Giải giúp mình với

Câu 24. a) Ta có $\overrightarrow{BC} = (-2; -1; 1)$ và $\overrightarrow{BD} = (-2; 0; -1)$. Phương trình mặt phẳng (BCD) có dạng: \[ a(x - 0) + b(y - 1) + c(z - 0) = 0 \] Thay tọa độ của B vào ta có: \[ a \cdot 0 + b \cdot 1 + c \cdot 0 = 0 \Rightarrow b = 0 \] Do đó phương trình mặt phẳng (BCD) trở thành: \[ a(x - 0) + c(z - 0) = 0 \Rightarrow ax + cz = 0 \] Thay tọa độ của C và D vào ta có: \[ -2a + c = 0 \Rightarrow c = 2a \] \[ -2a - c = 0 \Rightarrow -2a - 2a = 0 \Rightarrow -4a = 0 \Rightarrow a = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng (BCD) là: \[ x - 2y - 2z + 2 = 0 \] Suy ra Mệnh đề a) Đúng. b) Ta kiểm tra xem điểm B có thuộc mặt phẳng (ACD) hay không. Phương trình mặt phẳng (ACD) có dạng: \[ a(x - 1) + b(y - 0) + c(z - 0) = 0 \] Thay tọa độ của A vào ta có: \[ a \cdot 1 + b \cdot 0 + c \cdot 0 = 0 \Rightarrow a = 0 \] Do đó phương trình mặt phẳng (ACD) trở thành: \[ by + cz = 0 \] Thay tọa độ của C và D vào ta có: \[ b \cdot 0 + c \cdot 1 = 0 \Rightarrow c = 0 \] \[ b \cdot 1 + c \cdot (-1) = 0 \Rightarrow b - c = 0 \Rightarrow b = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng (ACD) là: \[ y + z = 0 \] Thay tọa độ của B vào ta có: \[ 1 + 0 = 1 \neq 0 \] Suy ra Mệnh đề b) Sai. c) Ta tính diện tích đáy SBCD của hình chóp A.BCD. Diện tích tam giác BCD: \[ S_{BCD} = \frac{1}{2} \left| \overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BD} \right| \] \[ \overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & -1 & 1 \\ -2 & 0 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1) - \mathbf{j}(0) + \mathbf{k}(2) = (1, 0, 2) \] \[ \left| \overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BD} \right| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{5} \] \[ S_{BCD} = \frac{1}{2} \sqrt{5} = \frac{\sqrt{5}}{2} \] Ta tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD): \[ d(A, (BCD)) = \frac{|1 - 2 \cdot 0 - 2 \cdot 0 + 2|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-2)^2}} = \frac{3}{3} = 1 \] Diện tích toàn phần của hình chóp A.BCD: \[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{BCD} \cdot d(A, (BCD)) = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot 1 = \frac{\sqrt{5}}{6} \] Suy ra Mệnh đề c) Sai. d) Ta tìm phương trình mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc với hai mặt phẳng (ACD) và (BCD). Phương trình mặt phẳng (ACD) là: \[ y + z = 0 \] Phương trình mặt phẳng (BCD) là: \[ x - 2y - 2z + 2 = 0 \] Phương pháp tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc với hai mặt phẳng đã cho: \[ \overrightarrow{n_1} = (0, 1, 1) \] \[ \overrightarrow{n_2} = (1, -2, -2) \] \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{n_1} \times \overrightarrow{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & -2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0) - \mathbf{j}(1) + \mathbf{k}(1) = (0, -1, 1) \] Phương trình mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc với hai mặt phẳng (ACD) và (BCD): \[ 0(x - 1) - 1(y - 0) + 1(z - 0) = 0 \Rightarrow -y + z = 0 \Rightarrow y - z = 0 \] Suy ra Mệnh đề d) Sai. Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Sai. Câu 25. Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng mệnh đề dựa trên các thông tin đã cho và các phép toán liên quan đến hình học trong không gian. Mệnh đề a) Mặt phẳng $(AB'C'D')$ có phương trình tổng quát là $x - z - 9 = 0$. Kiểm tra: - Ta cần kiểm tra xem các điểm $A$, $B'$, $C'$, $D'$ có nằm trên mặt phẳng này hay không. - Điểm $A(1;0;1)$: Thay vào phương trình $x - z - 9 = 0$: $1 - 1 - 9 = -9 \neq 0$. Do đó, điểm $A$ không nằm trên mặt phẳng này. - Kết luận: Mệnh đề a) là Sai. Mệnh đề b) Mặt phẳng $(AB'D')$ có phương trình tổng quát là $2x + y - 2 = 0$. Kiểm tra: - Ta cần kiểm tra xem các điểm $A$, $B'$, $D'$ có nằm trên mặt phẳng này hay không. - Điểm $A(1;0;1)$: Thay vào phương trình $2x + y - 2 = 0$: $2 \cdot 1 + 0 - 2 = 0$. Đúng. - Điểm $B'(2;1;2)$: Thay vào phương trình $2x + y - 2 = 0$: $2 \cdot 2 + 1 - 2 = 3 \neq 0$. Do đó, điểm $B'$ không nằm trên mặt phẳng này. - Kết luận: Mệnh đề b) là Sai. Mệnh đề c) Chiều cao của hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ bằng $\sqrt{2}$. Kiểm tra: - Để tìm chiều cao của hình hộp, ta cần biết khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song $(ABCD)$ và $(A'B'C'D')$. - Ta có thể sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm để tìm chiều cao. - Khoảng cách giữa hai điểm $A(1;0;1)$ và $A'(1;0;1)$ (vì $A'$ trùng với $A$ trong không gian) là $0$. - Kết luận: Mệnh đề c) là Sai. Mệnh đề d) Chiều cao của hình chóp $C.ABC'D'$ bằng $\frac{9}{\sqrt{206}}$. Kiểm tra: - Để tìm chiều cao của hình chóp, ta cần biết khoảng cách từ đỉnh $C$ đến mặt phẳng $(ABC'D')$. - Ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. - Mặt phẳng $(ABC'D')$ có phương trình tổng quát là $2x + y - 2 = 0$ (đã kiểm tra ở mệnh đề b). - Khoảng cách từ điểm $C(4;5;-5)$ đến mặt phẳng này là: \[ d = \frac{|2 \cdot 4 + 5 - 2|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \frac{|8 + 5 - 2|}{\sqrt{4 + 1 + 1}} = \frac{11}{\sqrt{6}} = \frac{11}{\sqrt{6}} \] - Kết luận: Mệnh đề d) là Sai. Tóm lại: - Mệnh đề a) là Sai. - Mệnh đề b) là Sai. - Mệnh đề c) là Sai. - Mệnh đề d) là Sai.