Trong không gian tọa độ $O x y z$ cho hai điểm $A(2 ; 2 ; 1), B\left(-\frac{8}{3} ; \frac{4}{3} ; \frac{8}{3}\right)$. Biết $I(a ; b ; c)$ là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $O A B$. Tính $S=a+b+c$...

Để tính $S = a + b + c$, ta cần tìm tọa độ tâm $I(a; b; c)$ của đường tròn nội tiếp tam giác $OAB$. Ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính diện tích tam giác $OAB$: - Tính độ dài các cạnh của tam giác $OAB$: \[ OA = \sqrt{(2-0)^2 + (2-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3 \] \[ OB = \sqrt{\left(-\frac{8}{3}-0\right)^2 + \left(\frac{4}{3}-0\right)^2 + \left(\frac{8}{3}-0\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{8}{3}\right)^2 + \left(\frac{4}{3}\right)^2 + \left(\frac{8}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{64}{9} + \frac{16}{9} + \frac{64}{9}} = \sqrt{\frac{144}{9}} = 4 \] \[ AB = \sqrt{\left(2 - \left(-\frac{8}{3}\right)\right)^2 + \left(2 - \frac{4}{3}\right)^2 + \left(1 - \frac{8}{3}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{14}{3}\right)^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^2 + \left(-\frac{5}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{196}{9} + \frac{4}{9} + \frac{25}{9}} = \sqrt{\frac{225}{9}} = 5 \] - Diện tích tam giác $OAB$ bằng $\frac{1}{2} \times OA \times OB \times \sin(\angle AOB)$, nhưng dễ dàng hơn nếu sử dụng công thức Heron: \[ p = \frac{OA + OB + AB}{2} = \frac{3 + 4 + 5}{2} = 6 \] \[ S_{OAB} = \sqrt{p(p-OA)(p-OB)(p-AB)} = \sqrt{6(6-3)(6-4)(6-5)} = \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt{36} = 6 \] 2. Tính bán kính đường tròn nội tiếp: \[ r = \frac{S_{OAB}}{p} = \frac{6}{6} = 1 \] 3. Tìm tọa độ tâm $I(a; b; c)$ của đường tròn nội tiếp: - Tâm $I$ của đường tròn nội tiếp nằm trên đường phân giác của các góc của tam giác $OAB$. Do đó, tọa độ tâm $I$ có thể được tính dựa trên tỉ lệ của các cạnh: \[ I = \left(\frac{a_1 \cdot OA + a_2 \cdot OB + a_3 \cdot AB}{OA + OB + AB}, \frac{b_1 \cdot OA + b_2 \cdot OB + b_3 \cdot AB}{OA + OB + AB}, \frac{c_1 \cdot OA + c_2 \cdot OB + c_3 \cdot AB}{OA + OB + AB}\right) \] Với $O(0,0,0)$, $A(2,2,1)$, $B\left(-\frac{8}{3}, \frac{4}{3}, \frac{8}{3}\right)$: \[ I = \left(\frac{0 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + \left(-\frac{8}{3}\right) \cdot 5}{3 + 4 + 5}, \frac{0 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + \frac{4}{3} \cdot 5}{3 + 4 + 5}, \frac{0 \cdot 3 + 1 \cdot 4 + \frac{8}{3} \cdot 5}{3 + 4 + 5}\right) \] \[ I = \left(\frac{8 - \frac{40}{3}}{12}, \frac{8 + \frac{20}{3}}{12}, \frac{4 + \frac{40}{3}}{12}\right) \] \[ I = \left(\frac{\frac{24 - 40}{3}}{12}, \frac{\frac{24 + 20}{3}}{12}, \frac{\frac{12 + 40}{3}}{12}\right) \] \[ I = \left(\frac{-16}{36}, \frac{44}{36}, \frac{52}{36}\right) \] \[ I = \left(-\frac{4}{9}, \frac{11}{9}, \frac{13}{9}\right) \] 4. Tính $S = a + b + c$: \[ S = -\frac{4}{9} + \frac{11}{9} + \frac{13}{9} = \frac{-4 + 11 + 13}{9} = \frac{20}{9} \] Vậy $S = \frac{20}{9}$.