PHẦN II. TỰ LUẬN (7,0 điểm).
Câu 1. (1,5 điểm)
a) Giải hệ phương trình
2 1
4
x y
x y
 



 

b) Tính giá trị biểu thức
 
2
3 1 12
A    
c) Rút gọn biểu thức
2 4
:
2 2 2
x x
B
x x x
 

   
 
  
 
, với x  0 , x  4.
Câu 2. (2,0 điểm)
2.1. a) Tìm a để đồ thị hàm số
2
y ax

đi qua điểm M   2 ; 2 .
b) Cho phương trình
 
2
2 1 0
x m x m
   
, m là tham số. Tìm các giá trị của m để
phương trình có hai nghiệm 1 2
,
x x
thoả mãn điều kiện    
1 2 1 . 1 19.
x x
  
2.2. Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình:
Một đội xe dự định trở 75 tấn hàng để ủng hộ đồng bào miền trung, lúc sắp khởi hành
nhận được ủng hộ thêm 5 tấn hàng và được bổ sung thêm 5 xe, do đó mỗi xe chở ít hơn dự
định 1 tấn. Hỏi lúc đầu có bao nhiêu xe?
Câu 3. (2,5 điểm)
Cho đường tròn  
,
O R
, một đường thẳng d cố định cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.
Từ một điểm M thuộc đường thẳng d nằm bên ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến
,
MC MD
tới
đường tròn (
,
C D
là tiếp điểm).
a) Chứng minh bốn điểm
, , ,
M C O D
cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh OM CD

. Đoạn thẳng OM cắt đường tròn tại I, chứng minh I là tâm đường
tròn nội tiếp tam giác MCD.
c) Đường thẳng qua O và vuông góc với OM cắt các tia
,
MC MD
theo thứ tự tại P và Q. Tìm
vị trí của điểm M trên đường thẳng d sao cho diện tích tam giác MPQ nhỏ nhất.
Câu 4. (0,5 điểm)
Hình bên minh họa bộ phận lọc của một
bình lọc nước. Bộ phận này gồm một hình trụ và
một nửa hình cầu với kích thước ghi trên hình.
Hãy tính diện tích mặt ngoài của bộ phận này.
Câu 5. (0,5 điểm) Giải phương trình
2 3
8 21 49 11 4 15.

Question

PHẦN II. TỰ LUẬN (7,0 điểm). 
Câu 1. (1,5 điểm) 
a) Giải hệ phương trình 
2 1
4
x y
x y
 



 

b) Tính giá trị biểu thức 
 
2
3 1 12
A    
c) Rút gọn biểu thức 
2 4
:
2 2 2
x x
B
x x x
 

   
 
  
 
, với x  0 , x  4.
Câu 2. (2,0 điểm) 
2.1. a) Tìm a để đồ thị hàm số 
2
y ax

 đi qua điểm M   2 ; 2 .
 b) Cho phương trình 
 
2
2 1 0
x m x m
   
, m là tham số. Tìm các giá trị của m để 
phương trình có hai nghiệm 1 2
,
x x
 thoả mãn điều kiện    
1 2 1 . 1 19.
x x
  
2.2. Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: 
 Một đội xe dự định trở 75 tấn hàng để ủng hộ đồng bào miền trung, lúc sắp khởi hành 
nhận được ủng hộ thêm 5 tấn hàng và được bổ sung thêm 5 xe, do đó mỗi xe chở ít hơn dự 
định 1 tấn. Hỏi lúc đầu có bao nhiêu xe? 
Câu 3. (2,5 điểm) 
Cho đường tròn  
, 
O R
, một đường thẳng d cố định cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt. 
Từ một điểm M thuộc đường thẳng d nằm bên ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến 
, 
MC MD
 tới 
đường tròn (
,
C D
 là tiếp điểm).
a) Chứng minh bốn điểm 
, , ,
M C O D
 cùng thuộc một đường tròn. 
b) Chứng minh OM CD

. Đoạn thẳng OM cắt đường tròn tại I, chứng minh I là tâm đường 
tròn nội tiếp tam giác MCD.
c) Đường thẳng qua O và vuông góc với OM cắt các tia 
, 
MC MD
 theo thứ tự tại P và Q. Tìm 
vị trí của điểm M trên đường thẳng d sao cho diện tích tam giác MPQ nhỏ nhất. 
Câu 4. (0,5 điểm) 
 Hình bên minh họa bộ phận lọc của một 
bình lọc nước. Bộ phận này gồm một hình trụ và 
một nửa hình cầu với kích thước ghi trên hình. 
Hãy tính diện tích mặt ngoài của bộ phận này. 
Câu 5. (0,5 điểm) Giải phương trình
2 3
8 21 49 11 4 15.

Accepted Answer

Câu 1.
a) Giải hệ phương trình:
$$
\begin{cases}
x - y = 2 \
x + y = 4
\end{cases}
$$

Cộng hai phương trình lại:
$$
(x - y) + (x + y) = 2 + 4 \
2x = 6 \
x = 3
$$

Thay $ x = 3 $ vào phương trình $ x + y = 4 $:
$$
3 + y = 4 \
y = 1
$$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $ (x, y) = (3, 1) $.

b) Tính giá trị biểu thức:
$$
A = \left(3 - 1\right)^2 + 12
$$

Tính $ 3 - 1 $:
$$
3 - 1 = 2
$$

Tính bình phương của 2:
$$
2^2 = 4
$$

Cộng thêm 12:
$$
4 + 12 = 16
$$

Vậy giá trị của biểu thức $ A $ là 16.

c) Rút gọn biểu thức:
$$
B = \frac{x^2 + 4}{x} : \frac{x^2 + 2x + 2}{x^2 - 2x + 2}, \quad x \geq 0, \quad x \neq \pm 4
$$

Trước tiên, ta viết lại phép chia dưới dạng nhân với nghịch đảo:
$$
B = \frac{x^2 + 4}{x} \cdot \frac{x^2 - 2x + 2}{x^2 + 2x + 2}
$$

Rút gọn biểu thức:
$$
B = \frac{(x^2 + 4)(x^2 - 2x + 2)}{x(x^2 + 2x + 2)}
$$

Ta thấy rằng $ x^2 + 4 $ và $ x^2 + 2x + 2 $ không thể rút gọn thêm được nữa. Do đó, biểu thức đã được rút gọn tối đa là:
$$
B = \frac{(x^2 + 4)(x^2 - 2x + 2)}{x(x^2 + 2x + 2)}
$$

Đáp số:
a) Nghiệm của hệ phương trình là $ (x, y) = (3, 1) $.

b) Giá trị của biểu thức $ A $ là 16.

c) Biểu thức đã được rút gọn tối đa là:
$$
B = \frac{(x^2 + 4)(x^2 - 2x + 2)}{x(x^2 + 2x + 2)}
$$

Câu 2.
2.1. a) Thay tọa độ điểm M(2; 2) vào phương trình hàm số y = ax^2 ta có:
$$ 2 = a \cdot 2^2 $$
$$ 2 = 4a $$
$$ a = \frac{1}{2} $$

Vậy giá trị của a là $\frac{1}{2}$.

b) Phương trình đã cho là:
$$ x^2 - 2mx + m + 1 = 0 $$

Để phương trình có hai nghiệm $x_1$ và $x_2$, ta cần điều kiện:
$$ \Delta = (-2m)^2 - 4(m + 1) \geq 0 $$
$$ 4m^2 - 4m - 4 \geq 0 $$
$$ m^2 - m - 1 \geq 0 $$

Giải bất phương trình này:
$$ m^2 - m - 1 = 0 $$
$$ m = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} $$

Vậy $m \leq \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ hoặc $m \geq \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.

Theo đề bài, ta cần:
$$ (x_1 - 1)(x_2 - 1) \geq 19 $$

Ta có:
$$ x_1 + x_2 = 2m $$
$$ x_1 x_2 = m + 1 $$

Do đó:
$$ (x_1 - 1)(x_2 - 1) = x_1 x_2 - (x_1 + x_2) + 1 $$
$$ = (m + 1) - 2m + 1 $$
$$ = 2 - m $$

Yêu cầu:
$$ 2 - m \geq 19 $$
$$ m \leq -17 $$

Kết hợp với điều kiện ban đầu, ta có:
$$ m \leq -17 $$

2.2. Gọi số xe ban đầu là x (x > 0).

Số hàng mỗi xe chở ban đầu là:
$$ \frac{75}{x} $$

Sau khi nhận thêm 5 tấn hàng và 5 xe, tổng số hàng là 80 tấn và tổng số xe là x + 5. Số hàng mỗi xe chở sau khi thêm là:
$$ \frac{80}{x + 5} $$

Theo đề bài, mỗi xe chở ít hơn dự định 1 tấn:
$$ \frac{75}{x} - \frac{80}{x + 5} = 1 $$

Quy đồng mẫu số:
$$ \frac{75(x + 5) - 80x}{x(x + 5)} = 1 $$
$$ \frac{75x + 375 - 80x}{x(x + 5)} = 1 $$
$$ \frac{-5x + 375}{x(x + 5)} = 1 $$
$$ -5x + 375 = x^2 + 5x $$
$$ x^2 + 10x - 375 = 0 $$

Giải phương trình bậc hai:
$$ x = \frac{-10 \pm \sqrt{100 + 1500}}{2} $$
$$ x = \frac{-10 \pm \sqrt{1600}}{2} $$
$$ x = \frac{-10 \pm 40}{2} $$

Vậy:
$$ x = 15 \text{ (loại âm)} $$

Vậy số xe ban đầu là 15 xe.

Câu 3.
a) Ta có: $ \widehat{MCO} = \widehat{MDO} = 90^\circ $. 
Do đó bốn điểm $ M, C, O, D $ cùng thuộc một đường tròn (gọi là đường tròn ngoại tiếp của tứ giác $ MCOD $).

b) Ta có $ \widehat{MCO} = \widehat{MDO} = 90^\circ $, do đó $ OM $ là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác $ MCOD $. 
Suy ra $ OM \perp CD $.

Ta cần chứng minh rằng $ I $ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ MCD $. 
- Vì $ OM $ là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác $ MCOD $, nên $ \widehat{MIO} = \widehat{MDO} = 90^\circ $. 
- Mặt khác, $ \widehat{MCO} = 90^\circ $, suy ra $ OC \perp MC $ và $ OD \perp MD $. 
- Do đó, $ I $ là giao điểm của các đường phân giác trong của tam giác $ MCD $, tức là $ I $ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ MCD $.

c) Ta cần tìm vị trí của điểm $ M $ trên đường thẳng $ d $ sao cho diện tích tam giác $ MPQ $ nhỏ nhất.

- Gọi $ H $ là chân đường cao hạ từ $ O $ đến $ PQ $. 
- Ta có $ OP = OQ $ (do $ O $ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ MPQ $), suy ra $ OH $ là đường trung trực của đoạn thẳng $ PQ $. 
- Diện tích tam giác $ MPQ $ là $ S_{MPQ} = \frac{1}{2} \times PQ \times MH $.

- Để diện tích tam giác $ MPQ $ nhỏ nhất, ta cần $ PQ $ nhỏ nhất. 
- Ta có $ PQ = 2 \sqrt{OP^2 - OH^2} $. 
- Để $ PQ $ nhỏ nhất, ta cần $ OH $ lớn nhất. 
- Ta có $ OH = \sqrt{OM^2 - MH^2} $. 
- Để $ OH $ lớn nhất, ta cần $ MH $ nhỏ nhất. 
- Ta có $ MH = \sqrt{OM^2 - OH^2} $. 
- Để $ MH $ nhỏ nhất, ta cần $ OH $ lớn nhất. 
- Ta có $ OH = \sqrt{R^2 - OM^2} $. 
- Để $ OH $ lớn nhất, ta cần $ OM $ nhỏ nhất. 
- Vậy để diện tích tam giác $ MPQ $ nhỏ nhất, ta cần $ OM $ nhỏ nhất, tức là $ M $ nằm trên đường thẳng $ d $ và gần tâm $ O $ nhất.

Đáp số: $ M $ nằm trên đường thẳng $ d $ và gần tâm $ O $ nhất.

Câu 4.
Để tính diện tích mặt ngoài của bộ phận lọc nước, ta cần tính diện tích mặt ngoài của hình trụ và nửa hình cầu, sau đó cộng chúng lại.

1. Diện tích mặt ngoài của hình trụ:
   - Diện tích toàn phần của hình trụ bao gồm diện tích hai đáy và diện tích xung quanh.
   - Diện tích đáy của hình trụ là:
     $$
     S_{\text{đáy}} = \pi r^2
     $$
     Với $ r = 5 $ cm, ta có:
     $$
     S_{\text{đáy}} = \pi \times 5^2 = 25\pi \text{ cm}^2
     $$
   - Diện tích xung quanh của hình trụ là:
     $$
     S_{\text{xung quanh}} = 2\pi rh
     $$
     Với $ h = 10 $ cm, ta có:
     $$
     S_{\text{xung quanh}} = 2\pi \times 5 \times 10 = 100\pi \text{ cm}^2
     $$
   - Vì bộ phận này chỉ có một đáy (vì nửa hình cầu che lấp một đáy), nên diện tích mặt ngoài của hình trụ là:
     $$
     S_{\text{trụ}} = S_{\text{đáy}} + S_{\text{xung quanh}} = 25\pi + 100\pi = 125\pi \text{ cm}^2
     $$

2. Diện tích mặt ngoài của nửa hình cầu:
   - Diện tích toàn phần của hình cầu là:
     $$
     S_{\text{cầu}} = 4\pi r^2
     $$
     Với $ r = 5 $ cm, ta có:
     $$
     S_{\text{cầu}} = 4\pi \times 5^2 = 100\pi \text{ cm}^2
     $$
   - Diện tích của nửa hình cầu là:
     $$
     S_{\text{nửa cầu}} = \frac{1}{2} \times 100\pi = 50\pi \text{ cm}^2
     $$

3. Tổng diện tích mặt ngoài của bộ phận lọc nước:
   - Tổng diện tích mặt ngoài là tổng diện tích mặt ngoài của hình trụ và nửa hình cầu:
     $$
     S_{\text{tổng}} = S_{\text{trụ}} + S_{\text{nửa cầu}} = 125\pi + 50\pi = 175\pi \text{ cm}^2
     $$

Vậy diện tích mặt ngoài của bộ phận lọc nước là:
$$
\boxed{175\pi \text{ cm}^2}
$$

Câu 5.
Phương trình đã cho là:
$$ 2x^3 + 3x^2 - 8x + 21 = 49x^4 + 11x^3 + 4x^2 + 15x $$

Đầu tiên, chúng ta sẽ chuyển tất cả các hạng tử về một vế để phương trình có dạng $ A = 0 $:
$$ 2x^3 + 3x^2 - 8x + 21 - 49x^4 - 11x^3 - 4x^2 - 15x = 0 $$

Gộp các hạng tử cùng bậc:
$$ -49x^4 + (2x^3 - 11x^3) + (3x^2 - 4x^2) + (-8x - 15x) + 21 = 0 $$
$$ -49x^4 - 9x^3 - x^2 - 23x + 21 = 0 $$

Phương trình này là một phương trình bậc 4, và việc giải phương trình bậc 4 thường phức tạp và không dễ dàng thực hiện bằng phương pháp đơn giản trong chương trình lớp 10. Tuy nhiên, chúng ta có thể thử nghiệm các giá trị đơn giản để xem liệu có nghiệm nào dễ dàng nhận ra không.

Thử nghiệm $ x = 0 $:
$$ -49(0)^4 - 9(0)^3 - (0)^2 - 23(0) + 21 = 21 \neq 0 $$

Thử nghiệm $ x = 1 $:
$$ -49(1)^4 - 9(1)^3 - (1)^2 - 23(1) + 21 = -49 - 9 - 1 - 23 + 21 = -61 \neq 0 $$

Thử nghiệm $ x = -1 $:
$$ -49(-1)^4 - 9(-1)^3 - (-1)^2 - 23(-1) + 21 = -49 + 9 - 1 + 23 + 21 = 23 \neq 0 $$

Do phương trình bậc 4 phức tạp và không dễ dàng tìm nghiệm bằng phương pháp đơn giản, chúng ta có thể kết luận rằng phương trình này không có nghiệm dễ dàng nhận ra bằng cách thử nghiệm các giá trị đơn giản.

Vậy phương trình $ -49x^4 - 9x^3 - x^2 - 23x + 21 = 0 $ không có nghiệm dễ dàng tìm thấy bằng phương pháp đơn giản trong chương trình lớp 10.

PHẦN II. TỰ LUẬN (7,0 điểm). Câu 1. (1,5 điểm) a) Giải hệ phương trình 2 1 4 x y x y         b) Tính giá trị biểu thức   2 3 1 12 A     c) Rút gọn biểu thức 2 4 :...