giúp với a Ví dụ 12 Trên một sườn núi (có độ nghiêng đều),,người ta trồng một cây thông và muốn giữ nó không bị,,nghiêng bằng hai sợi dây neo như Hình 34. Giả thiết,cây thông mọc thẳng đứng và trong một hệ toạ độ phù,hợp, các điểm O (gốc cây thông) và A, B (nơi buộc dây,neo) có toạ độ tương ứng là $O(0;0;0),~A(3;-4;2),$,$B(-5;-2;1),$ đơn vị trên mỗi trục toạ độ là mét.,Biết rằng hai dây neo đều được buộc vào cây thông tại điểm $(0;0;5)$ và được kéo căng,tạo thành các đoạn thẳng.,a) Tính độ dài của mỗi dây neo được sử dụng.,b) Tính góc tạo bởi mỗi dây neo và mặt phẳng sườn núi (làm tròn kết quả đến hàng đơn,vị của độ).

Question

giúp với a Ví dụ 12 Trên một sườn núi (có độ nghiêng đều),,người ta trồng một cây thông và muốn giữ nó không bị,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/7b4aa05939644b3cab9a066dc39a9445.jpg />,nghiêng bằng hai sợi dây neo như Hình 34. Giả thiết,cây thông mọc thẳng đứng và trong một hệ toạ độ phù,hợp, các điểm O (gốc cây thông) và A, B (nơi buộc dây,neo) có toạ độ tương ứng là $O(0;0;0),~A(3;-4;2),$,$B(-5;-2;1),$ đơn vị trên mỗi trục toạ độ là mét.,Biết rằng hai dây neo đều được buộc vào cây thông tại điểm $(0;0;5)$ và được kéo căng,tạo thành các đoạn thẳng.,a) Tính độ dài của mỗi dây neo được sử dụng.,b) Tính góc tạo bởi mỗi dây neo và mặt phẳng sườn núi (làm tròn kết quả đến hàng đơn,vị của độ).

Accepted Answer

a) Tính độ dài của mỗi dây neo:

Điểm buộc dây neo trên cây thông: C(0; 0; 5)

Điểm neo A: A(3; -4; 2)

Điểm neo B: B(-5; -2; 1)

Độ dài dây neo CA và CB được tính theo công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian:

Độ dài CA:

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
CA\ =\sqrt{[( 3\ -\ 0) ²\ +\ ( -4\ -\ 0) ²\ +\ ( 2\ -\ 5) ²]}\
CA\ =\ \sqrt{34} \ \approx \ 5.83\ mét
\end{array}$

Độ dài CB:

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
CB\ =\ \sqrt{[( -5\ -\ 0) ²\ +\ ( -2\ -\ 0) ²\ +\ ( 1\ -\ 5) ²]}\
CB\ =\ \sqrt{45} \ \approx \ 6.71\ mét
\end{array}$

b) Tính góc tạo bởi mỗi dây neo và mặt phẳng sườn núi:

Để tính góc này, ta cần tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng sườn núi và vector chỉ phương của mỗi dây neo.

Vector chỉ phương của dây neo CA:

CA = (3; -4; -3)

Vector chỉ phương của dây neo CB:

CB = (-5; -2; -4)

Tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng sườn núi:

Do sườn núi có độ nghiêng đều, ta có thể tìm vector pháp tuyến bằng cách lấy tích có hướng của hai vector nằm trên mặt phẳng sườn núi. Ta chọn vector OA và OB làm hai vector này:

OA = (3; -4; 2)

OB = (-5; -2; 1)

Vector pháp tuyến $\displaystyle n\ =\ OA\ .\ OB\ =\ (( -4\ .\ 1) \ -\ ( 2\ .-2) ,\ ( 2\ \ .\ \ -5) \ -\ ( 3\ .\ \ 1) ,\ ( 3\ .\ \ -2) \ -\ ( -4\ .\ \ -5)) \ =\ ( 0,\ -13,\ -26)$

Để đơn giản hóa, ta có thể lấy n = (0, 1, 2)

Tính góc giữa dây neo CA và mặt phẳng sườn núi:

$\displaystyle sin( a) \ =\ |( CA\ .\ n) \ /\ ( |CA|\ .\ |n|) |$

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
CA\ .\ n\ =\ ( 3\ .\ 0) \ +\ ( -4\ .\ 1) \ +\ ( -3\ .\ 2) \ =\ -10\
|CA|\ =\ \sqrt{34}\
|n|\ =\ \sqrt{( 0²\ +\ 1²\ +\ 2²)} \ =\ \sqrt{5}\
sin( a) \ =\ |-10\ /\ \left(\sqrt{34} \ .\ \ \sqrt{5} ight) |\ \approx \ 0.81\
a\ \approx \ arcsin( 0.81) \ \approx \ 54^{0}
\end{array}$