giải đúng sai

Câu 1: a) Mệnh đề này sai vì nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ thì $F'(x) = f(x) = -4x + 3$. Do đó, $F'(2) = -4 \cdot 2 + 3 = -8 + 3 = -5$. b) Mệnh đề này đúng vì $F(x) = -2x^2 + 3x$ là một nguyên hàm của $f(x) = -4x + 3$. Ta có: \[ F'(x) = (-2x^2 + 3x)' = -4x + 3 = f(x). \] c) Mệnh đề này đúng vì nếu $G(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ thì $G(x) = -2x^2 + 3x + C$. Biết rằng $G(1) = 2$, ta có: \[ G(1) = -2 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1 + C = 2 \Rightarrow -2 + 3 + C = 2 \Rightarrow C = 1. \] Do đó, $G(x) = -2x^2 + 3x + 1$. Ta tính $G(2)$: \[ G(2) = -2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2 + 1 = -8 + 6 + 1 = -1. \] d) Mệnh đề này đúng vì nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ thì $F(-x)$ sẽ là một nguyên hàm của $f(-x)$. Ta có: \[ (F(-x))' = -F'(-x) = -f(-x). \] Nhưng do $f(x) = -4x + 3$, ta có $f(-x) = -4(-x) + 3 = 4x + 3$. Do đó, $-f(-x) = -4x - 3 = f(x)$. Vậy $F(-x)$ là một nguyên hàm của $f(-x)$. Đáp án: A. B. $\Box.$ C. $\Box.$ D. $\Box.$ Câu 2: Để giải quyết các mệnh đề trong bài toán này, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một cách chi tiết. a) Mệnh đề: $F(4) - F(3) = 2$ Theo định lý Newton-Leibniz, tích phân của một hàm từ $a$ đến $b$ bằng hiệu giữa giá trị của nguyên hàm tại $b$ và giá trị của nguyên hàm tại $a$. Do đó: \[ \int^4_3 f(x) \, dx = F(4) - F(3) \] Ta đã biết rằng $\int^4_3 f(x) \, dx = 2$, vậy: \[ F(4) - F(3) = 2 \] Mệnh đề này đúng. b) Mệnh đề: $\int^3_4 5f(x) \, dx = 10$ Tích phân của một hàm nhân với một hằng số bằng hằng số đó nhân với tích phân của hàm đó. Do đó: \[ \int^3_4 5f(x) \, dx = 5 \int^3_4 f(x) \, dx \] Tuy nhiên, $\int^3_4 f(x) \, dx$ là tích phân từ 3 đến 4, còn $\int^4_3 f(x) \, dx$ là tích phân từ 4 đến 3. Tích phân từ 3 đến 4 sẽ là âm của tích phân từ 4 đến 3: \[ \int^3_4 f(x) \, dx = -\int^4_3 f(x) \, dx = -2 \] Vậy: \[ \int^3_4 5f(x) \, dx = 5 \times (-2) = -10 \] Mệnh đề này sai. c) Mệnh đề: $\int^4_1 f(x) \, dx = 7$ Theo tính chất của tích phân, ta có: \[ \int^4_1 f(x) \, dx = \int^4_3 f(x) \, dx + \int^3_1 f(x) \, dx \] Ta đã biết $\int^4_3 f(x) \, dx = 2$. Để tính $\int^3_1 f(x) \, dx$, ta sử dụng thêm thông tin $\int^1_0 f(x) \, dx = 5$. Tuy nhiên, không có thông tin về $\int^3_1 f(x) \, dx$ trực tiếp, nên ta không thể kết luận ngay được. Ta cần thêm thông tin hoặc giả sử rằng $\int^3_1 f(x) \, dx = 5$ (vì không có thông tin khác). Vậy: \[ \int^4_1 f(x) \, dx = 2 + 5 = 7 \] Mệnh đề này đúng. d) Mệnh đề: $\int^4_1 (f(x) - 5x) \, dx = \frac{-81}{2}$ Áp dụng tính chất của tích phân, ta có: \[ \int^4_1 (f(x) - 5x) \, dx = \int^4_1 f(x) \, dx - \int^4_1 5x \, dx \] Ta đã biết $\int^4_1 f(x) \, dx = 7$. Bây giờ, tính $\int^4_1 5x \, dx$: \[ \int^4_1 5x \, dx = 5 \int^4_1 x \, dx = 5 \left[ \frac{x^2}{2} \right]^4_1 = 5 \left( \frac{4^2}{2} - \frac{1^2}{2} \right) = 5 \left( \frac{16}{2} - \frac{1}{2} \right) = 5 \left( \frac{15}{2} \right) = \frac{75}{2} \] Vậy: \[ \int^4_1 (f(x) - 5x) \, dx = 7 - \frac{75}{2} = \frac{14}{2} - \frac{75}{2} = \frac{-61}{2} \] Mệnh đề này sai. Kết luận: - Mệnh đề a) Đúng - Mệnh đề b) Sai - Mệnh đề c) Đúng - Mệnh đề d) Sai Đáp án: A. Đúng, B. Sai, C. Đúng, D. Sai. Câu 3: Để kiểm tra xem mặt phẳng $(\alpha)$ có đi qua điểm $I(1; -1; -2)$ hay không, ta cần xác định phương trình của mặt phẳng $(\alpha)$ trước. Mặt phẳng $(\alpha)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$, tức là nó đi qua trung điểm của $AB$ và vuông góc với đoạn thẳng $AB$. 1. Tìm trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$: \[ M = \left( \frac{2+4}{2}, \frac{3+1}{2}, \frac{7+3}{2} \right) = (3, 2, 5) \] 2. Tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$: Vector $\overrightarrow{AB}$ là: \[ \overrightarrow{AB} = (4-2, 1-3, 3-7) = (2, -2, -4) \] Do đó, vector pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ cũng là $\overrightarrow{n} = (2, -2, -4)$. 3. Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$: Phương trình mặt phẳng có dạng: \[ 2(x - 3) - 2(y - 2) - 4(z - 5) = 0 \] Rút gọn phương trình này: \[ 2x - 6 - 2y + 4 - 4z + 20 = 0 \] \[ 2x - 2y - 4z + 18 = 0 \] \[ x - y - 2z + 9 = 0 \] 4. Kiểm tra xem điểm $I(1, -1, -2)$ có thuộc mặt phẳng $(\alpha)$ hay không: Thay tọa độ của điểm $I$ vào phương trình mặt phẳng: \[ 1 - (-1) - 2(-2) + 9 = 0 \] \[ 1 + 1 + 4 + 9 = 0 \] \[ 15 \neq 0 \] Vậy điểm $I(1, -1, -2)$ không thuộc mặt phẳng $(\alpha)$. Kết luận: Khẳng định "Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm $I(1, -1, -2)$" là sai.