Giúp mình với nhé

Câu 33. Để tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x^3 \), chúng ta cần tính tích phân của \( f(x) \). Bước 1: Tính tích phân của \( f(x) = x^3 \). \[ \int x^3 \, dx \] Áp dụng công thức tích phân cơ bản \(\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\) với \( n = 3 \): \[ \int x^3 \, dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C \] Bước 2: Kết luận. Tất cả các nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x^3 \) là: \[ \frac{1}{4} x^4 + C \] Vậy đáp án đúng là: D. $\frac{1}{4} x^4 + C$. Câu 34. Để tính tích phân \( I = \int_{0}^{2} (2x - 1) \, dx \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính nguyên hàm của \( 2x - 1 \). \[ \int (2x - 1) \, dx = \int 2x \, dx - \int 1 \, dx = x^2 - x + C \] Bước 2: Áp dụng công thức tính tích phân trên đoạn [0, 2]. \[ I = \left[ x^2 - x \right]_{0}^{2} \] Bước 3: Thay cận trên và cận dưới vào biểu thức nguyên hàm. \[ I = \left( 2^2 - 2 \right) - \left( 0^2 - 0 \right) = (4 - 2) - (0 - 0) = 2 \] Vậy tích phân \( I = \int_{0}^{2} (2x - 1) \, dx = 2 \). Đáp án đúng là: B. \( I = 2 \). Câu 35. Để tính tích phân \( I = \int_{0}^{2} (2x + 1) \, dx \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính nguyên hàm của \( 2x + 1 \). \[ \int (2x + 1) \, dx = \int 2x \, dx + \int 1 \, dx = x^2 + x + C \] Bước 2: Áp dụng công thức tính tích phân trên đoạn [0, 2]. \[ I = \left[ x^2 + x \right]_{0}^{2} \] Bước 3: Thay cận trên và cận dưới vào biểu thức nguyên hàm. \[ I = \left( 2^2 + 2 \right) - \left( 0^2 + 0 \right) = (4 + 2) - (0 + 0) = 6 \] Vậy tích phân \( I = 6 \). Đáp án đúng là: B. \( I = 6 \). Câu 36. Để tính thể tích của vật thể đã cho, ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân để tính thể tích của vật thể khi quay quanh trục Ox. Bước 1: Xác định diện tích mặt cắt vuông góc với trục Ox. Mặt cắt là hình vuông có độ dài các cạnh là $\sqrt{3 - x^2}$. Diện tích của hình vuông này là: \[ S(x) = (\sqrt{3 - x^2})^2 = 3 - x^2 \] Bước 2: Tính thể tích vật thể bằng phương pháp tích phân. Thể tích của vật thể khi quay quanh trục Ox từ $x = -\sqrt{3}$ đến $x = \sqrt{3}$ là: \[ V = \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} S(x) \, dx = \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} (3 - x^2) \, dx \] Bước 3: Thực hiện tích phân. \[ V = \left[ 3x - \frac{x^3}{3} \right]_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \] \[ V = \left( 3(\sqrt{3}) - \frac{(\sqrt{3})^3}{3} \right) - \left( 3(-\sqrt{3}) - \frac{(-\sqrt{3})^3}{3} \right) \] \[ V = \left( 3\sqrt{3} - \frac{3\sqrt{3}}{3} \right) - \left( -3\sqrt{3} + \frac{3\sqrt{3}}{3} \right) \] \[ V = \left( 3\sqrt{3} - \sqrt{3} \right) - \left( -3\sqrt{3} + \sqrt{3} \right) \] \[ V = (2\sqrt{3}) - (-2\sqrt{3}) \] \[ V = 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} \] \[ V = 4\sqrt{3} \] Vậy thể tích của vật thể đã cho là $4\sqrt{3}$. Đáp án đúng là: B. $4\sqrt{3}$. Câu 37. Để tính thể tích chứa được (dung tích) của cái chén (bát), ta cần tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi đường \( y = \sqrt{2x} + 2 \) và trục Ox, trong khoảng từ \( x = 0 \) đến \( x = 5 \). Bước 1: Xác định giới hạn của tích phân - Ta thấy rằng đường \( y = \sqrt{2x} + 2 \) cắt trục Ox tại điểm \( x = 0 \) và \( x = 5 \). Bước 2: Viết biểu thức tính thể tích của khối tròn xoay - Thể tích \( V \) của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục Ox một hình phẳng giới hạn bởi đường \( y = f(x) \) và trục Ox từ \( x = a \) đến \( x = b \) là: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Trong trường hợp này, \( f(x) = \sqrt{2x} + 2 \), \( a = 0 \), và \( b = 5 \). Do đó: \[ V = \pi \int_{0}^{5} (\sqrt{2x} + 2)^2 \, dx \] Bước 3: Tính tích phân - Đầu tiên, ta mở rộng biểu thức \( (\sqrt{2x} + 2)^2 \): \[ (\sqrt{2x} + 2)^2 = 2x + 4\sqrt{2x} + 4 \] - Tiếp theo, ta tính tích phân từng phần: \[ V = \pi \int_{0}^{5} (2x + 4\sqrt{2x} + 4) \, dx \] \[ V = \pi \left[ \int_{0}^{5} 2x \, dx + \int_{0}^{5} 4\sqrt{2x} \, dx + \int_{0}^{5} 4 \, dx \right] \] - Tính từng tích phân riêng lẻ: \[ \int_{0}^{5} 2x \, dx = 2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{5} = [x^2]_{0}^{5} = 25 \] \[ \int_{0}^{5} 4\sqrt{2x} \, dx = 4 \int_{0}^{5} \sqrt{2x} \, dx = 4 \int_{0}^{5} (2x)^{1/2} \, dx = 4 \cdot 2^{1/2} \int_{0}^{5} x^{1/2} \, dx \] \[ = 4 \cdot \sqrt{2} \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_{0}^{5} = \frac{8\sqrt{2}}{3} \left[ x^{3/2} \right]_{0}^{5} = \frac{8\sqrt{2}}{3} \cdot 5^{3/2} = \frac{8\sqrt{2}}{3} \cdot 5\sqrt{5} = \frac{40\sqrt{10}}{3} \] \[ \int_{0}^{5} 4 \, dx = 4[x]_{0}^{5} = 4 \cdot 5 = 20 \] - Kết hợp lại: \[ V = \pi \left( 25 + \frac{40\sqrt{10}}{3} + 20 \right) = \pi \left( 45 + \frac{40\sqrt{10}}{3} \right) \] Bước 4: Tính giá trị cuối cùng - Ta có: \[ V \approx \pi \left( 45 + \frac{40 \cdot 3.162}{3} \right) \approx \pi \left( 45 + 42.16 \right) \approx \pi \cdot 87.16 \approx 274 \, \text{cm}^3 \] Vậy đáp án đúng là: D. \( 247 \, \text{cm}^3 \) Nhưng theo tính toán trên, đáp án gần đúng nhất là: B. \( 274 \, \text{cm}^3 \) Câu 38. Để xác định mặt phẳng nhận $\overrightarrow{n} = (3; 1; -7)$ là một vectơ pháp tuyến, ta cần kiểm tra phương trình của mỗi mặt phẳng để xem liệu các hệ số của x, y, z có trùng khớp với các thành phần của vectơ pháp tuyến hay không. A. $3x + z + 7 = 0$ - Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là $(3; 0; 1)$, không trùng với $(3; 1; -7)$. B. $3x - y - 7z + 1 = 0$ - Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là $(3; -1; -7)$, không trùng với $(3; 1; -7)$. C. $3x + y - 7 = 0$ - Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là $(3; 1; 0)$, không trùng với $(3; 1; -7)$. D. $3x + y - 7z - 3 = 0$ - Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là $(3; 1; -7)$, trùng với $(3; 1; -7)$. Do đó, mặt phẳng nhận $\overrightarrow{n} = (3; 1; -7)$ là vectơ pháp tuyến là: D. $3x + y - 7z - 3 = 0$ Câu 39. Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M(1;2;-3)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (1; -2; 3)$ có dạng: \[ a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0 \] Trong đó $(a, b, c)$ là các thành phần của vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ và $(x_0, y_0, z_0)$ là tọa độ của điểm $M$. Thay vào ta có: \[ 1(x - 1) - 2(y - 2) + 3(z + 3) = 0 \] Rút gọn phương trình này: \[ x - 1 - 2y + 4 + 3z + 9 = 0 \] \[ x - 2y + 3z + 12 = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng là: \[ x - 2y + 3z + 12 = 0 \] Do đó, đáp án đúng là: A. $x - 2y + 3z + 12 = 0$. Câu 40. Để tính khoảng cách từ điểm \( M(1;2;-3) \) đến mặt phẳng \( (P): x + 2y + 2z - 10 = 0 \), ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Công thức khoảng cách từ điểm \( M(x_0, y_0, z_0) \) đến mặt phẳng \( ax + by + cz + d = 0 \) là: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Trong đó: - \( (x_0, y_0, z_0) = (1, 2, -3) \) - \( a = 1 \), \( b = 2 \), \( c = 2 \), \( d = -10 \) Thay các giá trị vào công thức: \[ d = \frac{|1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot (-3) - 10|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} \] \[ d = \frac{|1 + 4 - 6 - 10|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} \] \[ d = \frac{|-11|}{\sqrt{9}} \] \[ d = \frac{11}{3} \] Vậy khoảng cách từ điểm \( M(1;2;-3) \) đến mặt phẳng \( (P): x + 2y + 2z - 10 = 0 \) là \( \frac{11}{3} \). Đáp án đúng là: A. \( \frac{11}{3} \). Câu 41. Để hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến của chúng phải bằng 0. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\vec{n}_{1}=(m, m-1, 1)$ Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là $\vec{n}_{2}=(2, 1, -2)$ Tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến: $\vec{n}_{1} \cdot \vec{n}_{2} = m \cdot 2 + (m-1) \cdot 1 + 1 \cdot (-2) = 0$ Ta có phương trình: $2m + (m-1) - 2 = 0$ $2m + m - 1 - 2 = 0$ $3m - 3 = 0$ $3m = 3$ $m = 1$ Vậy giá trị của m để hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau là $m = 1$. Đáp án đúng là: C. $m = 1$ Câu 42 Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng \( Ax + By + Cz + D = 0 \), trong đó \( A, B, C, D \) là các hằng số và \( A, B, C \) không đồng thời bằng 0. Ta sẽ kiểm tra từng phương trình để xác định phương trình tổng quát của mặt phẳng: A. \( 2x + 3y - z + 5 = 0 \) - Đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng vì nó có dạng \( Ax + By + Cz + D = 0 \) với \( A = 2, B = 3, C = -1, D = 5 \). B. \( x^2 + y + 2z - 1 = 0 \) - Phương trình này không phải là phương trình tổng quát của mặt phẳng vì nó có chứa \( x^2 \), tức là có bậc cao hơn 1. C. \( x - y^2 + 2z - 7 = 0 \) - Phương trình này không phải là phương trình tổng quát của mặt phẳng vì nó có chứa \( y^2 \), tức là có bậc cao hơn 1. D. \( x - y + z^2 - 5 = 0 \) - Phương trình này không phải là phương trình tổng quát của mặt phẳng vì nó có chứa \( z^2 \), tức là có bậc cao hơn 1. Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng là: A. \( 2x + 3y - z + 5 = 0 \) Đáp án đúng là: A. \( 2x + 3y - z + 5 = 0 \).