giải bất phương trình chìa, nhôm ùm đổi chiều,$b)~-2x^2+x+1

Question

giải bất phương trình chìa, nhôm ùm đổi chiều,$b)~-2x^2+x+1<x^2-x$,$c)~(x^2-3x+2)(-x^2+5x-6)\geq0.$

Accepted Answer

b) Giải bất phương trình $-2x^2 + x + 1 < x^2 - x$. Đầu tiên, chúng ta chuyển tất cả các hạng tử về một vế: $$ -2x^2 + x + 1 - x^2 + x < 0 $$ $$ -3x^2 + 2x + 1 < 0 $$ Bây giờ, chúng ta giải phương trình bậc hai $-3x^2 + 2x + 1 = 0$ để tìm các nghiệm: $$ a = -3, \quad b = 2, \quad c = 1 $$ $$ \Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(-3)(1) = 4 + 12 = 16 $$ $$ \sqrt{\Delta} = 4 $$ $$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2 + 4}{2(-3)} = \frac{2}{-6} = -\frac{1}{3} $$ $$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2 - 4}{2(-3)} = \frac{-6}{-6} = 1 $$ Phương trình $-3x^2 + 2x + 1 = 0$ có hai nghiệm $x_1 = -\frac{1}{3}$ và $x_2 = 1$. Bất phương trình $-3x^2 + 2x + 1 < 0$ sẽ đúng trong khoảng giữa hai nghiệm này hoặc ngoài hai nghiệm này. Ta kiểm tra dấu của biểu thức $-3x^2 + 2x + 1$ ở các khoảng: - Khi $x < -\frac{1}{3}$, chọn $x = -1$: $$ -3(-1)^2 + 2(-1) + 1 = -3 - 2 + 1 = -4 < 0 $$ - Khi $-\frac{1}{3} < x < 1$, chọn $x = 0$: $$ -3(0)^2 + 2(0) + 1 = 1 > 0 $$ - Khi $x > 1$, chọn $x = 2$: $$ -3(2)^2 + 2(2) + 1 = -12 + 4 + 1 = -7 < 0 $$ Vậy bất phương trình $-3x^2 + 2x + 1 < 0$ đúng khi $x < -\frac{1}{3}$ hoặc $x > 1$. Đáp số: $x < -\frac{1}{3}$ hoặc $x > 1$. c) Giải bất phương trình $(x^2 - 3x + 2)(-x^2 + 5x - 6) \geq 0$. Đầu tiên, chúng ta phân tích các nhân tử: $$ x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) $$ $$ -x^2 + 5x - 6 = -(x^2 - 5x + 6) = -(x - 2)(x - 3) $$ Vậy bất phương trình trở thành: $$ (x - 1)(x - 2)(-(x - 2)(x - 3)) \geq 0 $$ $$ -(x - 1)(x - 2)^2(x - 3) \geq 0 $$ Chúng ta cần tìm các điểm mà biểu thức này bằng 0: $$ x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 $$ $$ x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 $$ $$ x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3 $$ Ta vẽ bảng xét dấu: $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & (-\infty, 1) & 1 & (1, 2) & 2 & (2, 3) & 3 & (3, \infty) \ \hline x - 1 & - & 0 & + & + & + & + & + \ \hline (x - 2)^2 & + & + & + & 0 & + & + & + \ \hline x - 3 & - & - & - & - & - & 0 & + \ \hline -(x - 1)(x - 2)^2(x - 3) & + & 0 & - & 0 & + & 0 & - \ \hline \end{array} $$ Bất phương trình $-(x - 1)(x - 2)^2(x - 3) \geq 0$ đúng khi: $$ x \in [1, 2] \cup [3, \infty) $$ Đáp số: $x \in [1, 2] \cup [3, \infty)$.