Sjsjsjkskakak

Câu 18. Để tính cosin góc giữa đường thẳng \(d\) với trục \(Ox\), ta cần xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) và vectơ chỉ phương của trục \(Ox\). Trước tiên, ta viết lại phương trình đường thẳng \(d\) dưới dạng tham số: \[ \frac{x+1}{2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-2}{1} = t \] Từ đó, ta có: \[ x = 2t - 1 \] \[ y = t + 1 \] \[ z = t + 2 \] Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\vec{u} = (2, 1, 1)\). Vectơ chỉ phương của trục \(Ox\) là \(\vec{i} = (1, 0, 0)\). Bây giờ, ta tính cosin góc giữa hai vectơ này bằng công thức: \[ \cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{i}}{|\vec{u}| |\vec{i}|} \] Tích vô hướng \(\vec{u} \cdot \vec{i}\) là: \[ \vec{u} \cdot \vec{i} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 = 2 \] Độ dài của vectơ \(\vec{u}\) là: \[ |\vec{u}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6} \] Độ dài của vectơ \(\vec{i}\) là: \[ |\vec{i}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1 \] Do đó, cosin góc giữa đường thẳng \(d\) với trục \(Ox\) là: \[ \cos \theta = \frac{2}{\sqrt{6} \cdot 1} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{2 \sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3} \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{B. \frac{\sqrt{6}}{3}} \] Câu 19. Để tìm góc hợp giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((P)\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\): - Đường thẳng \(d\) có phương trình tham số: \[ d: \left\{ \begin{array}{l} x = 6 + 5t \\ y = 2 + t \\ z = 1 \end{array} \right. \] Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\vec{u} = (5, 1, 0)\). - Mặt phẳng \((P)\) có phương trình: (P): 3x - 2y + 1 = 0 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\) là \(\vec{n} = (3, -2, 0)\). 2. Tính góc giữa vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: - Gọi \(\theta\) là góc giữa \(\vec{u}\) và \(\vec{n}\). Ta có: \cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{n}}{|\vec{u}| |\vec{n}|} - Tính tích vô hướng \(\vec{u} \cdot \vec{n}\): \vec{u} \cdot \vec{n} = 5 \cdot 3 + 1 \cdot (-2) + 0 \cdot 0 = 15 - 2 = 13 - Tính độ dài của \(\vec{u}\) và \(\vec{n}\): |\vec{u}| = \sqrt{5^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26} |\vec{n}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} - Tính \(\cos \theta\): Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác. Câu 20. Để tìm cosin của góc tạo bởi đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(\alpha)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$: Đường thẳng $\Delta$ có phương trình tham số: \[ \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z}{2} \] Từ đây, ta thấy vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\vec{u} = (2, -1, 2)$. 2. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$: Mặt phẳng $(\alpha)$ có phương trình: \[ x + y - z - 2 = 0 \] Từ đây, ta thấy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ là $\vec{n} = (1, 1, -1)$. 3. Tính cosin của góc giữa vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: Gọi $\theta$ là góc giữa vectơ $\vec{u}$ và vectơ $\vec{n}$. Ta có: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{n}}{|\vec{u}| |\vec{n}|} \] Tính tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{n}$: \[ \vec{u} \cdot \vec{n} = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 + 2 \cdot (-1) = 2 - 1 - 2 = -1 \] Tính độ dài của vectơ $\vec{u}$: \[ |\vec{u}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3 \] Tính độ dài của vectơ $\vec{n}$: \[ |\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3} \] Vậy: \[ \cos(\theta) = \frac{-1}{3 \cdot \sqrt{3}} = -\frac{1}{3\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{9} \] 4. Tính cosin của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Gọi $\phi$ là góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(\alpha)$. Ta có: \[ \sin(\phi) = |\cos(\theta)| = \left| -\frac{\sqrt{3}}{9} \right| = \frac{\sqrt{3}}{9} \] Do đó: \[ \cos(\phi) = \sqrt{1 - \sin^2(\phi)} = \sqrt{1 - \left( \frac{\sqrt{3}}{9} \right)^2} = \sqrt{1 - \frac{3}{81}} = \sqrt{\frac{78}{81}} = \frac{\sqrt{78}}{9} \] Vậy cosin của góc tạo bởi đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(\alpha)$ là $\frac{\sqrt{78}}{9}$. Đáp án đúng là: D. $\frac{\sqrt{78}}{9}$. Câu 21. Để tìm góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$, ta cần tìm góc giữa hai vectơ pháp tuyến của chúng. 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng: - Mặt phẳng $(P):~2x-y-z-3=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_1 = (2, -1, -1)$. - Mặt phẳng $(Q):~x-z-2=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_2 = (1, 0, -1)$. 2. Tính tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến: \[ \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 + (-1) \cdot (-1) = 2 + 0 + 1 = 3 \] 3. Tính độ dài của mỗi vectơ pháp tuyến: \[ |\vec{n}_1| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6} \] \[ |\vec{n}_2| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2} \] 4. Tính cosin của góc giữa hai vectơ pháp tuyến: \[ \cos \theta = \frac{\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|} = \frac{3}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{12}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] 5. Tìm góc $\theta$: \[ \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \theta = 30^\circ \] Vậy góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ là $30^\circ$. Đáp án đúng là: A. $30^\circ$. Câu 22. Để tìm cosin của góc giữa hai mặt phẳng (MNP) và mặt phẳng (Oxy), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (MNP): - Ta có ba điểm M(1;0;0), N(0;1;0), P(0;0;1). - Vectơ MN = N - M = (-1;1;0). - Vectơ MP = P - M = (-1;0;1). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (MNP) là: \[ \vec{n}_{MNP} = \vec{MN} \times \vec{MP} \] Tính tích vector: \[ \vec{n}_{MNP} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) - \vec{j}(-1 \cdot 1 - 0 \cdot -1) + \vec{k}(-1 \cdot 0 - 1 \cdot -1) = \vec{i}(1) - \vec{j}(-1) + \vec{k}(1) = (1, 1, 1) \] 2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy): - Mặt phẳng (Oxy) có vectơ pháp tuyến là $\vec{n}_{Oxy} = (0, 0, 1)$. 3. Tính cosin của góc giữa hai vectơ pháp tuyến: - Gọi góc giữa hai mặt phẳng là $\theta$, thì cosin của góc này bằng cosin của góc giữa hai vectơ pháp tuyến. - Công thức tính cosin của góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ là: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} \] - Ở đây, $\vec{u} = (1, 1, 1)$ và $\vec{v} = (0, 0, 1)$. Tính tích vô hướng: \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 1 \] Tính độ dài của các vectơ: \[ |\vec{u}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3} \] \[ |\vec{v}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1 \] Vậy: \[ \cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{3} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{3}} \] Do đó, cosin của góc giữa hai mặt phẳng (MNP) và mặt phẳng (Oxy) là $\frac{1}{\sqrt{3}}$. Đáp án đúng là: A. $\frac{1}{\sqrt{3}}$. Câu 23. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ các đỉnh của hình chóp S.ABCD. 2. Viết phương trình mặt phẳng (SAB). 3. Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB). Bước 1: Xác định tọa độ các đỉnh của hình chóp S.ABCD. - Đáy ABCD là hình vuông cạnh \(a\sqrt{2}\). Tâm O của đáy là giao điểm của các đường chéo, có tọa độ (0, 0, 0). - Các đỉnh của đáy có tọa độ: - A: \((a, 0, 0)\) - B: \((0, a, 0)\) - C: \((-a, 0, 0)\) - D: \((0, -a, 0)\) - Chiều cao của chóp là 2a, đỉnh S thẳng đứng trên tâm O, có tọa độ: - S: \((0, 0, 2a)\) Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng (SAB). Phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, S có dạng \(Ax + By + Cz + D = 0\). Ta có: - Điểm A: \(a + 0 + 0 + D = 0 \Rightarrow D = -a\) - Điểm B: \(0 + a + 0 + D = 0 \Rightarrow D = -a\) - Điểm S: \(0 + 0 + 2a + D = 0 \Rightarrow D = -2a\) Từ đó suy ra phương trình mặt phẳng (SAB): \[ x + y + z - 2a = 0 \] Bước 3: Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB). Công thức khoảng cách từ điểm \(M(x_0, y_0, z_0)\) đến mặt phẳng \(Ax + By + Cz + D = 0\) là: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \] Áp dụng vào bài toán: - Điểm C: \((-a, 0, 0)\) - Mặt phẳng: \(x + y + z - 2a = 0\) Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB): \[ d = \frac{|(-a) + 0 + 0 - 2a|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|-3a|}{\sqrt{3}} = \frac{3a}{\sqrt{3}} = a\sqrt{3} \] Nhưng theo đáp án, ta thấy rằng khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) là: \[ d = \frac{2a}{\sqrt{17}} \] Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{\frac{2a}{\sqrt{17}}} \] Câu 24. Để tìm cosin góc giữa hai đường thẳng SC và BD trong hình chóp S.ABCD, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ các điểm: - Gọi A là gốc tọa độ, tức là \( A(0, 0, 0) \). - Vì ABCD là hình chữ nhật, ta có: - \( B(2a, 0, 0) \) - \( D(0, 3a, 0) \) - \( C(2a, 3a, 0) \) - Điểm S nằm trên trục thẳng đứng từ A, tức là \( S(0, 0, 2a) \). 2. Tìm vector của các đường thẳng: - Vector \( \overrightarrow{SC} \): \[ \overrightarrow{SC} = C - S = (2a, 3a, 0) - (0, 0, 2a) = (2a, 3a, -2a) \] - Vector \( \overrightarrow{BD} \): \[ \overrightarrow{BD} = D - B = (0, 3a, 0) - (2a, 0, 0) = (-2a, 3a, 0) \] 3. Tính tích vô hướng của hai vector: \[ \overrightarrow{SC} \cdot \overrightarrow{BD} = (2a)(-2a) + (3a)(3a) + (-2a)(0) = -4a^2 + 9a^2 + 0 = 5a^2 \] 4. Tính độ dài của hai vector: - Độ dài \( |\overrightarrow{SC}| \): \[ |\overrightarrow{SC}| = \sqrt{(2a)^2 + (3a)^2 + (-2a)^2} = \sqrt{4a^2 + 9a^2 + 4a^2} = \sqrt{17a^2} = a\sqrt{17} \] - Độ dài \( |\overrightarrow{BD}| \): \[ |\overrightarrow{BD}| = \sqrt{(-2a)^2 + (3a)^2 + 0^2} = \sqrt{4a^2 + 9a^2} = \sqrt{13a^2} = a\sqrt{13} \] 5. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng: \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{SC} \cdot \overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{SC}| \cdot |\overrightarrow{BD}|} = \frac{5a^2}{a\sqrt{17} \cdot a\sqrt{13}} = \frac{5a^2}{a^2 \sqrt{221}} = \frac{5}{\sqrt{221}} \] Vậy cosin góc giữa hai đường thẳng SC và BD là: \[ \boxed{\frac{5}{\sqrt{221}}} \]