Giúp mình với 2) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). AD , BE CF là ba đường cao của tam giác,ABC cắt nhau tại H .,a) .Chứng minh bốn điểm A,F,HH,E ùng thuộc một đường tròn.,b). Kẻ đường kính AM của đường tròn (O) . Chứng minh $AD.AM=AB.AC$,c). Gọi P là giao điểm của AH và EF , I là giao điểm của AM và BC, K l,trung điểm của BC . Chứng minh: H,K,M thẳng hàng và $PI//HK$

Question

Giúp mình với 2) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). AD , BE   CF là ba đường cao của tam giác,ABC cắt nhau tại H .,a) .Chứng minh bốn điểm A,F,HH,E ùng thuộc một đường tròn.,b). Kẻ đường kính AM của đường tròn (O) . Chứng minh $AD.AM=AB.AC$,c). Gọi P là giao điểm của AH và EF , I là giao điểm của AM và BC, K  l,trung điểm của BC . Chứng minh: H,K,M thẳng hàng và $PI//HK$

Accepted Answer

a.
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
BE\bot AC\equiv E;\ CF\bot AB\equiv F;\ BE\cap CF\equiv H\
\Longrightarrow \widehat{AEH} =\widehat{AFH} =90^{0}
\end{array}$
Xét tứ giác AEHF có
$\displaystyle \widehat{AEH} +\widehat{AFH} =90^{0} +90^{0} =180^{0}$
⟹ Tứ giác AEHF nội tiếp
⟹ A;F;H;E cùng thuộc một đường tròn
b.
(O) có $\displaystyle \widehat{ABC} =\widehat{AMC}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn 1 cung)
⟹ $\displaystyle \widehat{ABD} =\widehat{AMC}$
$\displaystyle AD\bot BC\equiv D\Longrightarrow \widehat{ADB} =90^{0}$
Mà $\displaystyle \widehat{ACM} =90^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⟹ $\displaystyle \widehat{ADB} =\widehat{ACM} =90^{0}$
Xét $\displaystyle \vartriangle ADB\ và\ \vartriangle ACM$ có
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\widehat{ADB} =\widehat{ACM} =90^{0}\
\widehat{ABD} =\widehat{AMC}
\end{array}$
⟹ $\displaystyle \vartriangle ADB\ \sim \vartriangle ACM$ (g.g)
⟹ $\displaystyle \frac{AD}{AC} =\frac{AB}{AM}$
⟹ $\displaystyle AD.AM=AB.AC$