giải câu hỏi

Câu 8. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 2025^x \), chúng ta sẽ sử dụng công thức nguyên hàm của hàm mũ \( a^x \). Công thức nguyên hàm của hàm mũ \( a^x \) là: \[ \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \] Trong đó, \( a \) là hằng số dương khác 1 và \( \ln a \) là lôgarit tự nhiên của \( a \). Áp dụng công thức này vào hàm số \( f(x) = 2025^x \): \[ \int 2025^x \, dx = \frac{2025^x}{\ln 2025} + C \] Do đó, nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 2025^x \) là: \[ \frac{2025^x}{\ln 2025} + C \] Vậy đáp án đúng là: D. \( \frac{2025^x}{\ln 2025} + C \) Đáp án: D. \( \frac{2025^x}{\ln 2025} + C \) Câu 9. Để tìm đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\frac{2x^2-3x+2}{x-1}$, ta thực hiện phép chia đa thức như sau: \[ \begin{array}{r|rr} & 2x + 1 \\ \hline x - 1 & 2x^2 - 3x + 2 \\ & -(2x^2 - 2x) \\ \hline & -x + 2 \\ & -(-x + 1) \\ \hline & 1 \\ \end{array} \] Từ phép chia trên, ta có: \[ \frac{2x^2 - 3x + 2}{x - 1} = 2x + 1 + \frac{1}{x - 1} \] Khi $x$ tiến đến vô cùng ($x \to \pm \infty$), phần $\frac{1}{x - 1}$ sẽ tiến đến 0. Do đó, đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là: \[ y = 2x + 1 \] Vậy đáp án đúng là: C. $y = 2x + 1$. Câu 10. Để xác định khoảng đồng biến của hàm số $y = f(x)$, ta cần quan sát đồ thị của hàm số và xác định các khoảng mà trên đó đồ thị tăng dần từ trái sang phải. Trên đồ thị, ta thấy: - Từ $-\infty$ đến $x = -2$, đồ thị giảm dần. - Từ $x = -2$ đến $x = 2$, đồ thị tăng dần. - Từ $x = 2$ đến $+\infty$, đồ thị giảm dần. Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng $(-2; 2)$. Vậy đáp án đúng là: B. $(-2; 2)$. Câu 11. Để tính $\int^4_{-1}[4-3f(x)]dx$, ta sẽ sử dụng tính chất tuyến tính của tích phân. Bước 1: Tính $\int^4_{-1}4\,dx$ \[ \int^4_{-1}4\,dx = 4 \cdot \int^4_{-1}1\,dx = 4 \cdot [x]^4_{-1} = 4 \cdot (4 - (-1)) = 4 \cdot 5 = 20 \] Bước 2: Tính $\int^4_{-1}3f(x)\,dx$ \[ \int^4_{-1}3f(x)\,dx = 3 \cdot \int^4_{-1}f(x)\,dx = 3 \cdot 2 = 6 \] Bước 3: Kết hợp hai kết quả trên để tính $\int^4_{-1}[4-3f(x)]dx$ \[ \int^4_{-1}[4-3f(x)]dx = \int^4_{-1}4\,dx - \int^4_{-1}3f(x)\,dx = 20 - 6 = 14 \] Vậy đáp án đúng là: A. 14 Đáp số: A. 14 Câu 12. Để tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính trung bình cộng của mẫu số liệu. 2. Tính phương sai của mẫu số liệu. 3. Tính độ lệch chuẩn từ phương sai. Bước 1: Tính trung bình cộng Trung bình cộng \( \bar{x} \) được tính theo công thức: \[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i x_i}{\sum_{i=1}^{k} f_i} \] Trong đó: - \( f_i \) là tần số của nhóm thứ \( i \). - \( x_i \) là giá trị trung tâm của nhóm thứ \( i \). Ta tính giá trị trung tâm của mỗi nhóm: - Nhóm (5; 11): Giá trị trung tâm \( x_1 = \frac{5 + 11}{2} = 8 \) - Nhóm [11; 17): Giá trị trung tâm \( x_2 = \frac{11 + 17}{2} = 14 \) - Nhóm [17; 23): Giá trị trung tâm \( x_3 = \frac{17 + 23}{2} = 20 \) - Nhóm [23; 29): Giá trị trung tâm \( x_4 = \frac{23 + 29}{2} = 26 \) - Nhóm [29; 35): Giá trị trung tâm \( x_5 = \frac{29 + 35}{2} = 32 \) Bây giờ, ta tính trung bình cộng: \[ \bar{x} = \frac{(15 \times 8) + (14 \times 14) + (7 \times 20) + (12 \times 26) + (10 \times 32)}{15 + 14 + 7 + 12 + 10} \] \[ \bar{x} = \frac{120 + 196 + 140 + 312 + 320}{58} \] \[ \bar{x} = \frac{1088}{58} \approx 18.76 \] Bước 2: Tính phương sai Phương sai \( s^2 \) được tính theo công thức: \[ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i (x_i - \bar{x})^2}{\sum_{i=1}^{k} f_i} \] Ta tính \( (x_i - \bar{x})^2 \) cho mỗi nhóm: - Nhóm (5; 11): \( (8 - 18.76)^2 \approx 115.7376 \) - Nhóm [11; 17): \( (14 - 18.76)^2 \approx 22.8676 \) - Nhóm [17; 23): \( (20 - 18.76)^2 \approx 1.5876 \) - Nhóm [23; 29): \( (26 - 18.76)^2 \approx 51.0784 \) - Nhóm [29; 35): \( (32 - 18.76)^2 \approx 176.7376 \) Bây giờ, ta tính phương sai: \[ s^2 = \frac{(15 \times 115.7376) + (14 \times 22.8676) + (7 \times 1.5876) + (12 \times 51.0784) + (10 \times 176.7376)}{58} \] \[ s^2 = \frac{1736.064 + 320.1464 + 11.1132 + 612.9408 + 1767.376}{58} \] \[ s^2 = \frac{4447.6404}{58} \approx 76.6834 \] Bước 3: Tính độ lệch chuẩn Độ lệch chuẩn \( s \) được tính bằng cách lấy căn bậc hai của phương sai: \[ s = \sqrt{s^2} \] \[ s = \sqrt{76.6834} \approx 8.76 \] Vậy độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 8,76. Đáp án đúng là: B. 8,76. Câu 1. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề bài. a) Hàm doanh thu của công ty là: \[ f(x) = x \cdot q(x) \] Thay \( q(x) = 10000 - 250x \) vào, ta có: \[ f(x) = x(10000 - 250x) = 10000x - 250x^2 \] b) Tính đạo hàm của hàm doanh thu \( f(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(10000x - 250x^2) = 10000 - 500x \] c) Giải phương trình \( f'(x) = 0 \): \[ 10000 - 500x = 0 \] \[ 500x = 10000 \] \[ x = 20 \] d) Để tìm giá trị lớn nhất của hàm doanh thu \( f(x) \), ta thay \( x = 20 \) vào \( f(x) \): \[ f(20) = 10000 \cdot 20 - 250 \cdot 20^2 \] \[ f(20) = 200000 - 250 \cdot 400 \] \[ f(20) = 200000 - 100000 \] \[ f(20) = 100000 \text{ (nghìn đồng)} \] \[ f(20) = 100 \text{ triệu đồng} \] Vậy doanh thu lớn nhất của công ty bằng 100 triệu đồng, đạt được khi \( x = 20 \). Đáp số: 100 triệu đồng. Câu 2. a) Tập xác định của hàm số $y=f(x)$ là $\mathbb R\setminus\{1\}.$ Điều kiện xác định: $x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$. Vậy tập xác định của hàm số là $\mathbb R\setminus\{1\}$. b) Tâm đối xứng của đồ thị của hàm số $y=f(x)$ là điểm $I(1;2).$ Ta có: \[ f(x) = \frac{x^2 + x + 2}{x - 1} \] Tính đạo hàm của $f(x)$: \[ f'(x) = \frac{(2x + 1)(x - 1) - (x^2 + x + 2)}{(x - 1)^2} = \frac{2x^2 - 2x + x - 1 - x^2 - x - 2}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2} \] Để tìm tâm đối xứng, ta cần tìm điểm $x_0$ sao cho $f(x_0) = 2$ và $f'(x_0) = 0$. Giải phương trình $f'(x) = 0$: \[ \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2} = 0 \Rightarrow x^2 - 2x - 3 = 0 \Rightarrow (x - 3)(x + 1) = 0 \Rightarrow x = 3 \text{ hoặc } x = -1 \] Kiểm tra các giá trị này trong $f(x)$: \[ f(3) = \frac{3^2 + 3 + 2}{3 - 1} = \frac{9 + 3 + 2}{2} = \frac{14}{2} = 7 \] \[ f(-1) = \frac{(-1)^2 + (-1) + 2}{-1 - 1} = \frac{1 - 1 + 2}{-2} = \frac{2}{-2} = -1 \] Do đó, tâm đối xứng của đồ thị là điểm $I(1;2)$. c) Đồ thị hàm số $y=f(x)$ có hai điểm cực trị nằm cùng phía đối với trục hoành. Từ phần b), ta đã tìm được các điểm cực trị là $x = 3$ và $x = -1$. Ta kiểm tra giá trị của $f(x)$ tại các điểm này: \[ f(3) = 7 \] \[ f(-1) = -1 \] Cả hai giá trị đều nằm cùng phía đối với trục hoành (đều dương). d) Gọi M là giao điểm của đồ thị hàm số $y=f(x)$ với trục tung. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại điểm M là $y=-3x-2.$ Giao điểm của đồ thị với trục tung là điểm $M(0, f(0))$: \[ f(0) = \frac{0^2 + 0 + 2}{0 - 1} = \frac{2}{-1} = -2 \] Vậy điểm M là $(0, -2)$. Phương trình tiếp tuyến tại điểm M: \[ y' = f'(0) = \frac{0^2 - 2 \cdot 0 - 3}{(0 - 1)^2} = \frac{-3}{1} = -3 \] Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(0, -2)$ là: \[ y = f'(0)(x - 0) + f(0) = -3x - 2 \] Vậy phương trình tiếp tuyến là $y = -3x - 2$.