giúp mik với

Câu 1. Để xác định hàm số \( F(x) \) là một nguyên hàm của hàm số \( f(x) \) trên khoảng \( K \), ta cần kiểm tra điều kiện nào trong các lựa chọn A, B, C, D là đúng. Theo định nghĩa của nguyên hàm, hàm số \( F(x) \) là một nguyên hàm của hàm số \( f(x) \) trên khoảng \( K \) nếu đạo hàm của \( F(x) \) bằng \( f(x) \) trên toàn bộ khoảng \( K \). Điều này có thể viết dưới dạng: \[ F'(x) = f(x), \quad \forall x \in K. \] Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn: A. \( f'(x) = F(x), \quad \forall x \in K \) - Lựa chọn này sai vì theo định nghĩa, đạo hàm của \( F(x) \) phải bằng \( f(x) \), không phải đạo hàm của \( f(x) \) bằng \( F(x) \). B. \( f'(x) = F(x) + C, \quad \forall x \in K \) - Lựa chọn này cũng sai vì đạo hàm của \( F(x) \) phải bằng \( f(x) \), không phải đạo hàm của \( f(x) \) bằng \( F(x) + C \). C. \( F'(x) = f(x) + C, \quad \forall x \in K \) - Lựa chọn này sai vì đạo hàm của \( F(x) \) phải bằng \( f(x) \), không phải \( f(x) + C \). D. \( F'(x) = f(x), \quad \forall x \in K \) - Lựa chọn này đúng vì theo định nghĩa, đạo hàm của \( F(x) \) phải bằng \( f(x) \) trên toàn bộ khoảng \( K \). Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{D} \] Câu 2. Ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một để xác định khẳng định đúng. A. $\int \cos x \, dx = -\sin x + C$ - Ta biết rằng đạo hàm của $\sin x$ là $\cos x$. Do đó, nguyên hàm của $\cos x$ sẽ là $\sin x + C$, không phải $-\sin x + C$. Vậy khẳng định này sai. B. $\int \sin x \, dx = \cos x + C$ - Ta biết rằng đạo hàm của $-\cos x$ là $\sin x$. Do đó, nguyên hàm của $\sin x$ sẽ là $-\cos x + C$, không phải $\cos x + C$. Vậy khẳng định này sai. C. $\int \sin x \, dx = \sin x + C$ - Ta biết rằng đạo hàm của $-\cos x$ là $\sin x$. Do đó, nguyên hàm của $\sin x$ sẽ là $-\cos x + C$, không phải $\sin x + C$. Vậy khẳng định này sai. D. $\int \cos x \, dx = \sin x + C$ - Ta biết rằng đạo hàm của $\sin x$ là $\cos x$. Do đó, nguyên hàm của $\cos x$ sẽ là $\sin x + C$. Vậy khẳng định này đúng. Vậy khẳng định đúng là: D. $\int \cos x \, dx = \sin x + C$. Câu 3. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \frac{1}{x} \). 2. Xác định hằng số \( C \) dựa vào điều kiện \( F(e) = 3 \). 3. Tính giá trị của \( F(5) \). Bước 1: Tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \frac{1}{x} \). Nguyên hàm của \( \frac{1}{x} \) là \( \ln|x| + C \). Vì \( x \) thuộc khoảng \( (0; +\infty) \), ta có: \[ F(x) = \ln x + C \] Bước 2: Xác định hằng số \( C \) dựa vào điều kiện \( F(e) = 3 \). Thay \( x = e \) vào \( F(x) \): \[ F(e) = \ln e + C = 3 \] \[ 1 + C = 3 \] \[ C = 2 \] Bước 3: Tính giá trị của \( F(5) \). Thay \( C = 2 \) vào \( F(x) \): \[ F(x) = \ln x + 2 \] Tính \( F(5) \): \[ F(5) = \ln 5 + 2 \] Vậy đáp án đúng là: A. \( F(5) = \ln 5 + 2 \) Đáp số: A. \( F(5) = \ln 5 + 2 \) Câu 4. Ta xét từng đáp án: A. $\int^b_af(x)dx=\int^a_bf(x)dx.$ Theo tính chất của tích phân, ta có: $\int^b_af(x)dx = -\int^a_bf(x)dx.$ Vậy A sai. B. $\int^b_af(x)dx=-\int^a_bf(x)dx.$ Theo tính chất của tích phân, ta có: $\int^b_af(x)dx = -\int^a_bf(x)dx.$ Vậy B đúng. C. $\int^b_af(x)dx=2\int^b_af(x)d(2x).$ Theo tính chất của tích phân, ta có: $\int^b_af(x)d(2x) = 2\int^b_af(x)dx.$ Do đó: $\int^b_af(x)dx = \frac{1}{2}\int^b_af(x)d(2x).$ Vậy C sai. D. $\int^a_a2025f(x)dx=2025.$ Theo tính chất của tích phân, ta có: $\int^a_a2025f(x)dx = 0.$ Vì tích phân của một hàm số trên đoạn có cùng hai cận là 0. Vậy D sai. Kết luận: Đáp án đúng là B. Câu 5. Để tính giá trị của $\int^{\frac\pi2}_0\sin xdx$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định nguyên hàm của $\sin x$. Nguyên hàm của $\sin x$ là $-\cos x$. Bước 2: Áp dụng công thức tính tích phân. \[ \int^{\frac\pi2}_0\sin xdx = \left[-\cos x\right]^{\frac\pi2}_0 \] Bước 3: Thay cận trên và cận dưới vào biểu thức nguyên hàm. \[ = -\cos\left(\frac\pi2\right) - (-\cos(0)) \] Bước 4: Tính giá trị của các biểu thức cosin. \[ = -0 - (-1) \] Bước 5: Thực hiện phép trừ. \[ = 0 + 1 = 1 \] Vậy giá trị của $\int^{\frac\pi2}_0\sin xdx$ là 1. Đáp án đúng là: B. 1. Câu 6. Phương trình mặt phẳng đi qua điểm \( M(1;2;-3) \) và có vectơ pháp tuyến \( \overrightarrow{n} = (1; -2; 3) \) có dạng: \[ 1(x - 1) - 2(y - 2) + 3(z + 3) = 0 \] Ta sẽ mở rộng và đơn giản hóa phương trình này: \[ x - 1 - 2y + 4 + 3z + 9 = 0 \] \[ x - 2y + 3z + 12 = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng là: \[ x - 2y + 3z + 12 = 0 \] Do đó, đáp án đúng là: A. \( x - 2y + 3z + 12 = 0 \) Đáp án: A. \( x - 2y + 3z + 12 = 0 \) Câu 7. Để tính khoảng cách từ điểm \( M(1;2;-3) \) đến mặt phẳng \( (P): x + 2y + 2z - 10 = 0 \), ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Công thức khoảng cách từ điểm \( M(x_0, y_0, z_0) \) đến mặt phẳng \( ax + by + cz + d = 0 \) là: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Trong đó: - \( a = 1 \) - \( b = 2 \) - \( c = 2 \) - \( d = -10 \) - \( x_0 = 1 \) - \( y_0 = 2 \) - \( z_0 = -3 \) Thay các giá trị này vào công thức: \[ d = \frac{|1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot (-3) - 10|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} \] \[ d = \frac{|1 + 4 - 6 - 10|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} \] \[ d = \frac{|-11|}{\sqrt{9}} \] \[ d = \frac{11}{3} \] Vậy khoảng cách từ điểm \( M(1;2;-3) \) đến mặt phẳng \( (P): x + 2y + 2z - 10 = 0 \) là \( \frac{11}{3} \). Đáp án đúng là: A. \( \frac{11}{3} \).