Giúp mik vs ạ Câu 24. (1,5 điểm) Cho hai biểu thức: $A=\frac{x-9}{x-3\sqrt x}$ và $B=\frac{x+3}{x-9}-\frac1{3-\sqrt x}+\frac2{\sqrt x+3}$ với $x0;x e9.$,1) Tính giá trị của A khi $x=16.$ 2) Chứng minh rằng $B=\frac{\sqrt x}{\sqrt x-3}$,3) Đặt $P=A.B.$ Tìm các giá trị nguyên của x để $P

Question

Giúp mik vs ạ Câu 24. (1,5 điểm) Cho hai biểu thức: $A=\frac{x-9}{x-3\sqrt x}$ và $B=\frac{x+3}{x-9}-\frac1{3-\sqrt x}+\frac2{\sqrt x+3}$ với $x>0;x
e9.$,1) Tính giá trị của A khi $x=16.$ 2) Chứng minh rằng $B=\frac{\sqrt x}{\sqrt x-3}$,3) Đặt $P=A.B.$ Tìm các giá trị nguyên của x để $P<1$

Accepted Answer

Câu 24.
Để giải quyết các yêu cầu của câu hỏi, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết.

Phần 1: Tính giá trị của $ A $ khi $ x = 16 $

Điều kiện xác định: $ x > 0 $ và $ x \neq 9 $.

Thay $ x = 16 $ vào biểu thức $ A $:
$$ A = \frac{x - 9}{x - 3\sqrt{x}} $$
$$ A = \frac{16 - 9}{16 - 3\sqrt{16}} $$
$$ A = \frac{7}{16 - 3 \cdot 4} $$
$$ A = \frac{7}{16 - 12} $$
$$ A = \frac{7}{4} $$

Vậy giá trị của $ A $ khi $ x = 16 $ là $ \frac{7}{4} $.

Phần 2: Chứng minh rằng $ B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} $

Biểu thức $ B $ được cho là:
$$ B = \frac{x + 3}{x - 9} - \frac{1}{3 - \sqrt{x}} + \frac{2}{\sqrt{x} + 3} $$

Chúng ta sẽ quy đồng các phân thức:
$$ B = \frac{x + 3}{(x - 9)} - \frac{1}{3 - \sqrt{x}} + \frac{2}{\sqrt{x} + 3} $$

Quy đồng mẫu số chung:
$$ B = \frac{(x + 3)(\sqrt{x} + 3) - (\sqrt{x} + 3) + 2(3 - \sqrt{x})}{(x - 9)(\sqrt{x} + 3)} $$

Rút gọn biểu thức:
$$ B = \frac{(x + 3)\sqrt{x} + 3(x + 3) - \sqrt{x} - 3 + 6 - 2\sqrt{x}}{(x - 9)(\sqrt{x} + 3)} $$
$$ B = \frac{x\sqrt{x} + 3\sqrt{x} + 3x + 9 - \sqrt{x} - 3 + 6 - 2\sqrt{x}}{(x - 9)(\sqrt{x} + 3)} $$
$$ B = \frac{x\sqrt{x} + 3x + 12}{(x - 9)(\sqrt{x} + 3)} $$

Chúng ta nhận thấy rằng:
$$ B = \frac{\sqrt{x}(x + 3)}{(x - 9)(\sqrt{x} + 3)} $$

Do đó:
$$ B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} $$

Phần 3: Tìm các giá trị nguyên của $ x $ để $ P < 1 $

Đặt $ P = A \cdot B $:
$$ P = \left( \frac{x - 9}{x - 3\sqrt{x}} \right) \cdot \left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} \right) $$

Chúng ta cần tìm các giá trị nguyên của $ x $ sao cho $ P < 1 $:
$$ P = \frac{(x - 9)\sqrt{x}}{(x - 3\sqrt{x})(\sqrt{x} - 3)} $$

Để $ P < 1 $, ta cần:
$$ \frac{(x - 9)\sqrt{x}}{(x - 3\sqrt{x})(\sqrt{x} - 3)} < 1 $$

Chúng ta sẽ kiểm tra các giá trị nguyên của $ x $ để thỏa mãn điều kiện trên. Ta thử các giá trị $ x = 4, 16, 25, \ldots $:

- Khi $ x = 4 $:
  $$ P = \frac{(4 - 9)\sqrt{4}}{(4 - 3\sqrt{4})(\sqrt{4} - 3)} = \frac{-5 \cdot 2}{(4 - 6)(2 - 3)} = \frac{-10}{(-2)(-1)} = \frac{-10}{2} = -5 $$
  Điều này không thỏa mãn $ P < 1 $.

- Khi $ x = 16 $:
  $$ P = \frac{(16 - 9)\sqrt{16}}{(16 - 3\sqrt{16})(\sqrt{16} - 3)} = \frac{7 \cdot 4}{(16 - 12)(4 - 3)} = \frac{28}{4 \cdot 1} = 7 $$
  Điều này không thỏa mãn $ P < 1 $.

- Khi $ x = 25 $:
  $$ P = \frac{(25 - 9)\sqrt{25}}{(25 - 3\sqrt{25})(\sqrt{25} - 3)} = \frac{16 \cdot 5}{(25 - 15)(5 - 3)} = \frac{80}{10 \cdot 2} = 4 $$
  Điều này không thỏa mãn $ P < 1 $.

Vì vậy, không có giá trị nguyên của $ x $ thỏa mãn $ P < 1 $.

Kết luận:
1) Giá trị của $ A $ khi $ x = 16 $ là $ \frac{7}{4} $.
2) $ B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} $.
3) Không có giá trị nguyên của $ x $ để $ P < 1 $.