tính thể tích của khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ biết tam giác ABC vuông cân tại A. với AB=2a. góc A’BC hợp với mp chuấ đấy góc 15 độ

giải chi tiết và vẽ hình giúp em với ạ

Question

tính thể tích của khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ biết tam giác ABC vuông cân tại A. với AB=2a. góc A’BC hợp với mp chuấ đấy góc 15 độ

giải chi tiết và vẽ hình giúp em với ạ

Accepted Answer

Để tính thể tích của khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C', ta thực hiện các bước sau:

1. Tính diện tích đáy ABC:
   - Tam giác ABC vuông cân tại A với AB = AC = 2a.
   - Diện tích tam giác ABC là:
     $$
     S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 2a \times 2a = 2a^2
     $$

2. Tính chiều cao của khối lăng trụ:
   - Gọi chiều cao của khối lăng trụ là h.
   - Ta biết rằng góc giữa đường thẳng A'BC và mặt phẳng (ABC) là 15°.
   - Trong tam giác vuông A'BC, ta có:
     $$
     \sin(15^\circ) = \frac{h}{A'C}
     $$
   - Để tính A'C, ta sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông A'BC:
     $$
     A'C = \sqrt{(AB)^2 + (BC)^2} = \sqrt{(2a)^2 + (2a)^2} = \sqrt{8a^2} = 2a\sqrt{2}
     $$
   - Thay vào công thức sin:
     $$
     \sin(15^\circ) = \frac{h}{2a\sqrt{2}}
     $$
   - Biết rằng $\sin(15^\circ) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$:
     $$
     \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{h}{2a\sqrt{2}}
     $$
   - Giải phương trình này để tìm h:
     $$
     h = 2a\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{2a\sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = \frac{a\sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} = \frac{a(\sqrt{12} - 2)}{2} = \frac{a(2\sqrt{3} - 2)}{2} = a(\sqrt{3} - 1)
     $$

3. Tính thể tích khối lăng trụ:
   - Thể tích V của khối lăng trụ đứng là:
     $$
     V = S_{ABC} \times h = 2a^2 \times a(\sqrt{3} - 1) = 2a^3(\sqrt{3} - 1)
     $$

Vậy thể tích của khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' là:
$$
V = 2a^3(\sqrt{3} - 1)
$$