Cho hai đa thức P(x) và Q(x) có bậc khác 0 và có hệ số cao nhất đều bằng 1, thỏa mãn P(Q(x)) = P(x) x Q(x) ∀ x. Tính P(2024) - Q(2023)

Xét P(x) = x^n + a_(n-1)x^(n-1) + ... + a_0 và Q(x) = x^m + b_(m-1)x^(m-1) + ... + b_0, với n, m > 0. P(Q(x)) = (x^m + b_(m-1)x^(m-1) + ... + b_0)^n + a_(n-1)(x^m + b_(m-1)x^(m-1) + ... + b_0)^(n-1) + ... + a_0 P(x) x Q(x) = (x^n + a_(n-1)x^(n-1) + ... + a_0) x (x^m + b_(m-1)x^(m-1) + ... + b_0) So sánh hệ số của x^(n+m) ở cả hai vế, ta có: 1 = 1 x 1 Do đó, n + m = n + m, điều này luôn đúng. Xét hệ số của x^(n+m-1) ở cả hai vế, ta có: nb_(m-1) = a_(n-1) + b_(m-1) Vì P(x) và Q(x) có bậc khác 0, nên n ≥ 1 và m ≥ 1. Ta xét trường hợp n = 1 hoặc m = 1. Nếu n = 1, ta có P(x) = x + a_0. Thay vào phương trình ban đầu, ta có: Q(x) + a_0 = (x + a_0) x Q(x) Q(x) + a_0 = xQ(x) + a_0Q(x) Q(x) - xQ(x) = a_0Q(x) - a_0 Q(x)(1 - x) = a_0(Q(x) - 1) Vì Q(x) có bậc khác 0, nên Q(x) - 1 ≠ 0. Do đó, 1 - x = 0, suy ra x = 1. Thay x = 1 vào phương trình, ta có: Q(1) = a_0(Q(1) - 1) Q(1) = a_0Q(1) - a_0 Q(1) - a_0Q(1) = -a_0 Q(1)(1 - a_0) = -a_0 Vì Q(x) có bậc khác 0, nên Q(1) ≠ 0. Do đó, 1 - a_0 = 0, suy ra a_0 = 1. Vậy P(x) = x + 1 và Q(x) = x. Tương tự, nếu m = 1, ta cũng có P(x) = x + 1 và Q(x) = x. Cuối cùng, ta tính P(2024) - Q(2023): P(2024) - Q(2023) = (2024 + 1) - 2023 = 2025 - 2023 = 2 Đáp số: 2