góc với (P) có phương trình là $\frac x5=\frac{y+1}3=\frac{z-2}{z1}.$,d) Điểm $M^\prime(0;-1;0)$ đối xứng với $M(0;-1;2)$ qua $d_1.$,Phần III. Trả lời ngắn (3 điểm): $
u=3(m)s)$ thì bắt đầu tăng,Câu 1. Một máy bay đang chuyển động thẳng đều trên mặt đất với vận tốt,tốc với độ biến thiên vận tốc là hàm số a(t) có đồ thị hàm số là đường thẳng như hình vẽ.,$=U=faT$,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/2649c1e7a1f44791b5f12fe5dd57d38f.jpg />,Sau 15s tăng tốc thì máy bay đạt đến vận tốp đủ lớn để phóng khỏi mặt đất. Hãy tính vận tốc khi máy bay,bắt đầu rời khỏi mặt đất.,Câu 2. Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[0;\frac\pi2]$ và thoả mãn: $\int^{\frac\pi2}_0[3\cos x+2f^\prime(x)]dx=-5;f(0)=1.$,Tính giá trị $f(\frac\pi2).$,Câu 3. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng $d:\left\{\begin{array}lx=0\y=2-t.\\varepsilon=t.\end{array}ight.$ Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng,$d$ và tạo với mặt phẳng một góc $45^0.$ Tính khoảng cách từ $M(1;4;5)$ đến mặt phẳng (P) . (làm,tròn kết quả đến hàng phần trăm).,Câu 4.Trong một bể hình lập phương cạnh 1 m có chứa một ít nước. Người ta đặt đáy bể nghiêng so với,mặt phẳng nằm ngang. Biết rằng, lúc đó mặt nước có dạng hình bình hành ABCD và khoảng cách từ các,điểm A,B,C đến đáy bể tương ứng là 40cm,444mm,48mmm,Đầy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc bao nhiêu độ? (làm tròn kết quả đến hàng phần

Accepted Answer

Để tìm phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O đồng thời vuông góc với cả hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng đã cho:
   - Mặt phẳng $(\alpha): 3x - 2y + 2z + 7 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_\alpha = (3, -2, 2)$.
   - Mặt phẳng $(\beta): 5x - 4y + 3z + 1 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_\beta = (5, -4, 3)$.

2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm:
   - Mặt phẳng cần tìm vuông góc với cả hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$, do đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm sẽ là tích vector của $\vec{n}_\alpha$ và $\vec{n}_\beta$.
   - Tích vector $\vec{n}_\alpha \times \vec{n}_\beta$ được tính như sau:
     $$
     \vec{n}_\alpha \times \vec{n}_\beta = 
     \begin{vmatrix}
     \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \
     3 & -2 & 2 \
     5 & -4 & 3
     \end{vmatrix}
     = \vec{i}((-2)(3) - (2)(-4)) - \vec{j}((3)(3) - (2)(5)) + \vec{k}((3)(-4) - (-2)(5))
     $$
     $$
     = \vec{i}(-6 + 8) - \vec{j}(9 - 10) + \vec{k}(-12 + 10)
     $$
     $$
     = \vec{i}(2) - \vec{j}(-1) + \vec{k}(-2)
     $$
     $$
     = 2\vec{i} + \vec{j} - 2\vec{k}
     $$
   - Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm là $\vec{n} = (2, 1, -2)$.

3. Lập phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O:
   - Mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (2, 1, -2)$ có phương trình:
     $$
     2x + y - 2z = 0
     $$

Vậy phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O đồng thời vuông góc với cả hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ là:
$$
2x + y - 2z = 0
$$

Câu 4.
a) Ta thấy $M(0;-1;2)$ không thuộc $d_1$ vì $M$ không thỏa mãn phương trình tham số của $d_1$.
b) Ta có $\overrightarrow{u_1}(1,-1,2)$ và $\overrightarrow{u_2}(2,-1,4)$ là các vectơ chỉ phương của $d_1$ và $d_2$. Ta thấy $\overrightarrow{u_1}$ và $\overrightarrow{u_2}$ không cùng phương nên $d_1$ và $d_2$ không song song hoặc trùng nhau. Mặt khác, ta thấy $d_1$ và $d_2$ không cắt nhau vì không tồn tại giá trị nào của $t$ và $s$ sao cho $A(t) = B(s)$. Do đó, $d_1$ và $d_2$ chéo nhau.
c) Đường thẳng đi qua $M(0;-1;2)$ vuông góc với $(P)$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{n}(2,-3,1)$ (vì $\overrightarrow{n}$ là vectơ pháp tuyến của $(P)$). Phương trình của đường thẳng này là $\frac{x-0}{2} = \frac{y+1}{-3} = \frac{z-2}{1}$.
d) Ta thấy $M'(0;-1;0)$ không đối xứng với $M(0;-1;2)$ qua $d_1$ vì $M'$ không nằm trên đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $d_1$.

Câu 1.
Để tính vận tốc của máy bay khi nó bắt đầu rời khỏi mặt đất, ta cần biết gia tốc $a(t)$ của máy bay theo thời gian $t$. Từ đó, ta sẽ tính được vận tốc $v(t)$ của máy bay tại thời điểm $t = 15$ giây.

Bước 1: Xác định phương trình của gia tốc $a(t)$.

Từ đồ thị, ta thấy rằng gia tốc $a(t)$ là một hàm tuyến tính, tức là dạng $a(t) = at + b$. Ta cần xác định các hệ số $a$ và $b$.

- Khi $t = 0$, $a(0) = 0$. Do đó, $b = 0$.
- Khi $t = 15$, $a(15) = 10$. Do đó, $a \cdot 15 = 10 \Rightarrow a = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$.

Vậy phương trình của gia tốc là:
$$ a(t) = \frac{2}{3} t $$

Bước 2: Tính vận tốc $v(t)$ của máy bay.

Vận tốc $v(t)$ là tích phân của gia tốc $a(t)$:
$$ v(t) = \int a(t) \, dt = \int \frac{2}{3} t \, dt = \frac{2}{3} \int t \, dt = \frac{2}{3} \cdot \frac{t^2}{2} + C = \frac{1}{3} t^2 + C $$

Ở đây, $C$ là hằng số tích phân. Vì ban đầu (tức là khi $t = 0$), vận tốc của máy bay là 0, nên $C = 0$.

Do đó, phương trình vận tốc là:
$$ v(t) = \frac{1}{3} t^2 $$

Bước 3: Tính vận tốc của máy bay khi $t = 15$ giây.

Thay $t = 15$ vào phương trình vận tốc:
$$ v(15) = \frac{1}{3} \cdot 15^2 = \frac{1}{3} \cdot 225 = 75 $$

Vậy vận tốc của máy bay khi nó bắt đầu rời khỏi mặt đất là 75 m/s.

Đáp số: 75 m/s.

Câu 2.
Ta có:
$\int^{\frac\pi2}_0[3\cos x+2f^\prime(x)]dx=-5$
$\Rightarrow \int^{\frac\pi2}_03\cos x dx + 2\int^{\frac\pi2}_0f^\prime(x)dx=-5$
$\Rightarrow 3\sin x|^{\frac\pi2}_0 + 2f(x)|^{\frac\pi2}_0=-5$
$\Rightarrow 3 + 2[f(\frac\pi2)-f(0)]=-5$
$\Rightarrow f(\frac\pi2)=-4$.

Câu 3.
Để tính khoảng cách từ điểm $ M(1;4;5) $ đến mặt phẳng (P) chứa đường thẳng $ d $ và tạo với mặt phẳng $ Oxy $ một góc $ 45^\circ $, chúng ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)
- Đường thẳng $ d $ có phương hướng là $ \vec{u} = (0, -1, 1) $.
- Mặt phẳng $ Oxy $ có vectơ pháp tuyến là $ \vec{n}_1 = (0, 0, 1) $.

Do mặt phẳng (P) tạo với mặt phẳng $ Oxy $ một góc $ 45^\circ $, vectơ pháp tuyến của (P) sẽ có dạng $ \vec{n} = (a, b, c) $. Ta có:
$$ |\cos 45^\circ| = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{n}_1|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{n}_1|} = \frac{|c|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} $$

Từ đó suy ra:
$$ |c| = \frac{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}{\sqrt{2}} $$
$$ 2c^2 = a^2 + b^2 + c^2 $$
$$ c^2 = a^2 + b^2 $$

Bước 2: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)
- Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng $ d $, do đó $ \vec{n} $ phải vuông góc với $ \vec{u} $:
$$ \vec{n} \cdot \vec{u} = 0 $$
$$ a \cdot 0 + b \cdot (-1) + c \cdot 1 = 0 $$
$$ -b + c = 0 $$
$$ b = c $$

Thay vào $ c^2 = a^2 + b^2 $:
$$ c^2 = a^2 + c^2 $$
$$ a = 0 $$

Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $ \vec{n} = (0, c, c) $. Chọn $ c = 1 $, ta có $ \vec{n} = (0, 1, 1) $.

Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng (P)
- Điểm $ A(0, 2, 0) $ thuộc đường thẳng $ d $ và cũng thuộc mặt phẳng (P).
- Phương trình mặt phẳng (P) có dạng:
$$ 0(x - 0) + 1(y - 2) + 1(z - 0) = 0 $$
$$ y + z - 2 = 0 $$

Bước 4: Tính khoảng cách từ điểm $ M(1, 4, 5) $ đến mặt phẳng (P)
- Khoảng cách từ điểm $ M(x_0, y_0, z_0) $ đến mặt phẳng $ ax + by + cz + d = 0 $ là:
$$ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} $$

Áp dụng vào bài toán:
$$ d = \frac{|0 \cdot 1 + 1 \cdot 4 + 1 \cdot 5 - 2|}{\sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|4 + 5 - 2|}{\sqrt{2}} = \frac{7}{\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{2} \approx 4.95 $$

Vậy khoảng cách từ điểm $ M(1, 4, 5) $ đến mặt phẳng (P) là $ 4.95 $.

Câu 4.
Khi bể hình lập phương được nghiêng, mặt nước tạo thành một hình bình hành ABCD. Các điểm A, B, C trên mặt nước có khoảng cách đến đáy bể lần lượt là 40 cm, 44 cm và 48 cm. Để tìm góc nghiêng của bể, chúng ta cần xác định chiều cao trung bình của mặt nước từ đáy bể.

Chiều cao trung bình của mặt nước từ đáy bể là:
$$ h_{\text{trung bình}} = \frac{40 + 44 + 48}{3} = 44 \text{ cm} $$

Khi bể nghiêng, chiều cao trung bình này sẽ tạo thành một góc với đáy bể. Ta gọi góc này là $\theta$. Chiều cao trung bình này là một cạnh của tam giác vuông, trong đó cạnh kia là cạnh đáy của bể (100 cm).

Ta có:
$$ \sin(\theta) = \frac{h_{\text{trung bình}}}{\text{cạnh bể}} = \frac{44}{100} = 0.44 $$

Từ đây, ta tính góc $\theta$:
$$ \theta = \arcsin(0.44) \approx 26.1^\circ $$

Vậy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc khoảng 26.1 độ.

Đáp số: 26.1 độ.