giải giúp tôi

b) Ta có $x^2 - x = x(x-1)$ Do đó $|x^2 - x| = x^2 - x$ nếu $x \le 0$ hoặc $x \ge 1$ $|x^2 - x| = x - x^2$ nếu $0 < x < 1$ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^2$ và $y=x$ được tính bằng công thức $S=\int^1_0|x^2-x|dx = \int^1_0(x - x^2)dx = (\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3})|^1_0 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ c) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^2$ và $y=1$ bằng $S = \int^1_{-1}(1 - x^2)dx = (x - \frac{x^3}{3})|^1_{-1} = (1 - \frac{1}{3}) - (-1 + \frac{1}{3}) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$ d) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^2+1$ và $y=1$ và đường thẳng $x=1$ bằng $S = \int^1_0((x^2 + 1) - 1)dx = \int^1_0x^2dx = \frac{x^3}{3}|^1_0 = \frac{1}{3}$ Câu 1. Để tính giá trị của \( m \) trong tích phân \(\int^0_{-5} [m(-4x-2) + x^2 - 6x - 2] \, dx = 8\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính tích phân của biểu thức bên trong dấu tích phân. \[ \int^0_{-5} [m(-4x-2) + x^2 - 6x - 2] \, dx \] Bước 2: Tách các thành phần trong tích phân: \[ \int^0_{-5} [m(-4x-2) + x^2 - 6x - 2] \, dx = \int^0_{-5} [-4mx - 2m + x^2 - 6x - 2] \, dx \] Bước 3: Tính từng phần riêng lẻ: \[ \int^0_{-5} (-4mx) \, dx = -4m \int^0_{-5} x \, dx = -4m \left[ \frac{x^2}{2} \right]^0_{-5} = -4m \left( \frac{0^2}{2} - \frac{(-5)^2}{2} \right) = -4m \left( 0 - \frac{25}{2} \right) = 50m \] \[ \int^0_{-5} (-2m) \, dx = -2m \int^0_{-5} 1 \, dx = -2m \left[ x \right]^0_{-5} = -2m (0 - (-5)) = 10m \] \[ \int^0_{-5} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]^0_{-5} = \frac{0^3}{3} - \frac{(-5)^3}{3} = 0 - \frac{-125}{3} = \frac{125}{3} \] \[ \int^0_{-5} (-6x) \, dx = -6 \int^0_{-5} x \, dx = -6 \left[ \frac{x^2}{2} \right]^0_{-5} = -6 \left( \frac{0^2}{2} - \frac{(-5)^2}{2} \right) = -6 \left( 0 - \frac{25}{2} \right) = 75 \] \[ \int^0_{-5} (-2) \, dx = -2 \int^0_{-5} 1 \, dx = -2 \left[ x \right]^0_{-5} = -2 (0 - (-5)) = -10 \] Bước 4: Cộng tất cả các kết quả lại: \[ 50m + 10m + \frac{125}{3} + 75 - 10 = 60m + \frac{125}{3} + 65 \] Bước 5: Đặt tổng này bằng 8: \[ 60m + \frac{125}{3} + 65 = 8 \] Bước 6: Chuyển các hằng số về phía bên phải: \[ 60m = 8 - 65 - \frac{125}{3} \] \[ 60m = -57 - \frac{125}{3} \] \[ 60m = -\frac{171}{3} - \frac{125}{3} \] \[ 60m = -\frac{296}{3} \] Bước 7: Giải phương trình để tìm \( m \): \[ m = -\frac{296}{3 \times 60} = -\frac{296}{180} = -\frac{148}{90} = -\frac{74}{45} \approx -1.644 \] Kết quả làm tròn đến hàng phần mười: \[ m \approx -1.6 \] Đáp số: \( m \approx -1.6 \) Câu 2. Thể tích V của vật thể được tính bằng cách tích phân diện tích thiết diện qua khoảng từ $x = 0$ đến $x = 6$. Diện tích thiết diện là tích của hai cạnh của hình chữ nhật, tức là $6x$ và $\sqrt{36 - x^2}$. Do đó, diện tích thiết diện là: \[ A(x) = 6x \cdot \sqrt{36 - x^2} \] Thể tích V của vật thể là: \[ V = \int_{0}^{6} A(x) \, dx = \int_{0}^{6} 6x \sqrt{36 - x^2} \, dx \] Chúng ta thực hiện phép tích phân này bằng cách sử dụng phương pháp thay đổi biến số. Đặt: \[ u = 36 - x^2 \] Khi đó: \[ du = -2x \, dx \] \[ x \, dx = -\frac{1}{2} du \] Khi $x = 0$, ta có $u = 36$. Khi $x = 6$, ta có $u = 0$. Do đó, thể tích V trở thành: \[ V = \int_{36}^{0} 6 \left(-\frac{1}{2}\right) \sqrt{u} \, du = -3 \int_{36}^{0} \sqrt{u} \, du \] Chúng ta đảo ngược cận của tích phân để bỏ dấu trừ: \[ V = 3 \int_{0}^{36} \sqrt{u} \, du \] Bây giờ, chúng ta thực hiện tích phân: \[ \int \sqrt{u} \, du = \int u^{\frac{1}{2}} \, du = \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C \] Áp dụng cận của tích phân: \[ V = 3 \left[ \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{36} = 3 \left( \frac{2}{3} \cdot 36^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} \right) = 3 \left( \frac{2}{3} \cdot 36^{\frac{3}{2}} \right) = 2 \cdot 36^{\frac{3}{2}} \] Ta biết rằng: \[ 36^{\frac{3}{2}} = (6^2)^{\frac{3}{2}} = 6^3 = 216 \] Do đó: \[ V = 2 \cdot 216 = 432 \] Vậy thể tích V của phần vật thể là: \[ V = 432 \] Đáp số: $V = 432$