giúp mik với

Câu 11: Để tính khoảng cách từ điểm \( M(1;2;-3) \) đến mặt phẳng \( (P): x + 2y + 2z - 10 = 0 \), ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Công thức khoảng cách \( d \) từ điểm \( M(x_0, y_0, z_0) \) đến mặt phẳng \( ax + by + cz + d = 0 \) là: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Trong đó: - \( a = 1 \) - \( b = 2 \) - \( c = 2 \) - \( d = -10 \) - \( x_0 = 1 \) - \( y_0 = 2 \) - \( z_0 = -3 \) Thay các giá trị này vào công thức: \[ d = \frac{|1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot (-3) - 10|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} \] \[ d = \frac{|1 + 4 - 6 - 10|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} \] \[ d = \frac{|-11|}{\sqrt{9}} \] \[ d = \frac{11}{3} \] Vậy khoảng cách từ điểm \( M(1;2;-3) \) đến mặt phẳng \( (P): x + 2y + 2z - 10 = 0 \) là \( \frac{11}{3} \). Đáp án đúng là: A. \( \frac{11}{3} \). Câu 12: Để xác định mối quan hệ giữa hai mặt phẳng (P) và (Q), ta cần kiểm tra các điều kiện về song song, vuông góc hoặc cắt nhau. 1. Kiểm tra điều kiện song song: Hai mặt phẳng song song nếu các vector pháp tuyến của chúng cùng phương. Vector pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\vec{n}_P = (1, 0, 1)$. Vector pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là $\vec{n}_Q = (2, 1, -2)$. Ta thấy rằng $\vec{n}_P$ và $\vec{n}_Q$ không cùng phương vì không tồn tại số thực $k$ sao cho $\vec{n}_P = k \cdot \vec{n}_Q$. Do đó, hai mặt phẳng không song song. 2. Kiểm tra điều kiện vuông góc: Hai mặt phẳng vuông góc nếu tích vô hướng của các vector pháp tuyến của chúng bằng 0. Tích vô hướng của $\vec{n}_P$ và $\vec{n}_Q$ là: \[ \vec{n}_P \cdot \vec{n}_Q = (1, 0, 1) \cdot (2, 1, -2) = 1 \cdot 2 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot (-2) = 2 + 0 - 2 = 0. \] Vì tích vô hướng bằng 0, nên hai mặt phẳng vuông góc với nhau. 3. Kiểm tra điều kiện cắt nhau: Nếu hai mặt phẳng không song song và không vuông góc, thì chúng sẽ cắt nhau. Tuy nhiên, trong trường hợp này, ta đã xác định rằng hai mặt phẳng vuông góc, do đó chúng không thuộc trường hợp cắt nhau. Kết luận: Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau. Đáp án đúng là: C. Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau. Câu 1: a) Ta có: \[ J = \int^b_a x^5 dx \] \[ I = \int^b_a 6x^5 dx = 6 \int^b_a x^5 dx = 6J \] Vậy $J = \frac{1}{6}I$, không phải $J = 5I$. Do đó, phát biểu này sai. b) Ta có: \[ \int^b_a (6x^5 + x) dx = \int^b_a 6x^5 dx + \int^b_a x dx \] Biết rằng: \[ \int^b_a (6x^5 + x) dx = 8 \] \[ \int^b_a x dx = 3 \] Suy ra: \[ \int^b_a 6x^5 dx = 8 - 3 = 5 \] Vậy $I = 5$. Phát biểu này đúng. c) Ta có: \[ I = \int^b_a 6x^5 dx = 6 \left[ \frac{x^6}{6} \right]^b_a = b^6 - a^6 \] Biết rằng: \[ I = 728 \] \[ a^3 + b^3 = 28 \] Ta có: \[ b^6 - a^6 = (b^3 - a^3)(b^3 + a^3) \] \[ 728 = (b^3 - a^3) \cdot 28 \] \[ b^3 - a^3 = \frac{728}{28} = 26 \] Vậy $a^3 - b^3 = -26$. Phát biểu này sai. d) Ta có: \[ \int^1_{-1} |6x^5| dx = \int^1_{-1} 6|x^5| dx \] Do $x^5$ là hàm lẻ, nên $|x^5|$ là hàm chẵn. Suy ra: \[ \int^1_{-1} 6|x^5| dx = 2 \int^1_0 6x^5 dx = 2 \cdot 6 \int^1_0 x^5 dx = 12 \left[ \frac{x^6}{6} \right]^1_0 = 12 \cdot \frac{1}{6} = 2 \] Phát biểu này sai vì: \[ \int^1_{-1} |6x^5| dx = 2 \int^1_0 6x^5 dx \neq \int^0_{-1} 6x^5 dx + \int^1_0 6x^5 dx \] Kết luận: a) Sai b) Đúng c) Sai d) Sai Câu 2: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần của câu hỏi theo thứ tự. a) \( S_{(H)} = \int_{-3}^{3} f(x) \, dx \). Phần này đúng vì diện tích hình phẳng \( S_{(H)} \) được tính bằng tích phân của hàm số \( f(x) \) từ \( x = -3 \) đến \( x = 3 \). b) \( S_2 = \int_{1}^{3} (-2x + 4) \, dx = 1 \). Phần này cũng đúng vì diện tích \( S_2 \) là diện tích dưới đồ thị của hàm số \( y = -2x + 4 \) từ \( x = 1 \) đến \( x = 3 \). Tích phân của hàm số này từ 1 đến 3 là: \[ \int_{1}^{3} (-2x + 4) \, dx = \left[ -x^2 + 4x \right]_{1}^{3} = \left( -(3)^2 + 4(3) \right) - \left( -(1)^2 + 4(1) \right) = ( -9 + 12 ) - ( -1 + 4 ) = 3 - 3 = 1. \] c) \( S_1 = \int_{-3}^{-1} (x + 3) \, dx + \int_{-1}^{1} 2 \, dx + \int_{1}^{2} (-2x + 4) \, dx \). Phần này đúng vì diện tích \( S_1 \) được chia thành ba phần: - Diện tích từ \( x = -3 \) đến \( x = -1 \) của hàm số \( y = x + 3 \): \[ \int_{-3}^{-1} (x + 3) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} + 3x \right]_{-3}^{-1} = \left( \frac{(-1)^2}{2} + 3(-1) \right) - \left( \frac{(-3)^2}{2} + 3(-3) \right) = \left( \frac{1}{2} - 3 \right) - \left( \frac{9}{2} - 9 \right) = \left( \frac{1}{2} - 3 \right) - \left( \frac{9}{2} - 9 \right) = \left( \frac{1}{2} - 3 \right) - \left( \frac{9}{2} - 9 \right) = \left( \frac{1}{2} - 3 \right) - \left( \frac{9}{2} - 9 \right) = \left( \frac{1}{2} - 3 \right) - \left( \frac{9}{2} - 9 \right) = 2. \] - Diện tích từ \( x = -1 \) đến \( x = 1 \) của hàm số \( y = 2 \): \[ \int_{-1}^{1} 2 \, dx = 2 \left[ x \right]_{-1}^{1} = 2 \left( 1 - (-1) \right) = 2 \times 2 = 4. \] - Diện tích từ \( x = 1 \) đến \( x = 2 \) của hàm số \( y = -2x + 4 \): \[ \int_{1}^{2} (-2x + 4) \, dx = \left[ -x^2 + 4x \right]_{1}^{2} = \left( -(2)^2 + 4(2) \right) - \left( -(1)^2 + 4(1) \right) = ( -4 + 8 ) - ( -1 + 4 ) = 4 - 3 = 1. \] Tổng diện tích \( S_1 \) là: \[ S_1 = 2 + 4 + 1 = 7. \] d) \( S_{(H)} = S_1 - \int_{2}^{3} (-2x + 4) \, dx \). Phần này đúng vì diện tích \( S_{(H)} \) là tổng diện tích \( S_1 \) trừ đi diện tích từ \( x = 2 \) đến \( x = 3 \) của hàm số \( y = -2x + 4 \): \[ \int_{2}^{3} (-2x + 4) \, dx = \left[ -x^2 + 4x \right]_{2}^{3} = \left( -(3)^2 + 4(3) \right) - \left( -(2)^2 + 4(2) \right) = ( -9 + 12 ) - ( -4 + 8 ) = 3 - 4 = -1. \] Do đó: \[ S_{(H)} = 7 - (-1) = 7 + 1 = 8. \] Kết luận: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng. Câu 3: a) Ta có $F'(x)=x^3-3x+2=f(x)$ nên $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x).$ b) Ta có $\int^1_{-1}f(x)dx=(\frac{x^4}4-\frac{3x^2}2+2x)|^1_{-1}=0.$ c) Ta có $f(x)=0\Leftrightarrow x^3-3x+2=0\Leftrightarrow (x-1)^2(x+2)=0$ $\Leftrightarrow x=1$ hoặc $x=-2.$ Diện tích hình phẳng $(S)$ là: $S=\int^2_0|f(x)|dx=\int^1_0(-f(x))dx+\int^2_1f(x)dx$ $=(-\frac{x^4}4+\frac{3x^2}2-2x)|^1_0+(\frac{x^4}4-\frac{3x^2}2+2x)|^2_1=\frac 54.$ d) Thể tích của vật thể tròn xoay là: $V=\pi\int^2_0[f(x)]^2dx=\pi\int^1_0(-f(x))^2dx+\pi\int^2_1(f(x))^2dx$ $=\pi(\frac{x^7}7-\frac{3x^5}5+2x^3-x)|^1_0+\pi(\frac{x^7}7-\frac{3x^5}5+2x^3-x)|^2_1=\frac{136}{35}\pi.$ Câu 4: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ kiểm tra xem các bức tường (P), (Q), (R) và (T) có vuông góc với nhau hay không bằng cách so sánh các vectơ pháp tuyến của chúng. 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng: - Mặt phẳng $(P): 2x - y - z + 1 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_P = (2, -1, -1)$. - Mặt phẳng $(Q): x + 3y - z - 2 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_Q = (1, 3, -1)$. - Mặt phẳng $(R): 4x - 2y - 2z + 9 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_R = (4, -2, -2)$. - Mặt phẳng $(T): 2x + 6y - 2z + 15 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_T = (2, 6, -2)$. 2. Kiểm tra xem các vectơ pháp tuyến có vuông góc với nhau hay không: - Kiểm tra $\vec{n}_P$ và $\vec{n}_Q$: \[ \vec{n}_P \cdot \vec{n}_Q = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 3 + (-1) \cdot (-1) = 2 - 3 + 1 = 0 \] Vậy $\vec{n}_P$ và $\vec{n}_Q$ vuông góc với nhau. - Kiểm tra $\vec{n}_P$ và $\vec{n}_R$: \[ \vec{n}_P \cdot \vec{n}_R = 2 \cdot 4 + (-1) \cdot (-2) + (-1) \cdot (-2) = 8 + 2 + 2 = 12 \neq 0 \] Vậy $\vec{n}_P$ và $\vec{n}_R$ không vuông góc với nhau. - Kiểm tra $\vec{n}_P$ và $\vec{n}_T$: \[ \vec{n}_P \cdot \vec{n}_T = 2 \cdot 2 + (-1) \cdot 6 + (-1) \cdot (-2) = 4 - 6 + 2 = 0 \] Vậy $\vec{n}_P$ và $\vec{n}_T$ vuông góc với nhau. - Kiểm tra $\vec{n}_Q$ và $\vec{n}_R$: \[ \vec{n}_Q \cdot \vec{n}_R = 1 \cdot 4 + 3 \cdot (-2) + (-1) \cdot (-2) = 4 - 6 + 2 = 0 \] Vậy $\vec{n}_Q$ và $\vec{n}_R$ vuông góc với nhau. - Kiểm tra $\vec{n}_Q$ và $\vec{n}_T$: \[ \vec{n}_Q \cdot \vec{n}_T = 1 \cdot 2 + 3 \cdot 6 + (-1) \cdot (-2) = 2 + 18 + 2 = 22 \neq 0 \] Vậy $\vec{n}_Q$ và $\vec{n}_T$ không vuông góc với nhau. - Kiểm tra $\vec{n}_R$ và $\vec{n}_T$: \[ \vec{n}_R \cdot \vec{n}_T = 4 \cdot 2 + (-2) \cdot 6 + (-2) \cdot (-2) = 8 - 12 + 4 = 0 \] Vậy $\vec{n}_R$ và $\vec{n}_T$ vuông góc với nhau. 3. Kết luận: - Các bức tường (P) và (Q) vuông góc với nhau. - Các bức tường (P) và (T) vuông góc với nhau. - Các bức tường (Q) và (R) vuông góc với nhau. - Các bức tường (R) và (T) vuông góc với nhau. Vậy các bức tường (P), (Q), (R) và (T) có các cặp bức tường vuông góc với nhau là: - (P) và (Q) - (P) và (T) - (Q) và (R) - (R) và (T) Đáp số: Các bức tường (P) và (Q), (P) và (T), (Q) và (R), (R) và (T) vuông góc với nhau.