giúp mình với

Câu 4. Để tính diện tích hình phẳng được tô màu trên đồ thị hàm số \( y = \cos x \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định khoảng tích phân: - Đồ thị hàm số \( y = \cos x \) từ \( x = 0 \) đến \( x = \pi \). 2. Tính diện tích hình phẳng: - Diện tích hình phẳng được tô màu là diện tích giữa đường cong \( y = \cos x \) và trục hoành từ \( x = 0 \) đến \( x = \pi \). 3. Lập phương trình tích phân: - Diện tích \( A \) được tính bằng tích phân: \[ A = \int_{0}^{\pi} |\cos x| \, dx \] - Vì \( \cos x \geq 0 \) từ \( x = 0 \) đến \( x = \frac{\pi}{2} \) và \( \cos x \leq 0 \) từ \( x = \frac{\pi}{2} \) đến \( x = \pi \), ta chia thành hai tích phân: \[ A = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx + \left| \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \cos x \, dx \right| \] 4. Tính từng tích phân: - Tích phân từ \( x = 0 \) đến \( x = \frac{\pi}{2} \): \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx = \left[ \sin x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) - \sin (0) = 1 - 0 = 1 \] - Tích phân từ \( x = \frac{\pi}{2} \) đến \( x = \pi \): \[ \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \cos x \, dx = \left[ \sin x \right]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = \sin (\pi) - \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) = 0 - 1 = -1 \] Do đó, giá trị tuyệt đối của tích phân này là: \[ \left| \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \cos x \, dx \right| = |-1| = 1 \] 5. Tổng diện tích: - Tổng diện tích hình phẳng là: \[ A = 1 + 1 = 2 \] 6. Kết luận: - Diện tích hình phẳng được tô màu là 2. Đáp số: Diện tích hình phẳng là 2. Câu 5. Để tính thể tích phần không gian bên trong trại, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân để tính thể tích của khối tròn xoay. 1. Xác định phương trình của parabol: - Ta giả sử đỉnh của parabol nằm ở điểm $(0, 3)$ và hai điểm đáy của parabol nằm ở $(\pm 1.5, 0)$ (vì bề ngang của nền là 3 mét). - Phương trình của parabol có dạng $y = a x^2 + b x + c$. - Vì đỉnh của parabol là $(0, 3)$, ta có $c = 3$. - Vì hai điểm đáy của parabol là $(\pm 1.5, 0)$, ta thay vào phương trình: \[ 0 = a(1.5)^2 + 3 \implies 0 = 2.25a + 3 \implies a = -\frac{3}{2.25} = -\frac{4}{3} \] - Vậy phương trình của parabol là: \[ y = -\frac{4}{3}x^2 + 3 \] 2. Tính diện tích mặt cắt ngang của lều trại: - Diện tích mặt cắt ngang của lều trại là diện tích của hình chữ nhật có chiều rộng là 6 mét và chiều cao là $y = -\frac{4}{3}x^2 + 3$. - Diện tích mặt cắt ngang là: \[ A(x) = 6 \left(-\frac{4}{3}x^2 + 3\right) = -8x^2 + 18 \] 3. Tính thể tích của lều trại: - Thể tích của lều trại là tích phân của diện tích mặt cắt ngang từ $x = -1.5$ đến $x = 1.5$: \[ V = \int_{-1.5}^{1.5} (-8x^2 + 18) \, dx \] - Ta tính tích phân này: \[ V = \left[ -\frac{8}{3}x^3 + 18x \right]_{-1.5}^{1.5} \] \[ V = \left( -\frac{8}{3}(1.5)^3 + 18(1.5) \right) - \left( -\frac{8}{3}(-1.5)^3 + 18(-1.5) \right) \] \[ V = \left( -\frac{8}{3}(3.375) + 27 \right) - \left( -\frac{8}{3}(3.375) - 27 \right) \] \[ V = \left( -9 + 27 \right) - \left( -9 - 27 \right) \] \[ V = 18 - (-36) = 18 + 36 = 54 \] Vậy thể tích phần không gian bên trong trại là $\boxed{54}$ mét khối.