Giúp mình vs ạo

Câu 1. Để tính dung tích của chậu nước, ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân để tính thể tích của vật thể quay xung quanh trục. Chậu nước có hình dạng như một phần của một hình nón cụt, và mặt cắt của nó là một hình tròn có bán kính thay đổi theo \(x\). Bước 1: Xác định bán kính của mặt cắt. Theo đề bài, bán kính của mặt cắt là \(R(x) = 10 + \sqrt{x}\). Bước 2: Xác định giới hạn tích phân. Chậu nước có chiều cao từ \(x = 0\) đến \(x = 16\). Bước 3: Viết biểu thức tích phân để tính thể tích. Thể tích \(V\) của vật thể quay xung quanh trục được tính bằng công thức: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [R(x)]^2 \, dx \] Trong trường hợp này: \[ V = \pi \int_{0}^{16} (10 + \sqrt{x})^2 \, dx \] Bước 4: Thực hiện phép tích phân. Ta mở rộng biểu thức trong tích phân: \[ (10 + \sqrt{x})^2 = 100 + 20\sqrt{x} + x \] Do đó: \[ V = \pi \int_{0}^{16} (100 + 20\sqrt{x} + x) \, dx \] Tích phân từng thành phần: \[ \int_{0}^{16} 100 \, dx = 100x \Big|_{0}^{16} = 100 \times 16 - 100 \times 0 = 1600 \] \[ \int_{0}^{16} 20\sqrt{x} \, dx = 20 \int_{0}^{16} x^{1/2} \, dx = 20 \left( \frac{2}{3} x^{3/2} \right) \Big|_{0}^{16} = 20 \left( \frac{2}{3} \times 16^{3/2} \right) = 20 \left( \frac{2}{3} \times 64 \right) = 20 \times \frac{128}{3} = \frac{2560}{3} \] \[ \int_{0}^{16} x \, dx = \frac{1}{2} x^2 \Big|_{0}^{16} = \frac{1}{2} \times 16^2 - \frac{1}{2} \times 0^2 = \frac{1}{2} \times 256 = 128 \] Bước 5: Cộng các kết quả lại: \[ V = \pi \left( 1600 + \frac{2560}{3} + 128 \right) \] \[ V = \pi \left( 1600 + 128 + \frac{2560}{3} \right) \] \[ V = \pi \left( 1728 + \frac{2560}{3} \right) \] \[ V = \pi \left( \frac{5184}{3} + \frac{2560}{3} \right) \] \[ V = \pi \left( \frac{7744}{3} \right) \] \[ V = \frac{7744\pi}{3} \] Vậy dung tích của chậu nước là: \[ V = \frac{7744\pi}{3} \, \text{cm}^3 \] Câu 2. Để tính thể tích của lều mái vòm, ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân để tính thể tích của khối tròn xoay. Lều mái vòm có hình dạng giống như một nửa của một hình cầu, và khi cắt lều bằng mặt phẳng song song với mặt đáy và cách mặt đáy một khoảng \( x \) mét, ta nhận được một hình vuông có cạnh \( \sqrt{9 - x^2} \) mét. Bước 1: Xác định diện tích của mặt cắt ngang. Diện tích của mặt cắt ngang là: \[ A(x) = (\sqrt{9 - x^2})^2 = 9 - x^2 \] Bước 2: Tính thể tích của lều bằng phương pháp tích phân. Thể tích của lều là tích phân của diện tích mặt cắt ngang từ \( x = 0 \) đến \( x = 3 \): \[ V = \int_{0}^{3} A(x) \, dx = \int_{0}^{3} (9 - x^2) \, dx \] Bước 3: Thực hiện tích phân. \[ V = \int_{0}^{3} (9 - x^2) \, dx = \left[ 9x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{3} \] \[ V = \left( 9 \cdot 3 - \frac{3^3}{3} \right) - \left( 9 \cdot 0 - \frac{0^3}{3} \right) \] \[ V = \left( 27 - 9 \right) - 0 \] \[ V = 18 \] Vậy thể tích của lều là: \[ \boxed{18 \text{ m}^3} \] Câu 3. Khi quay hình thang OABC quanh trục Ox, ta sẽ tạo thành một khối tròn xoay gồm hai phần: một hình trụ và một hình nón. 1. Tính thể tích của hình trụ: - Hình trụ có bán kính đáy \( r = 1 \) (do điểm A có tọa độ (0,1)) và chiều cao \( h = 2 \) (do đoạn thẳng OA có độ dài 2 đơn vị trên trục Ox). - Thể tích của hình trụ được tính theo công thức: \[ V_{\text{trụ}} = \pi r^2 h = \pi \cdot 1^2 \cdot 2 = 2\pi \] 2. Tính thể tích của hình nón: - Hình nón có bán kính đáy \( r = 1 \) (do điểm B có tọa độ (2,2)) và chiều cao \( h = 2 \) (do đoạn thẳng BC có độ dài 2 đơn vị trên trục Ox). - Thể tích của hình nón được tính theo công thức: \[ V_{\text{nón}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 1^2 \cdot 2 = \frac{2\pi}{3} \] 3. Tính tổng thể tích của khối tròn xoay: - Tổng thể tích của khối tròn xoay là tổng của thể tích hình trụ và thể tích hình nón: \[ V_{\text{tổng}} = V_{\text{trụ}} + V_{\text{nón}} = 2\pi + \frac{2\pi}{3} = \frac{6\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = \frac{8\pi}{3} \] Vậy thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình thang OABC quanh trục Ox là: \[ \boxed{\frac{8\pi}{3}} \] Câu 4. Để tính tổng chi phí để sơn lại toàn bộ mặt ngoài của bức tường, chúng ta cần tính diện tích của bức tường trừ đi diện tích của cổng hình parabol, sau đó nhân với chi phí sơn mỗi mét vuông. Bước 1: Tính diện tích của bức tường hình chữ nhật. Diện tích của bức tường hình chữ nhật là: \[ S_{\text{chữ nhật}} = 10 \times 4 = 40 \, m^2 \] Bước 2: Xác định phương trình của parabol. Cổng hình parabol có đỉnh ở điểm (0, 0) và đi qua điểm (2, 4). Phương trình của parabol có dạng: \[ y = ax^2 \] Thay tọa độ điểm (2, 4) vào phương trình: \[ 4 = a \cdot 2^2 \] \[ 4 = 4a \] \[ a = 1 \] Vậy phương trình của parabol là: \[ y = x^2 \] Bước 3: Tính diện tích của hình parabol. Diện tích của hình parabol từ x = -2 đến x = 2 là: \[ S_{\text{parabol}} = 2 \int_{0}^{2} x^2 \, dx \] Tính tích phân: \[ \int_{0}^{2} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3} \] Vậy diện tích của hình parabol là: \[ S_{\text{parabol}} = 2 \times \frac{8}{3} = \frac{16}{3} \, m^2 \] Bước 4: Tính diện tích cần sơn. Diện tích cần sơn là diện tích của bức tường trừ đi diện tích của hình parabol: \[ S_{\text{can son}} = 40 - \frac{16}{3} = \frac{120}{3} - \frac{16}{3} = \frac{104}{3} \, m^2 \] Bước 5: Tính tổng chi phí để sơn lại toàn bộ mặt ngoài của bức tường. Chi phí để sơn bức tường là 15 000 đồng/m². Vậy tổng chi phí là: \[ \text{Tổng chi phí} = \frac{104}{3} \times 15000 = \frac{104 \times 15000}{3} = 520000 \, \text{đồng} \] Đáp số: 520 000 đồng. Câu 5. Để tính diện tích kính cần lắp cho cửa vòm lấy ánh sáng có hình dạng parabol, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình của parabol: - Parabol có đỉnh tại I(0, 0) và đi qua hai điểm A(-2, 4) và B(2, 4). - Phương trình tổng quát của parabol có đỉnh tại gốc tọa độ là \( y = ax^2 \). - Thay tọa độ của điểm A vào phương trình: \( 4 = a(-2)^2 \Rightarrow 4 = 4a \Rightarrow a = 1 \). - Vậy phương trình của parabol là \( y = x^2 \). 2. Tính diện tích dưới parabol từ x = -2 đến x = 2: - Diện tích S dưới parabol từ x = -2 đến x = 2 được tính bằng tích phân: \[ S = 2 \int_{0}^{2} x^2 \, dx \] - Tính tích phân: \[ \int_{0}^{2} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3} \] - Vậy diện tích S là: \[ S = 2 \times \frac{8}{3} = \frac{16}{3} \] 3. Kết luận: - Diện tích kính cần lắp là \(\frac{16}{3}\) đơn vị diện tích. Đáp số: \(\frac{16}{3}\) đơn vị diện tích.