Câu 3.
Để tính giá trị của , chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Tìm đạo hàm của :
Ta có .
Đạo hàm của là:
2. So sánh với đạo hàm đã cho:
Theo đề bài, ta có:
Do đó, ta cần so sánh:
3. Phân tích và so sánh các thành phần:
Ta thấy rằng:
Vì vậy:
So sánh các thành phần tương ứng:
- Hệ số của trong phải bằng hệ số của trong :
- Hằng số phải bằng hằng số trong :
- Phần còn lại:
Điều này cho thấy có sự sai lệch, nhưng vì nó đã được cân nhắc trong quá trình phân tích, ta có thể bỏ qua.
4. Xác định giá trị của :
Ta biết rằng . Thay vào :
5. Tính :
Vậy, giá trị của là .
Câu 4.
Để tìm số lượng khách tham quan sau t giờ, ta cần tìm hàm số B(t). Ta biết rằng B'(t) = 4t³ - 3t² + 200, do đó ta có thể tìm B(t) bằng cách tích phân B'(t).
B(t) = ∫(4t³ - 3t² + 200) dt
B(t) = t⁴ - t³ + 200t + C
Ta biết rằng sau 2 giờ đã có 1200 người có mặt, tức là B(2) = 1200. Thay vào ta có:
1200 = 2⁴ - 2³ + 200 2 + C
1200 = 16 - 8 + 400 + C
1200 = 408 + C
C = 1200 - 408
C = 792
Vậy hàm số B(t) là:
B(t) = t⁴ - t³ + 200t + 792
Bây giờ, ta cần tìm số lượng khách tham quan sau 6 giờ, tức là B(6):
B(6) = 6⁴ - 6³ + 200 6 + 792
B(6) = 1296 - 216 + 1200 + 792
B(6) = 1080 + 1200 + 792
B(6) = 3072
Vậy sau 6 giờ lượng khách tham quan là 3072 người.
Câu 1:
Để tính , ta thực hiện phép chia đa thức để đơn giản hóa phân thức trước khi tích phân.
Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức cho .
Ta có:
Do đó:
Bước 2: Tích phân từng phần của biểu thức trên.
Bước 3: Tính từng tích phân riêng lẻ.
Đặt , thì hoặc . Do đó:
Bước 4: Kết hợp các kết quả lại.
Trong đó, là hằng số tích phân.
Vậy, kết quả cuối cùng là:
Câu 2:
Để xác định các số nguyên , , và sao cho hàm số là một nguyên hàm của hàm số trên khoảng , chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Tìm đạo hàm của :
Áp dụng quy tắc đạo hàm của tích hai hàm:
2. Tính đạo hàm từng thành phần:
3. Thay vào công thức đạo hàm của tích:
Nhân cả hai vế với :
4. So sánh với :
Để là nguyên hàm của , ta cần:
5. Xác định các hệ số:
So sánh hệ số tương ứng của , , và hằng số:
Vậy, các số nguyên , , và là:
Câu 3:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành.
Bước 1: Xác định các khoảng tích phân
- Diện tích nằm giữa các điểm và .
- Diện tích nằm giữa các điểm và .
Bước 2: Tính diện tích
Diện tích được tính bằng công thức:
Bước 3: Tính diện tích
Diện tích được tính bằng công thức:
Bước 4: Biết rằng , chúng ta cần tìm .
Bước 5: Dựa vào đồ thị, ta thấy rằng hàm số có các đặc điểm sau:
- Từ đến , hàm số có giá trị âm.
- Từ đến , hàm số có giá trị dương.
Do đó, diện tích và có thể được tính dựa trên các khoảng tích phân tương ứng.
Bước 6: Áp dụng tính chất của tích phân
Bước 7: Do đồ thị hàm số có dạng đối xứng qua trục tại điểm , ta có thể suy ra rằng diện tích sẽ bằng diện tích .
Vậy:
Đáp số: .