znznxncnncfnf

Câu 9: Phương trình đường tròn (C) được cho là $(x-3)^2 + (y+4)^2 = 12$. Ta nhận thấy rằng phương trình này có dạng chuẩn của phương trình đường tròn $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$, trong đó $(a, b)$ là tọa độ tâm của đường tròn và $R$ là bán kính. So sánh phương trình đã cho với phương trình chuẩn, ta có: - Tọa độ tâm của đường tròn là $(a, b) = (3, -4)$. - Bán kính của đường tròn là $R = \sqrt{12}$. Do đó, tọa độ tâm của đường tròn là $(3, -4)$. Vậy đáp án đúng là C. $(3, -4)$. Câu 29: a) Đúng vì đường tròn $(C):~(x-3)^2+(y+2)^2=20$ có tâm $I(3,-2)$ b) Sai vì đường tròn $(C):~(x-3)^2+(y+2)^2=20$ có bán kính $R=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ c) Sai vì thay tọa độ điểm $A(1,2)$ vào phương trình đường tròn $(C):~(x-3)^2+(y+2)^2=20$ ta được $(1-3)^2+(2+2)^2=20$ nên điểm $A$ không thuộc đường tròn $(C)$ d) Đúng vì thay tọa độ điểm $M(5,-6)$ vào phương trình tiếp tuyến $x-2y-17=0$ ta được $5-2\times (-6)-17=0$ nên đường thẳng $x-2y-17=0$ đi qua điểm $M$. Mặt khác, vectơ pháp tuyến của đường thẳng $x-2y-17=0$ là $\vec{n}=(1,-2)$ và vectơ $\overrightarrow{IM}=(5-3,-6+2)=(2,-4)$ suy ra $\vec{n}\perp \overrightarrow{IM}$ nên đường thẳng $x-2y-17=0$ là tiếp tuyến của đường tròn $(C)$ tại điểm $M$. Câu 30: a) Viết phương trình đường tròn có đường kính AB - Tìm trung điểm của đoạn thẳng AB: \[ M = \left( \frac{1 + (-1)}{2}; \frac{2 + 5}{2} \right) = \left( 0; \frac{7}{2} \right) \] - Tính bán kính R của đường tròn (bán kính là khoảng cách từ M đến A hoặc B): \[ R = MA = \sqrt{(1 - 0)^2 + \left(2 - \frac{7}{2}\right)^2} = \sqrt{1 + \left(\frac{-3}{2}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{13}{4}} = \frac{\sqrt{13}}{2} \] Phương trình đường tròn có đường kính AB: \[ (x - 0)^2 + \left(y - \frac{7}{2}\right)^2 = \left(\frac{\sqrt{13}}{2}\right)^2 \] \[ x^2 + \left(y - \frac{7}{2}\right)^2 = \frac{13}{4} \] b) Viết phương trình đường tròn có tâm A và đi qua B - Tính bán kính R của đường tròn (khoảng cách từ A đến B): \[ R = AB = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (2 - 5)^2} = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \] Phương trình đường tròn có tâm A và đi qua B: \[ (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = (\sqrt{13})^2 \] \[ (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 13 \] Đáp số: a) Phương trình đường tròn có đường kính AB: \[ x^2 + \left(y - \frac{7}{2}\right)^2 = \frac{13}{4} \] b) Phương trình đường tròn có tâm A và đi qua B: \[ (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 13 \] Câu 31. Phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ hoặc $\frac{y^2}{a^2} + \frac{x^2}{b^2} = 1$, trong đó $a > 0$ và $b > 0$. Ta sẽ kiểm tra từng phương trình: A. $y^2 = 32x$ - Phương trình này có dạng $y^2 = 32x$, không phải dạng chính tắc của elip. B. $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{64} = 1$ - Phương trình này có dạng $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, với $a^2 = 16$ và $b^2 = 64$. Do đó, đây là phương trình chính tắc của elip. C. $\frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{16} = 1$ - Phương trình này có dạng $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, với $a^2 = 64$ và $b^2 = 16$. Do đó, đây là phương trình chính tắc của elip. D. $\frac{x^2}{8} - \frac{y^2}{4} = 1$ - Phương trình này có dạng $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$, không phải dạng chính tắc của elip mà là dạng chính tắc của hypebol. Như vậy, phương trình chính tắc của elip là: B. $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{64} = 1$ C. $\frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{16} = 1$ Đáp án: B và C. Câu 32. Phương trình chính tắc của Hyperbol có dạng $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ hoặc $\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$, trong đó $a$ và $b$ là các hằng số dương. Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng phương trình: A. $\frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{3} = 1$ - Phương trình này có dạng $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, đây là phương trình chính tắc của Ellipse, không phải Hyperbol. B. $\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{5} = 1$ - Phương trình này có dạng $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$, đây là phương trình chính tắc của Hyperbol. C. $\frac{x}{3} - \frac{y}{2} = 1$ - Phương trình này là phương trình đường thẳng, không phải phương trình chính tắc của Hyperbol. D. $\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{4} = 1$ - Phương trình này có dạng $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, đây là phương trình chính tắc của Ellipse, không phải Hyperbol. Vậy phương trình chính tắc của Hyperbol là phương trình B: $\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{5} = 1$. Câu 33. Phương trình chính tắc của parabol là phương trình có dạng \( y^2 = 4ax \) hoặc \( y^2 = -4ax \). - Phương án A: \( y^2 = 32x \). Đây là phương trình chính tắc của parabol vì nó có dạng \( y^2 = 4ax \) với \( a = 8 \). - Phương án B: \( y^2 = -32x \). Đây cũng là phương trình chính tắc của parabol vì nó có dạng \( y^2 = -4ax \) với \( a = 8 \). - Phương án C: \( \frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{16} = 1 \). Đây là phương trình chính tắc của elip, không phải parabol. - Phương án D: \( \frac{x^2}{8} - \frac{y^2}{4} = 1 \). Đây là phương trình chính tắc của hypebol, không phải parabol. Vậy trong các phương trình đã cho, phương trình nào là phương trình chính tắc của parabol? Đáp án: A. \( y^2 = 32x \) và B. \( y^2 = -32x \). Câu 35. a) Ta thấy: \[ \frac{4^2}{16} + \frac{0^2}{9} = 1 + 0 = 1 \] Do đó, điểm \( A(4;0) \) thuộc elip (E). b) Elip (E) có dạng chuẩn \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) với \(a^2 = 16\) và \(b^2 = 9\). Suy ra \(a = 4\) và \(b = 3\). Tiêu cự \(c\) của elip được tính bằng công thức: \[ c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7} \] c) Tiêu điểm của elip (E) nằm trên trục hoành và có tọa độ: \[ F_1(-c, 0) = F_1(-\sqrt{7}, 0) \] \[ F_2(c, 0) = F_2(\sqrt{7}, 0) \] d) Gọi \(M(x, y)\) là điểm thuộc elip (E) thỏa mãn \(MF_1 + 2MF_2 = 11\). Theo tính chất của elip, ta có: \[ MF_1 + MF_2 = 2a = 2 \times 4 = 8 \] Ta đã biết: \[ MF_1 + 2MF_2 = 11 \] Từ đây, ta có thể suy ra: \[ MF_1 + MF_2 + MF_2 = 11 \] \[ 8 + MF_2 = 11 \] \[ MF_2 = 3 \] Thay \(MF_2 = 3\) vào \(MF_1 + MF_2 = 8\): \[ MF_1 + 3 = 8 \] \[ MF_1 = 5 \] Bây giờ, ta tính \(2MF_1 + MF_2\): \[ 2MF_1 + MF_2 = 2 \times 5 + 3 = 10 + 3 = 13 \] Vậy, \(2MF_1 + MF_2 = 13\). Đáp số: a) Điểm \(A(4;0)\) thuộc elip (E). b) Tiêu cự elip (E) bằng \(\sqrt{7}\). c) Elip (E) có tiêu điểm \(F_1(-\sqrt{7};0)\) và \(F_2(\sqrt{7};0)\). d) \(2MF_1 + MF_2 = 13\).