Bài 4 (3,0đ). Cho hình bình hành ABCD có AB > BC. Đường phân giác của góc cắt AB tại M, đường phân giác của góc cắt CD tại N. a. Chứng minh AM = CN. b. Chứng minh tứ giác DMBN là hình bình hành. c....

Bài 4 a. Ta có $$ là hình bình hành nên $$ và $$. Do đó, ta có: - $$ (hai góc so le trong) - $$ (hai góc đồng vị) Mặt khác, $$ là tia phân giác của $$ và $$ là tia phân giác của $$, do đó: - $$ - $$ Từ đây, ta có: - $$ - $$ Vậy tam giác $$ và tam giác $$ bằng nhau (góc - cạnh - góc). Do đó, $$. b. Ta đã chứng minh $$. Mặt khác, ta cũng có $$ (vì $$ và $$ là các đoạn thẳng ứng với các tia phân giác của các góc nội tiếp của hình bình hành). Do đó, tứ giác $$ có hai cặp cạnh đối bằng nhau, tức là $$ và $$. Vậy tứ giác $$ là hình bình hành. c. Ta gọi $$ là giao điểm của $$ và $$. Ta có $$ và $$ lần lượt là hình chiếu của $$ trên $$ và $$. Do đó, $$ và $$. Vì $$ là hình bình hành, nên $$. Do đó, $$ (hai góc đồng vị). Mặt khác, ta cũng có $$ (hai góc đối đỉnh). Vậy tam giác $$ và tam giác $$ bằng nhau (góc - cạnh - góc). Do đó, $$. Vậy $$ là trung điểm của $$. Tương tự, ta cũng có thể chứng minh rằng $$ là trung điểm của $$. Vậy hai đoạn thẳng $$ và $$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Bài 5 Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$, ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Nhóm các hạng tử để tạo thành các bình phương hoàn chỉnh. Ta có: $$ Nhóm lại như sau: $$ $$ Bước 2: Nhóm tiếp tục để tạo thành các bình phương hoàn chỉnh khác. $$ $$ $$ $$ $$ Bước 3: Xét các bình phương hoàn chỉnh. Các bình phương hoàn chỉnh $$ và $$ luôn không âm, tức là $$ và $$. Do đó, $$ và $$. Do đó, biểu thức $$ đạt giá trị lớn nhất khi $$ và $$, tức là $$ và $$. Từ đó suy ra $$. Bước 4: Thay $$ và $$ vào biểu thức $$: $$ $$ $$ $$ Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $$ là 2017.5, đạt được khi $$ và $$. Câu 4 Để giải quyết các bài toán một cách chính xác, hiệu quả và phù hợp với trình độ của học sinh lớp 8, chúng ta sẽ tuân theo các quy tắc đã nêu. Dưới đây là ví dụ về cách giải một bài toán theo các quy tắc này: Ví dụ: Hai tổ sản xuất cùng may một loại áo. Nếu tổ thứ nhất may trong 4 ngày, tổ thứ hai may trong 5 ngày thì cả hai tổ may được 2460 chiếc áo. Biết rằng trong mỗi ngày tổ thứ nhất may nhiều hơn tổ thứ hai 30 chiếc áo. Hỏi mỗi tổ may trong một ngày được bao nhiêu chiếc áo? Giải: Gọi số áo tổ thứ nhất may trong một ngày là $$ (chiếc áo, điều kiện: $$). Số áo tổ thứ hai may trong một ngày là $$ (chiếc áo). Tổng số áo mà cả hai tổ may trong 4 ngày và 5 ngày lần lượt là: - Số áo tổ thứ nhất may trong 4 ngày: $$ (chiếc áo). - Số áo tổ thứ hai may trong 5 ngày: $$ (chiếc áo). Theo đề bài, tổng số áo mà cả hai tổ may được là 2460 chiếc áo, nên ta có phương trình: $$ Mở ngoặc và rút gọn phương trình: $$ $$ Di chuyển 150 sang vế phải: $$ $$ Chia cả hai vế cho 9: $$ $$ Vậy số áo tổ thứ nhất may trong một ngày là 290 chiếc áo. Số áo tổ thứ hai may trong một ngày là: $$ (chiếc áo). Đáp số: Tổ thứ nhất: 290 chiếc áo/ngày; Tổ thứ hai: 260 chiếc áo/ngày.