Giúp mik vs ạ Câu 25. Cho phương trình: $x^2-2x+m-1=0~(1)$ với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình,có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: $x_1x_2-1=\frac1{x_1}+\frac1{x_2}$,Câu 26. Cho phương trình $x^2-2(m+1)x+m^2+2=0$ ( x là ẩn số). Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có,hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn $x^2_1-x_1x_2+x^2_2=7.$

Question

Accepted Answer

Câu 25. Để phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt thì: $\Delta = (-2)^2 - 4(m-1) > 0$ $4 - 4m + 4 > 0$ $m < 2$ Theo bài ra ta có: $x_1x_2 - 1 = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$ $x_1x_2 - 1 = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2}$ $x_1x_2 - 1 = \frac{-(-2)}{m-1}$ $x_1x_2 - 1 = \frac{2}{m-1}$ $m - 1 - 1 = \frac{2}{m-1}$ $m - 2 = \frac{2}{m-1}$ $(m - 2)(m - 1) = 2$ $m^2 - 3m + 2 = 2$ $m^2 - 3m = 0$ $m(m - 3) = 0$ $m = 0$ hoặc $m = 3$ Do $m < 2$, nên $m = 0$. Câu 26. Để phương trình $x^2 - 2(m + 1)x + m^2 + 2 = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$, ta cần điều kiện $\Delta > 0$. Tính $\Delta$: $$ \Delta = [2(m + 1)]^2 - 4(m^2 + 2) = 4(m + 1)^2 - 4(m^2 + 2) = 4(m^2 + 2m + 1) - 4m^2 - 8 = 4m^2 + 8m + 4 - 4m^2 - 8 = 8m - 4 $$ Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt là: $$ 8m - 4 > 0 \implies m > \frac{1}{2} $$ Theo định lý Vi-et, ta có: $$ x_1 + x_2 = 2(m + 1) $$ $$ x_1 x_2 = m^2 + 2 $$ Ta cần thỏa mãn điều kiện $x_1^2 - x_1 x_2 + x_2^2 = 7$. Ta biến đổi biểu thức này: $$ x_1^2 - x_1 x_2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 3x_1 x_2 $$ Thay vào các giá trị theo Vi-et: $$ (x_1 + x_2)^2 - 3x_1 x_2 = [2(m + 1)]^2 - 3(m^2 + 2) = 4(m + 1)^2 - 3(m^2 + 2) $$ Rút gọn biểu thức: $$ 4(m + 1)^2 - 3(m^2 + 2) = 4(m^2 + 2m + 1) - 3m^2 - 6 = 4m^2 + 8m + 4 - 3m^2 - 6 = m^2 + 8m - 2 $$ Đặt điều kiện: $$ m^2 + 8m - 2 = 7 \implies m^2 + 8m - 9 = 0 $$ Giải phương trình bậc hai: $$ m^2 + 8m - 9 = 0 $$ Áp dụng công thức nghiệm: $$ m = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9)}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{-8 \pm 10}{2} $$ Có hai nghiệm: $$ m = \frac{2}{2} = 1 \quad \text{và} \quad m = \frac{-18}{2} = -9 $$ Kiểm tra điều kiện $m > \frac{1}{2}$: - $m = 1$ thỏa mãn điều kiện. - $m = -9$ không thỏa mãn điều kiện. Vậy giá trị của $m$ là: $$ m = 1 $$