Giúp mình với!

Bài 1. a) Ta có $f(0)=c$ là số nguyên. $f(1)=a+b+c$ là số nguyên. Từ đó $a+b$ là số nguyên. Do $a+b$ và $b$ là số nguyên nên $a$ là số nguyên. Từ đó $2a$ là số chẵn. Ta có $f(-1)=a-b+c$ là số nguyên. Do $a-b+c$ và $c$ là số nguyên nên $a-b$ là số nguyên. b) Ta có $f(1)=a+b+c$ là tổng của các số nguyên nên là số nguyên. $f(-1)=a-b+c$ là tổng của các số nguyên nên là số nguyên. $f(2)=4a+2b+c=2(a-b)+6a+c$ là tổng của các số nguyên nên là số nguyên. $f(3)=9a+3b+c=3(a-b)+12a+c$ là tổng của các số nguyên nên là số nguyên. $f(4)=16a+4b+c=4(a-b)+20a+c$ là tổng của các số nguyên nên là số nguyên. Vậy $f(x)$ nhận giá trị nguyên với mọi số nguyên x. Bài 2. Để tìm công thức của đa thức $f(x)$, ta cần thay đổi biến số trong biểu thức $f(3x+1)$ thành $x$. Bước 1: Xác định biến mới Gọi $t = 3x + 1$. Bước 2: Biểu diễn $x$ theo $t$ $x = \frac{t - 1}{3}$. Bước 3: Thay $x$ vào biểu thức ban đầu $f(t) = \left(\frac{t - 1}{3} - 670\right)\left(\frac{t - 1}{3} - 672\right)$. Bước 4: Rút gọn biểu thức $f(t) = \left(\frac{t - 1 - 2010}{3}\right)\left(\frac{t - 1 - 2016}{3}\right)$ $f(t) = \left(\frac{t - 2011}{3}\right)\left(\frac{t - 2017}{3}\right)$ $f(t) = \frac{(t - 2011)(t - 2017)}{9}$. Bước 5: Thay $t$ trở lại thành $x$ $f(x) = \frac{(x - 2011)(x - 2017)}{9}$. Vậy công thức của đa thức $f(x)$ là: \[ f(x) = \frac{(x - 2011)(x - 2017)}{9}. \] Bài 3. Để chứng minh rằng \( A(x) = -3f(x) + g(x) \geq 0 \) với mọi \( x \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Viết lại \( f(x) \) và \( g(x) \): \[ f(x) = -x^3 - 10x^2 - 5x - 2 \] \[ g(x) = x^4 - 3x^3 - 15x - 6 \] Bước 2: Tính \( -3f(x) \): \[ -3f(x) = -3(-x^3 - 10x^2 - 5x - 2) = 3x^3 + 30x^2 + 15x + 6 \] Bước 3: Tính \( A(x) \): \[ A(x) = -3f(x) + g(x) = (3x^3 + 30x^2 + 15x + 6) + (x^4 - 3x^3 - 15x - 6) \] Bước 4: Cộng các đa thức: \[ A(x) = x^4 + 30x^2 \] Bước 5: Chứng minh rằng \( A(x) \geq 0 \): \[ A(x) = x^4 + 30x^2 \] Ta thấy rằng \( x^4 \geq 0 \) và \( 30x^2 \geq 0 \) với mọi \( x \). Do đó, tổng của hai biểu thức này cũng luôn lớn hơn hoặc bằng 0: \[ x^4 + 30x^2 \geq 0 \] Vậy, ta đã chứng minh được rằng \( A(x) \geq 0 \) với mọi \( x \). Đáp số: \( A(x) \geq 0 \) với mọi \( x \). Bài 4. a) Ta có: \[ f(x) = p(x) - q(x) \] \[ = (2x^4 + x^3 - 5x^2 + 5x + 6) - (2x^4 - 3x^3 + 4x^2 + 6) \] \[ = 2x^4 + x^3 - 5x^2 + 5x + 6 - 2x^4 + 3x^3 - 4x^2 - 6 \] \[ = 4x^3 - 9x^2 + 5x \] Để tìm nghiệm của \( f(x) \), ta giải phương trình: \[ 4x^3 - 9x^2 + 5x = 0 \] \[ x(4x^2 - 9x + 5) = 0 \] Từ đây, ta có hai trường hợp: 1. \( x = 0 \) 2. \( 4x^2 - 9x + 5 = 0 \) Giải phương trình bậc hai \( 4x^2 - 9x + 5 = 0 \): \[ \Delta = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5 = 81 - 80 = 1 \] \[ x = \frac{9 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 4} = \frac{9 \pm 1}{8} \] \[ x_1 = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} \] \[ x_2 = \frac{8}{8} = 1 \] Vậy nghiệm của \( f(x) \) là: \[ x = 0, \quad x = 1, \quad x = \frac{5}{4} \] b) Ta cần chứng minh: \[ f(x) - (3x^3 - 6x^2 + 15) \geq 0, \quad \forall x \geq 3 \] Thay \( f(x) = 4x^3 - 9x^2 + 5x \) vào: \[ f(x) - (3x^3 - 6x^2 + 15) = (4x^3 - 9x^2 + 5x) - (3x^3 - 6x^2 + 15) \] \[ = 4x^3 - 9x^2 + 5x - 3x^3 + 6x^2 - 15 \] \[ = x^3 - 3x^2 + 5x - 15 \] Ta cần chứng minh: \[ x^3 - 3x^2 + 5x - 15 \geq 0, \quad \forall x \geq 3 \] Xét \( x \geq 3 \): \[ x^3 - 3x^2 + 5x - 15 = x^2(x - 3) + 5(x - 3) \] \[ = (x - 3)(x^2 + 5) \] Vì \( x \geq 3 \), ta có \( x - 3 \geq 0 \) và \( x^2 + 5 > 0 \). Do đó: \[ (x - 3)(x^2 + 5) \geq 0 \] Vậy: \[ x^3 - 3x^2 + 5x - 15 \geq 0, \quad \forall x \geq 3 \] Điều này chứng tỏ rằng: \[ f(x) - (3x^3 - 6x^2 + 15) \geq 0, \quad \forall x \geq 3 \] Đáp số: a) Nghiệm của \( f(x) \) là \( x = 0, \quad x = 1, \quad x = \frac{5}{4} \) b) Đã chứng minh \( f(x) - (3x^3 - 6x^2 + 15) \geq 0, \quad \forall x \geq 3 \)