giải các câu hỏi Câu 23. Cho các hàm số $y=f(x),y=g(x)$ liên tục thành trên đoạn $[a;b]$ và có đồ thị như,hình 5. Xét khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số,$y=f(x),y=g(x)$ và hai đường thẳng $x=a,x=b$ quanh trục hoành. Thể tích khối tròn xoay,đó được tính bởi công thức nào dưới đây?,$A.~V=\pi\int^b_a[g^2(x)-f^2(x)]dx.$,,$B.~V=\pi\int^b_a[f(x)-g(x)]^2dx.$,$C.~V=\pi\int^b_a[f^2(x)-g^2(x)]dx.$,$D.~V=\int^b_a[f^2(x)-g^2(x)]dx.$,Câu 24. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y=e^x,y=-5$ và hai đường thẳng,$x=0,~x=4$ bằng,$A.~S=\int^4_9(e^x+5)dx.$ $B.~S=\int^4_0(e^x-5)dx.$,$C.~S=\pi\int^4_0(e^x+5)dx.$ $D.~S=\pi\int^4_0(e^x+5)^2dx.$,Câu 25. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2,$ trục hoành và hai,đường thẳng $x=-2;x=3$ bằng,$A.~\frac{27}4.$ $B.~\frac{11}4.$ $C.~\frac{75}4.$ D. 12.,Câu 26. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sin x,$ trục hoành và hai,đường thẳng $x=\frac\pi6,~x=\frac\pi3$ bằng,$A.~\frac{1-\sqrt3}2.$ $B.~\frac{\sqrt3-1}2.$ $C.~\frac{\sqrt3+1}2.$ $D.~\frac{2-\sqrt3}2.$,Câu 27. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $(P):~y=f(x)=x^2-1,$ trục tung và tiếp tuyến,của (P) tại điểm $M(-1;0)$ bằng,$A.~\frac53.$ $B.~\frac23.$ $C.~\frac13.$ $D.~\frac43.$,Câu 28. Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ t,hàm số $y=x^2-2x$ và trục hoành quanh trục hoành bằng,$A.~\frac43.$ $B.~\frac{4\pi}3.$ $C.~\frac{16}{15}.$ $D.~\frac{16\pi}{15}.$

Question

giải các câu hỏi Câu 23. Cho các hàm số $y=f(x),y=g(x)$ liên tục thành trên đoạn $[a;b]$ và có đồ thị như,hình 5. Xét khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số,$y=f(x),y=g(x)$ và hai đường thẳng $x=a,x=b$ quanh trục hoành. Thể tích khối tròn xoay,đó được tính bởi công thức nào dưới đây?,$A.~V=\pi\int^b_a[g^2(x)-f^2(x)]dx.$,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/f84448b6573a4eba8ac078f6ba6c12bf.jpg />,$B.~V=\pi\int^b_a[f(x)-g(x)]^2dx.$,$C.~V=\pi\int^b_a[f^2(x)-g^2(x)]dx.$,$D.~V=\int^b_a[f^2(x)-g^2(x)]dx.$,Câu 24. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y=e^x,y=-5$ và hai đường thẳng,$x=0,~x=4$ bằng,$A.~S=\int^4_9(e^x+5)dx.$ $B.~S=\int^4_0(e^x-5)dx.$,$C.~S=\pi\int^4_0(e^x+5)dx.$ $D.~S=\pi\int^4_0(e^x+5)^2dx.$,Câu 25. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2,$ trục hoành và hai,đường thẳng $x=-2;x=3$ bằng,$A.~\frac{27}4.$ $B.~\frac{11}4.$ $C.~\frac{75}4.$ D. 12.,Câu 26. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sin x,$ trục hoành và hai,đường thẳng $x=\frac\pi6,~x=\frac\pi3$ bằng,$A.~\frac{1-\sqrt3}2.$ $B.~\frac{\sqrt3-1}2.$ $C.~\frac{\sqrt3+1}2.$ $D.~\frac{2-\sqrt3}2.$,Câu 27. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $(P):~y=f(x)=x^2-1,$ trục tung và tiếp tuyến,của (P) tại điểm $M(-1;0)$ bằng,$A.~\frac53.$ $B.~\frac23.$ $C.~\frac13.$ $D.~\frac43.$,Câu 28. Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ t,hàm số $y=x^2-2x$ và trục hoành quanh trục hoành bằng,$A.~\frac43.$ $B.~\frac{4\pi}3.$ $C.~\frac{16}{15}.$ $D.~\frac{16\pi}{15}.$

Accepted Answer

Câu 23.
Để tính thể tích của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $ y = f(x) $ và $ y = g(x) $ và hai đường thẳng $ x = a $ và $ x = b $ quanh trục hoành, ta sử dụng công thức thể tích khối tròn xoay.

Công thức thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục hoành là:
$$ V = \pi \int_{a}^{b} [R(x)^2 - r(x)^2] \, dx $$
Trong đó:
- $ R(x) $ là bán kính ngoài (hàm số lớn hơn).
- $ r(x) $ là bán kính trong (hàm số nhỏ hơn).

Trong bài này, ta thấy rằng $ f(x) \geq g(x) $ trên đoạn $[a; b]$. Do đó, $ R(x) = f(x) $ và $ r(x) = g(x) $.

Thay vào công thức, ta có:
$$ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)^2 - g(x)^2] \, dx $$

Do đó, đáp án đúng là:
C. $ V = \pi \int_{a}^{b} [f^2(x) - g^2(x)] \, dx $

Đáp án: C. $ V = \pi \int_{a}^{b} [f^2(x) - g^2(x)] \, dx $

Câu 24.
Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $ y = e^x $, $ y = -5 $ và hai đường thẳng $ x = 0 $, $ x = 4 $, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định khoảng tích phân: 
   - Khoảng tích phân từ $ x = 0 $ đến $ x = 4 $.

2. Tìm hiệu giữa hai hàm số:
   - Hàm số trên là $ y = e^x $.
   - Hàm số dưới là $ y = -5 $.
   - Hiệu giữa hai hàm số là $ e^x - (-5) = e^x + 5 $.

3. Lập biểu thức tính diện tích:
   - Diện tích $ S $ của hình phẳng giới hạn bởi hai hàm số và hai đường thẳng là:
     $$
     S = \int_{0}^{4} (e^x + 5) \, dx
     $$

Do đó, đáp án đúng là:
B. $ S = \int_{0}^{4} (e^x + 5) \, dx $

Đáp án: B. $ S = \int_{0}^{4} (e^x + 5) \, dx $

Câu 25.
Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $ y = x^3 - 3x^2 $, trục hoành và hai đường thẳng $ x = -2 $ và $ x = 3 $, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành:
   Đồ thị cắt trục hoành khi $ y = 0 $:
   $$
   x^3 - 3x^2 = 0 \implies x^2(x - 3) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = 3
   $$

2. Phân tích đoạn tích phân:
   Ta chia đoạn tích phân thành các đoạn nhỏ hơn dựa trên các giao điểm:
   - Từ $ x = -2 $ đến $ x = 0 $
   - Từ $ x = 0 $ đến $ x = 3 $

3. Tính diện tích từng đoạn:
   Diện tích từ $ x = -2 $ đến $ x = 0 $:
   $$
   S_1 = \int_{-2}^{0} |x^3 - 3x^2| \, dx = \int_{-2}^{0} -(x^3 - 3x^2) \, dx = \int_{-2}^{0} (-x^3 + 3x^2) \, dx
   $$
   Tính tích phân:
   $$
   \int_{-2}^{0} (-x^3 + 3x^2) \, dx = \left[ -\frac{x^4}{4} + x^3 \right]_{-2}^{0}
   $$
   Thay cận:
   $$
   \left( -\frac{0^4}{4} + 0^3 \right) - \left( -\frac{(-2)^4}{4} + (-2)^3 \right) = 0 - \left( -\frac{16}{4} - 8 \right) = 0 - (-4 - 8) = 12
   $$

Diện tích từ $ x = 0 $ đến $ x = 3 $:
   $$
   S_2 = \int_{0}^{3} |x^3 - 3x^2| \, dx = \int_{0}^{3} (x^3 - 3x^2) \, dx
   $$
   Tính tích phân:
   $$
   \int_{0}^{3} (x^3 - 3x^2) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - x^3 \right]_{0}^{3}
   $$
   Thay cận:
   $$
   \left( \frac{3^4}{4} - 3^3 \right) - \left( \frac{0^4}{4} - 0^3 \right) = \left( \frac{81}{4} - 27 \right) - 0 = \frac{81}{4} - \frac{108}{4} = -\frac{27}{4}
   $$
   Vì diện tích là giá trị tuyệt đối, nên:
   $$
   S_2 = \left| -\frac{27}{4} \right| = \frac{27}{4}
   $$

4. Tổng diện tích:
   Tổng diện tích hình phẳng là:
   $$
   S = S_1 + S_2 = 12 + \frac{27}{4} = \frac{48}{4} + \frac{27}{4} = \frac{75}{4}
   $$

Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $ y = x^3 - 3x^2 $, trục hoành và hai đường thẳng $ x = -2 $ và $ x = 3 $ là $\frac{75}{4}$.

Đáp án đúng là: C. $\frac{75}{4}$.

Câu 26.
Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sin x$, trục hoành và hai đường thẳng $x = \frac{\pi}{6}$ và $x = \frac{\pi}{3}$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định cận trên và cận dưới của tích phân.
- Cận dưới là $x = \frac{\pi}{6}$.
- Cận trên là $x = \frac{\pi}{3}$.

Bước 2: Tính tích phân của hàm số $\sin x$ từ $\frac{\pi}{6}$ đến $\frac{\pi}{3}$.
$$ S = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \sin x \, dx $$

Bước 3: Tìm nguyên hàm của $\sin x$.
$$ \int \sin x \, dx = -\cos x + C $$

Bước 4: Áp dụng công thức Newton-Leibniz để tính giá trị của tích phân.
$$ S = \left[ -\cos x \right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} $$
$$ S = -\cos \left( \frac{\pi}{3} \right) + \cos \left( \frac{\pi}{6} \right) $$

Bước 5: Thay giá trị của $\cos \left( \frac{\pi}{3} \right)$ và $\cos \left( \frac{\pi}{6} \right)$ vào.
$$ \cos \left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2} $$
$$ \cos \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

Do đó:
$$ S = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} $$
$$ S = \frac{\sqrt{3} - 1}{2} $$

Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sin x$, trục hoành và hai đường thẳng $x = \frac{\pi}{6}$ và $x = \frac{\pi}{3}$ là $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$.

Đáp án đúng là: B. $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$.

Câu 27.
Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $(P): y = f(x) = x^2 - 1$, trục tung và tiếp tuyến của (P) tại điểm $M(-1;0)$, chúng ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm $M(-1;0)$.

Đạo hàm của $f(x)$ là:
$$ f'(x) = 2x $$

Tại điểm $M(-1;0)$, giá trị đạo hàm là:
$$ f'(-1) = 2 \times (-1) = -2 $$

Phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm $M(-1;0)$ là:
$$ y - 0 = -2(x + 1) $$
$$ y = -2x - 2 $$

Bước 2: Xác định các giới hạn của tích phân.

Tiếp tuyến cắt trục tung tại điểm $(0, -2)$. Do đó, diện tích cần tính nằm giữa các đường thẳng $x = -1$, $x = 0$ và các đường cong $y = x^2 - 1$ và $y = -2x - 2$.

Bước 3: Tính diện tích hình phẳng.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường trên là:
$$ S = \int_{-1}^{0} [(-2x - 2) - (x^2 - 1)] \, dx $$
$$ S = \int_{-1}^{0} (-2x - 2 - x^2 + 1) \, dx $$
$$ S = \int_{-1}^{0} (-x^2 - 2x - 1) \, dx $$

Tính tích phân:
$$ S = \left[ -\frac{x^3}{3} - x^2 - x \right]_{-1}^{0} $$
$$ S = \left( -\frac{0^3}{3} - 0^2 - 0 \right) - \left( -\frac{(-1)^3}{3} - (-1)^2 - (-1) \right) $$
$$ S = 0 - \left( -\frac{-1}{3} - 1 + 1 \right) $$
$$ S = 0 - \left( \frac{1}{3} - 1 + 1 \right) $$
$$ S = 0 - \left( \frac{1}{3} \right) $$
$$ S = -\frac{1}{3} $$

Do diện tích là giá trị dương, ta lấy giá trị tuyệt đối:
$$ S = \frac{1}{3} $$

Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $(P): y = x^2 - 1$, trục tung và tiếp tuyến của (P) tại điểm $M(-1;0)$ là $\frac{1}{3}$.

Đáp án đúng là: C. $\frac{1}{3}$.

Câu 28.
Để tìm thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $ y = x^2 - 2x $ và trục hoành quanh trục hoành, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành:
   Ta giải phương trình $ y = 0 $:
   $$
   x^2 - 2x = 0 \implies x(x - 2) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = 2
   $$
   Vậy, giao điểm của đồ thị với trục hoành là $ x = 0 $ và $ x = 2 $.

2. Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay:
   Thể tích $ V $ của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $ y = f(x) $ và trục hoành từ $ x = a $ đến $ x = b $ quanh trục hoành là:
   $$
   V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx
   $$
   Trong trường hợp này, $ f(x) = x^2 - 2x $, $ a = 0 $, và $ b = 2 $. Do đó:
   $$
   V = \pi \int_{0}^{2} (x^2 - 2x)^2 \, dx
   $$

3. Tính tích phân:
   Ta mở rộng biểu thức trong tích phân:
   $$
   (x^2 - 2x)^2 = x^4 - 4x^3 + 4x^2
   $$
   Vậy:
   $$
   V = \pi \int_{0}^{2} (x^4 - 4x^3 + 4x^2) \, dx
   $$
   Tính từng phần tích phân:
   $$
   \int_{0}^{2} x^4 \, dx = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{2} = \frac{2^5}{5} - \frac{0^5}{5} = \frac{32}{5}
   $$
   $$
   \int_{0}^{2} 4x^3 \, dx = 4 \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2} = 4 \left( \frac{2^4}{4} - \frac{0^4}{4} \right) = 4 \times 4 = 16
   $$
   $$
   \int_{0}^{2} 4x^2 \, dx = 4 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = 4 \left( \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) = 4 \times \frac{8}{3} = \frac{32}{3}
   $$
   Kết hợp lại:
   $$
   V = \pi \left( \frac{32}{5} - 16 + \frac{32}{3} \right)
   $$
   Chuyển tất cả về cùng mẫu số:
   $$
   V = \pi \left( \frac{96}{15} - \frac{240}{15} + \frac{160}{15} \right) = \pi \left( \frac{96 - 240 + 160}{15} \right) = \pi \left( \frac{16}{15} \right) = \frac{16\pi}{15}
   $$

Vậy, thể tích của khối tròn xoay là $ \frac{16\pi}{15} $.

Đáp án đúng là: D. $ \frac{16\pi}{15} $.