giải giúp em với Câu 20. Tích phân $\int^2_1e^x.(1-\frac{e^{-x}}x)dx=e^2+a.e+b.\ln2,(a,b\in\mathbb Z).$ $P=\frac{a+b}{a.b}$,Gía trị biểu thức bằng bao nhiêu?,Câu 21.

Question

Accepted Answer

Câu 20.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tính tích phân $\int^2_1 e^x \left(1 - \frac{e^{-x}}{x}\right) dx$.
2. So sánh kết quả với biểu thức $e^2 + a.e + b.\ln2$ để tìm giá trị của $a$ và $b$.
3. Tính giá trị của biểu thức $P = \frac{a + b}{a.b}$.

Bước 1: Tính tích phân

$$
\int^2_1 e^x \left(1 - \frac{e^{-x}}{x}\right) dx = \int^2_1 e^x dx - \int^2_1 \frac{e^x \cdot e^{-x}}{x} dx
$$

$$
= \int^2_1 e^x dx - \int^2_1 \frac{1}{x} dx
$$

$$
= \left[ e^x \right]^2_1 - \left[ \ln|x| \right]^2_1
$$

$$
= (e^2 - e) - (\ln 2 - \ln 1)
$$

$$
= e^2 - e - \ln 2
$$

Bước 2: So sánh kết quả với biểu thức $e^2 + a.e + b.\ln2$

Ta có:

$$
e^2 - e - \ln 2 = e^2 + a.e + b.\ln2
$$

So sánh hai vế, ta nhận thấy:

$$
a = -1 \quad \text{và} \quad b = -1
$$

Bước 3: Tính giá trị của biểu thức $P = \frac{a + b}{a.b}$

$$
P = \frac{-1 + (-1)}{(-1)(-1)} = \frac{-2}{1} = -2
$$

Vậy giá trị của biểu thức $P$ là $-2$.