trả lời câu hỏi Câu 14. Cho $f(x),~g(x)$ là hai hàm số liên tục trên $[1;2]$ thoả mãn $\int^2_1[f(x)+3g(x)]dx=9$ và,$\int^2_1[5f(x)-2g(x)]dx=11.$ Giá trị của $\int^2_1f(x)dx$ bằng,B. 2. C. 6. D. 4.,A. 3.,Câu 15. Giá trị của $\int^4_1\frac{x+1}{\sqrt x}dx$ bằng,A. 12. B. 6. $C.~\frac{20}3.$ $D.~\frac{28}3.$,Câu 16. Giá trị của $\int^{\frac\pi3}_0(2\sin x+\frac1{\cos^2x})dx$ bằng,$A.~2\sqrt3-1.$ $B.~2\sqrt3.$ $C.~2+\sqrt3.$ $D.~1+\sqrt3.$,Câu 17. Giá trị của $\int^{\frac\pi3}_{\frac\pi6}\cot^2x~dx$ bằng,$A.~\frac{2\sqrt3}3-\frac\pi3.$ $B.~\frac{\sqrt3}3-\frac\pi6.$ $C.~\frac{2\sqrt3}3-\frac\pi6.$ $D.~\frac{4\sqrt3}3-\frac\pi3.$,Câu 18. Biết rằng $\int^1_0\frac{2e^{2x}+3}{e^x}dx=\frac{m.e^2+n.e+p}e$ (với $m,n,p\in\mathbb Z).$ Khi đó $m+2n-p$ bằng,A. 2. B. 6. C. 1. D. 7.,Câu 19. Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}3x^2+2&khi~x\leq1\8x-3&khi~x1.\end{array} ight.$,Khi đó giá trị của $\int^2_{-2}f(x)dx$ bằng,A. 0. B. 24. C. -12. D. -6.,Câu 20. Giá trị của $\int^4_1(|x-2|+|x-3|)dx$ bằng,A. 3. B. 6. C. 5. D. 7.,C. Ứng dụng hình học của tích phâm,Câu 21. Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[1;3].$ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi,đồ thị hàm số $y=f(x),$ trục hoành và các đường thẳng $x=1,~x=3$ là,$A.~S=\int^3_1|f(x)|dx.$ $B.~S=\int^3_1f(x)dx.$ $C.~S=-\int^3_1f(x)dx.$ $D.~S=\int^1_3|f(x)|dx.$,Câu 22. Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị,hàm số $y=x+1,$ trục hoành và hai đường thẳng $x=-1,~x=2$ quanh trục hoành là,$A.~V=\int^2_{-1}(x+1)^2dx.$ $B.~V=\pi\int^2_{-1}(x+1)^2dx.$,$C.~V=\int^2_{-1}|x+1|dx.$ $D.~V=\pi\int^2_{-1}|x+1|dx.$

Question

trả lời câu hỏi Câu 14. Cho $f(x),~g(x)$ là hai hàm số liên tục trên $[1;2]$ thoả mãn $\int^2_1[f(x)+3g(x)]dx=9$ và,$\int^2_1[5f(x)-2g(x)]dx=11.$ Giá trị của $\int^2_1f(x)dx$ bằng,B. 2. C. 6. D. 4.,A. 3.,Câu 15. Giá trị của $\int^4_1\frac{x+1}{\sqrt x}dx$ bằng,A. 12. B. 6. $C.~\frac{20}3.$ $D.~\frac{28}3.$,Câu 16. Giá trị của $\int^{\frac\pi3}_0(2\sin x+\frac1{\cos^2x})dx$ bằng,$A.~2\sqrt3-1.$ $B.~2\sqrt3.$ $C.~2+\sqrt3.$ $D.~1+\sqrt3.$,Câu 17. Giá trị của $\int^{\frac\pi3}_{\frac\pi6}\cot^2x~dx$ bằng,$A.~\frac{2\sqrt3}3-\frac\pi3.$ $B.~\frac{\sqrt3}3-\frac\pi6.$ $C.~\frac{2\sqrt3}3-\frac\pi6.$ $D.~\frac{4\sqrt3}3-\frac\pi3.$,Câu 18. Biết rằng $\int^1_0\frac{2e^{2x}+3}{e^x}dx=\frac{m.e^2+n.e+p}e$ (với $m,n,p\in\mathbb Z).$ Khi đó $m+2n-p$ bằng,A. 2. B. 6. C. 1. D. 7.,Câu 19. Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}3x^2+2&khi~x\leq1\8x-3&khi~x>1.\end{array}ight.$,Khi đó giá trị của $\int^2_{-2}f(x)dx$ bằng,A. 0. B. 24. C. -12. D. -6.,Câu 20. Giá trị của $\int^4_1(|x-2|+|x-3|)dx$ bằng,A. 3. B. 6. C. 5. D. 7.,C. Ứng dụng hình học của tích phâm,Câu 21. Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[1;3].$ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi,đồ thị hàm số $y=f(x),$ trục hoành và các đường thẳng $x=1,~x=3$ là,$A.~S=\int^3_1|f(x)|dx.$ $B.~S=\int^3_1f(x)dx.$ $C.~S=-\int^3_1f(x)dx.$ $D.~S=\int^1_3|f(x)|dx.$,Câu 22. Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị,hàm số $y=x+1,$ trục hoành và hai đường thẳng $x=-1,~x=2$ quanh trục hoành là,$A.~V=\int^2_{-1}(x+1)^2dx.$ $B.~V=\pi\int^2_{-1}(x+1)^2dx.$,$C.~V=\int^2_{-1}|x+1|dx.$ $D.~V=\pi\int^2_{-1}|x+1|dx.$

Accepted Answer

Câu 14.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp giải hệ phương trình tích phân.

Bước 1: Xác định các tích phân cần thiết
Gọi:
$$ I_1 = \int_{1}^{2} f(x) \, dx $$
$$ I_2 = \int_{1}^{2} g(x) \, dx $$

Bước 2: Viết lại các tích phân đã cho dưới dạng hệ phương trình
Theo đề bài, ta có:
$$ \int_{1}^{2} [f(x) + 3g(x)] \, dx = 9 $$
$$ \int_{1}^{2} [5f(x) - 2g(x)] \, dx = 11 $$

Ta có thể viết lại dưới dạng hệ phương trình:
$$ I_1 + 3I_2 = 9 \quad \text{(1)} $$
$$ 5I_1 - 2I_2 = 11 \quad \text{(2)} $$

Bước 3: Giải hệ phương trình
Nhân phương trình (1) với 2 và nhân phương trình (2) với 3 để dễ dàng trừ hai phương trình:
$$ 2I_1 + 6I_2 = 18 \quad \text{(3)} $$
$$ 15I_1 - 6I_2 = 33 \quad \text{(4)} $$

Cộng phương trình (3) và (4):
$$ 2I_1 + 6I_2 + 15I_1 - 6I_2 = 18 + 33 $$
$$ 17I_1 = 51 $$
$$ I_1 = \frac{51}{17} = 3 $$

Vậy giá trị của $\int_{1}^{2} f(x) \, dx$ là 3.

Đáp án đúng là: A. 3.

Câu 15.
Để tính giá trị của $\int^4_1\frac{x+1}{\sqrt x}dx$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tách phân thức trong tích phân:
$$
\int^4_1\frac{x+1}{\sqrt x}dx = \int^4_1 \left( \frac{x}{\sqrt x} + \frac{1}{\sqrt x} \right) dx = \int^4_1 \left( \sqrt x + \frac{1}{\sqrt x} \right) dx
$$

Bước 2: Tính từng phần của tích phân:
$$
\int^4_1 \sqrt x \, dx + \int^4_1 \frac{1}{\sqrt x} \, dx
$$

Bước 3: Tính $\int^4_1 \sqrt x \, dx$:
$$
\int \sqrt x \, dx = \int x^{1/2} \, dx = \frac{x^{3/2}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}x^{3/2}
$$
Do đó,
$$
\int^4_1 \sqrt x \, dx = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} \right]^4_1 = \frac{2}{3}(4^{3/2}) - \frac{2}{3}(1^{3/2}) = \frac{2}{3}(8) - \frac{2}{3}(1) = \frac{16}{3} - \frac{2}{3} = \frac{14}{3}
$$

Bước 4: Tính $\int^4_1 \frac{1}{\sqrt x} \, dx$:
$$
\int \frac{1}{\sqrt x} \, dx = \int x^{-1/2} \, dx = \frac{x^{1/2}}{\frac{1}{2}} = 2x^{1/2}
$$
Do đó,
$$
\int^4_1 \frac{1}{\sqrt x} \, dx = \left[ 2x^{1/2} \right]^4_1 = 2(4^{1/2}) - 2(1^{1/2}) = 2(2) - 2(1) = 4 - 2 = 2
$$

Bước 5: Cộng kết quả của hai tích phân:
$$
\int^4_1 \left( \sqrt x + \frac{1}{\sqrt x} \right) dx = \frac{14}{3} + 2 = \frac{14}{3} + \frac{6}{3} = \frac{20}{3}
$$

Vậy giá trị của $\int^4_1\frac{x+1}{\sqrt x}dx$ là $\frac{20}{3}$.

Đáp án đúng là: C. $\frac{20}{3}$.

Câu 16.
Để tính giá trị của $\int^{\frac\pi3}_0(2\sin x+\frac1{\cos^2x})dx$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính nguyên hàm của mỗi thành phần trong tích phân:
- Nguyên hàm của $2\sin x$ là $-2\cos x$.
- Nguyên hàm của $\frac{1}{\cos^2 x}$ là $\tan x$.

Bước 2: Viết lại tích phân dưới dạng tổng của hai nguyên hàm:
$$
\int^{\frac\pi3}_0(2\sin x+\frac1{\cos^2x})dx = \left[-2\cos x + \tan x\right]^{\frac\pi3}_0
$$

Bước 3: Thay cận trên và cận dưới vào biểu thức nguyên hàm:
$$
\left[-2\cos x + \tan x\right]^{\frac\pi3}_0 = \left(-2\cos \frac{\pi}{3} + \tan \frac{\pi}{3}\right) - \left(-2\cos 0 + \tan 0\right)
$$

Bước 4: Tính giá trị của các hàm lượng giác tại các điểm:
- $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$
- $\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$
- $\cos 0 = 1$
- $\tan 0 = 0$

Bước 5: Thay các giá trị này vào biểu thức:
$$
= \left(-2 \cdot \frac{1}{2} + \sqrt{3}\right) - \left(-2 \cdot 1 + 0\right)
$$
$$
= (-1 + \sqrt{3}) - (-2)
$$
$$
= -1 + \sqrt{3} + 2
$$
$$
= 1 + \sqrt{3}
$$

Vậy giá trị của $\int^{\frac\pi3}_0(2\sin x+\frac1{\cos^2x})dx$ là $1 + \sqrt{3}$.

Đáp án đúng là: D. $1 + \sqrt{3}$.

Câu 17.
Để tính giá trị của $\int^{\frac\pi3}_{\frac\pi6}\cot^2x~dx$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định nguyên hàm của $\cot^2x$.
Ta biết rằng $\cot^2x = \csc^2x - 1$. Do đó:
$$
\int \cot^2x~dx = \int (\csc^2x - 1)~dx = -\cot x - x + C
$$

Bước 2: Áp dụng công thức tính tích phân xác định.
$$
\int^{\frac\pi3}_{\frac\pi6}\cot^2x~dx = \left[-\cot x - x\right]^{\frac\pi3}_{\frac\pi6}
$$

Bước 3: Tính giá trị tại các cận trên và cận dưới.
$$
\left[-\cot x - x\right]^{\frac\pi3}_{\frac\pi6} = \left(-\cot \frac\pi3 - \frac\pi3\right) - \left(-\cot \frac\pi6 - \frac\pi6\right)
$$
$$
= \left(-\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac\pi3\right) - \left(-\sqrt{3} - \frac\pi6\right)
$$
$$
= -\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac\pi3 + \sqrt{3} + \frac\pi6
$$
$$
= \sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac\pi3 + \frac\pi6
$$
$$
= \frac{3}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac\pi3 + \frac\pi6
$$
$$
= \frac{2}{\sqrt{3}} - \frac\pi3 + \frac\pi6
$$
$$
= \frac{2\sqrt{3}}{3} - \frac\pi3 + \frac\pi6
$$
$$
= \frac{2\sqrt{3}}{3} - \frac{2\pi}{6} + \frac\pi6
$$
$$
= \frac{2\sqrt{3}}{3} - \frac\pi6
$$

Vậy giá trị của $\int^{\frac\pi3}_{\frac\pi6}\cot^2x~dx$ là $\frac{2\sqrt{3}}{3} - \frac\pi6$.

Đáp án đúng là: C. $\frac{2\sqrt{3}}{3} - \frac\pi6$.

Câu 18.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính tích phân $\int^1_0\frac{2e^{2x}+3}{e^x}dx$.

Bước 2: Rút gọn biểu thức trong tích phân.

Bước 3: Tính giá trị của tích phân từ 0 đến 1.

Bước 4: So sánh kết quả với biểu thức $\frac{m.e^2+n.e+p}{e}$ để tìm giá trị của m, n và p.

Bước 5: Tính giá trị của $m + 2n - p$.

Bây giờ, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một.

Bước 1: Tính tích phân $\int^1_0\frac{2e^{2x}+3}{e^x}dx$.

$\int^1_0\frac{2e^{2x}+3}{e^x}dx = \int^1_0 \left( \frac{2e^{2x}}{e^x} + \frac{3}{e^x} \right) dx$

Bước 2: Rút gọn biểu thức trong tích phân.

$\int^1_0 \left( \frac{2e^{2x}}{e^x} + \frac{3}{e^x} \right) dx = \int^1_0 \left( 2e^x + 3e^{-x} \right) dx$

Bước 3: Tính giá trị của tích phân từ 0 đến 1.

$\int^1_0 \left( 2e^x + 3e^{-x} \right) dx = \left[ 2e^x - 3e^{-x} \right]^1_0$

= $\left( 2e^1 - 3e^{-1} \right) - \left( 2e^0 - 3e^0 \right)$

= $\left( 2e - \frac{3}{e} \right) - \left( 2 - 3 \right)$

= $2e - \frac{3}{e} + 1$

Bước 4: So sánh kết quả với biểu thức $\frac{m.e^2+n.e+p}{e}$ để tìm giá trị của m, n và p.

Ta có:

$2e - \frac{3}{e} + 1 = \frac{m.e^2+n.e+p}{e}$

Nhân cả hai vế với e:

$2e^2 - 3 + e = m.e^2 + n.e + p$

So sánh hệ số tương ứng:

$m = 2$, $n = 1$, $p = -3$

Bước 5: Tính giá trị của $m + 2n - p$.

$m + 2n - p = 2 + 2 \times 1 - (-3) = 2 + 2 + 3 = 7$

Vậy đáp án đúng là D. 7.

Câu 19.
Để tính giá trị của $\int^2_{-2}f(x)dx$, ta chia tích phân thành hai phần dựa trên miền xác định của hàm số $f(x)$:

$$\int^2_{-2}f(x)dx = \int^1_{-2}(3x^2 + 2)dx + \int^2_1(8x - 3)dx$$

Bây giờ, ta sẽ tính từng phần tích phân này.

1. Tính $\int^1_{-2}(3x^2 + 2)dx$:

$$\int^1_{-2}(3x^2 + 2)dx = \left[ x^3 + 2x \right]^1_{-2}$$
$$= \left( 1^3 + 2 \cdot 1 \right) - \left( (-2)^3 + 2 \cdot (-2) \right)$$
$$= (1 + 2) - (-8 - 4)$$
$$= 3 - (-12)$$
$$= 3 + 12$$
$$= 15$$

2. Tính $\int^2_1(8x - 3)dx$:

$$\int^2_1(8x - 3)dx = \left[ 4x^2 - 3x \right]^2_1$$
$$= \left( 4 \cdot 2^2 - 3 \cdot 2 \right) - \left( 4 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1 \right)$$
$$= (4 \cdot 4 - 6) - (4 - 3)$$
$$= (16 - 6) - (4 - 3)$$
$$= 10 - 1$$
$$= 9$$

Cuối cùng, cộng hai kết quả lại:

$$\int^2_{-2}f(x)dx = 15 + 9 = 24$$

Vậy giá trị của $\int^2_{-2}f(x)dx$ là 24.

Đáp án đúng là: B. 24.

Câu 20.
Để tính giá trị của $\int^4_1(|x-2|+|x-3|)dx$, ta sẽ chia đoạn tích phân thành các đoạn nhỏ hơn dựa trên các điểm mà biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối thay đổi dấu.

1. Xét đoạn từ 1 đến 2:
   - Trên đoạn này, $x-2 < 0$ và $x-3 < 0$, do đó $|x-2| = -(x-2)$ và $|x-3| = -(x-3)$.
   - Vậy $\int^2_1(|x-2|+|x-3|)dx = \int^2_1(-(x-2)-(x-3))dx = \int^2_1(-x + 2 - x + 3)dx = \int^2_1(-2x + 5)dx$.
   - Tính tích phân: $\int^2_1(-2x + 5)dx = [-x^2 + 5x]^2_1 = (-2^2 + 5 \cdot 2) - (-1^2 + 5 \cdot 1) = (-4 + 10) - (-1 + 5) = 6 - 4 = 2$.

2. Xét đoạn từ 2 đến 3:
   - Trên đoạn này, $x-2 \geq 0$ và $x-3 < 0$, do đó $|x-2| = x-2$ và $|x-3| = -(x-3)$.
   - Vậy $\int^3_2(|x-2|+|x-3|)dx = \int^3_2((x-2)-(x-3))dx = \int^3_2(x-2-x+3)dx = \int^3_2(1)dx$.
   - Tính tích phân: $\int^3_2(1)dx = [x]^3_2 = 3 - 2 = 1$.

3. Xét đoạn từ 3 đến 4:
   - Trên đoạn này, $x-2 > 0$ và $x-3 \geq 0$, do đó $|x-2| = x-2$ và $|x-3| = x-3$.
   - Vậy $\int^4_3(|x-2|+|x-3|)dx = \int^4_3((x-2)+(x-3))dx = \int^4_3(2x-5)dx$.
   - Tính tích phân: $\int^4_3(2x-5)dx = [x^2 - 5x]^4_3 = (4^2 - 5 \cdot 4) - (3^2 - 5 \cdot 3) = (16 - 20) - (9 - 15) = -4 + 6 = 2$.

Cuối cùng, cộng các kết quả lại:
$$
\int^4_1(|x-2|+|x-3|)dx = 2 + 1 + 2 = 5.
$$

Vậy giá trị của $\int^4_1(|x-2|+|x-3|)dx$ là 5.

Đáp án đúng là: C. 5.

Câu 21.
Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $ y = f(x) $, trục hoành và các đường thẳng $ x = 1 $ và $ x = 3 $, ta cần sử dụng công thức tính diện tích dưới đồ thị hàm số.

Công thức tính diện tích $ S $ giữa đồ thị hàm số $ y = f(x) $, trục hoành và hai đường thẳng $ x = a $ và $ x = b $ là:
$$ S = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx $$

Trong trường hợp này, $ a = 1 $ và $ b = 3 $. Do đó, diện tích $ S $ sẽ là:
$$ S = \int_{1}^{3} |f(x)| \, dx $$

Vậy đáp án đúng là:
A. $ S = \int_{1}^{3} |f(x)| \, dx $

Đáp án: A. $ S = \int_{1}^{3} |f(x)| \, dx $

Câu 22.
Để tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $ y = x + 1 $, trục hoành và hai đường thẳng $ x = -1 $ và $ x = 2 $ quanh trục hoành, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định diện tích bề mặt quay:
   - Đồ thị hàm số $ y = x + 1 $ cắt trục hoành tại điểm $ x = -1 $. 
   - Từ $ x = -1 $ đến $ x = 0 $, hàm số $ y = x + 1 $ có giá trị âm, nhưng khi quay quanh trục hoành, ta sẽ lấy giá trị tuyệt đối của $ y $ để tính diện tích bề mặt quay.
   - Từ $ x = 0 $ đến $ x = 2 $, hàm số $ y = x + 1 $ có giá trị dương.

2. Áp dụng công thức thể tích khối tròn xoay:
   - Công thức thể tích khối tròn xoay khi quay một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $ y = f(x) $, trục hoành và hai đường thẳng $ x = a $ và $ x = b $ quanh trục hoành là:
     $$
     V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dx
     $$
   - Trong trường hợp này, hàm số $ f(x) = |x + 1| $.

3. Tính thể tích khối tròn xoay:
   - Ta có thể chia tích phân thành hai phần từ $ x = -1 $ đến $ x = 0 $ và từ $ x = 0 $ đến $ x = 2 $:
     $$
     V = \pi \left( \int_{-1}^{0} (-(x + 1))^2 \, dx + \int_{0}^{2} (x + 1)^2 \, dx \right)
     $$
   - Vì $ -(x + 1) = |x + 1| $ khi $ x $ từ $ -1 $ đến $ 0 $, và $ x + 1 = |x + 1| $ khi $ x $ từ $ 0 $ đến $ 2 $, ta có thể viết lại dưới dạng:
     $$
     V = \pi \int_{-1}^{2} (x + 1)^2 \, dx
     $$

Do đó, đáp án đúng là:
B. $ V = \pi \int_{-1}^{2} (x + 1)^2 \, dx $

Đáp án: B. $ V = \pi \int_{-1}^{2} (x + 1)^2 \, dx $